概率统计方差的计算.ppt

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1、概率统计方差的计算1现在学习的是第1页，共32页再比较稳定程度再比较稳定程度34.13)3.86()3.87()3.88()3.89()3.810(222222甲：乙：34.5)3.87()3.88(3)3.89()3.810(2222乙比甲技术稳定，故乙技术较好.2现在学习的是第2页，共32页进一步比较平均偏离平均值的程度进一步比较平均偏离平均值的程度甲)3.86()3.87()3.88()3.89()3.810(26122222乙)3.87()3.88(3)3.89()3.810(61222222.26/34.1389.06/34.5512)(kkkpXEx412)(kkkpXEx E X

2、-E(X)23现在学习的是第3页，共32页若E X-E(X)2 存在,则称其为随机称)(XD为 X 的均方差均方差或标准差标准差.方差概念方差概念定义定义 即 D(X)=E X-E(X)2 变量 X 的方差方差,记为D(X)或 Var(X)两者量纲相同两者量纲相同 D(X)描述 r.v.X 的取值偏离平均值 的平均偏离程度 数4现在学习的是第4页，共32页,2,1,)(kpxXPkk若 X 为离散型 r.v.，分布律为12)()(kkkpXExXD若 X 为连续型r.v.，概率密度为 f(x)dxxfXExXD)()()(2计算方差的常用公式：计算方差的常用公式：)()()(22XEXEXD5

3、现在学习的是第5页，共32页q D(C)=0q D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)q)()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD特别地，若X,Y 相互独立，则)()()(YDXDYXD 方差的性质6现在学习的是第6页，共32页若nXX,1相互独立，baaan,21为常数则niiiniiiXDabXaD121)(若X,Y 相互独立)()()(YDXDYXD)()()(YEXEXYEq 对任意常数C,D(X)E(X C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立q D(X)=0 P(X=E(X)=1 称为X 依概率 1 等于常数 E(X)7现在学习的是第7页，共32页性质 1 的证

4、明：0)()(2CECECD性质 2 的证明：2)()()(baXEbaXEbaXD2)()(bEbXEXaE22)(XEXaE)(2XDa8现在学习的是第8页，共32页2)()()(YXEYXEYXD)()(2)()(22YEYXEXEYEYEXEXE)()(2)()(YEYXEXEYDXD性质 3 的证明：当 X,Y 相互独立时，)()()()()(YEXEXYEYEYXEXE注意到，)()()(YDXDYXD 9现在学习的是第9页，共32页22)()(XECXEXECXE性质 4 的证明：22)()(XECXEXE当C=E(X)时，显然等号成立；当C E(X)时，0)(2XEC)(2XD

5、CXE2)()(XECXD10现在学习的是第10页，共32页例例1 1 设X P(),求D(X).解解0!)(kkkekXE11)!1(kkke)()1()(2XEXXEXE!)1()1(0kekkXXEkk2222)!2(kkke 方差的计算方差的计算22)(XE)()()(22XEXEXD11现在学习的是第11页，共32页例例2 2 设X B(n,p)，求D(X).解一解一 仿照上例求D(X).解二解二 引入随机变量nXXX,21发生次试验事件第发生次试验事件第AiAiXi,0,1nXXX,21相互独立，ni,2,1)1()(ppXDiniiXX1故)1()()(1pnpXDXDnii12

6、现在学习的是第12页，共32页例例3 3 设 X N(,2),求 D(X)解dxexXDx222)(221)()(dtetttx222221令213现在学习的是第13页，共32页常见随机变量的方差(P.159)分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布pXPpXP1)0()1(p(1-p)B(n,p)nkppCkXPknkkn,2,1,0)1()(np(1-p)P(),2,1,0!)(kkekXPk14现在学习的是第14页，共32页分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布其它,0,1)(bxaabxf12)(2abE()其它,0,0,)(xexfx21N(,2)222)(21)(xexf215

7、现在学习的是第15页，共32页例例4 4 已知X,Y 相互独立,且都服从 N(0,0.5),求 E(|X Y|).解解)5.0,0(),5.0,0(NYNX1)(,0)(YXDYXE故)1,0(NYX dzezYXEz2221|)(|222202dzezz16现在学习的是第16页，共32页例例5 5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止所需射击的次数,已知每次射击中靶的概率为 p,求E(X),D(X).解解 令 X i 表示击中目标 i-1 次后到第 i 次击中目标所需射击的次数，i=1,2,n 1,2,1,)(1qpkpqkXPki1111)(kkkkikqpkpqXEpqp1)1(1

8、2nXXX,21相互独立，且niiXX117现在学习的是第17页，共32页11112)1()(kkkkikpqpqkkXEpqkkpqkk1)1(22pxdxdpqqxkk1022pxpqqx1)1(2322pp222112)(pppppXDi18现在学习的是第18页，共32页pnXEXEnii1)()(故21)1()()(ppnXDXDnii 本例给出了几何分布与巴斯卡分布的期望与方差19现在学习的是第19页，共32页例例6 6 将 编号分别为 1 n 的 n 个球随机地放入编号分别为 1 n 的n 只盒子中,每盒一 球.若球的号码与盒子的号码一致，则称为一个配对.求配对个数 X 的期望与方

9、差.解解niiiXi,2,1,0,1其它号盒号球放入则niiXX1nXXX,21不相互独立，但20现在学习的是第20页，共32页11)()(1nnXEXEnii212)(niiXEXEiXP 1 0n1n11ni,2,1nnjijiniiXXXE1122nnjijiniiXXEXE112)(2)(21现在学习的是第21页，共32页2iXP 1 0n1n11ni,2,1nji,2,1,jiXXP 1 0)1(1nn)1(11nnnXEi1)(2)1(1)(nnXXEji22现在学习的是第22页，共32页nnjijiniiXXEXEXE1122)(2)()(nnjininnn11)1(121)1(

10、1212nnCnnn21)()()(22XEXEXD23现在学习的是第23页，共32页标准化随机变量标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称)()(XDXEXX为 X 的标准化随机变量.显然，1)(,0)(XDXE24现在学习的是第24页，共32页仅知仅知 r.v.r.v.的期望与方差的期望与方差 并不能确定其分布并不能确定其分布XP-1 0 1 0.1 0.8 0.1YP-2 0 20.025 0.95 0.025与2.0)(,0)(XDXE2.0)(,0)(YDYE有相同的期望方差但是分布却不相同例如例如25现在学习的是第25页，共32页例例7

11、7 已知 X 服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1 2 X,求Y 的密度函数.解解 1234)(,4.27.121)(YDYEyeyfyY,621)(24)4.2(2 在已知某些分布类型时在已知某些分布类型时,若知道若知道其期望和方差其期望和方差,便常能确定分布便常能确定分布.26现在学习的是第26页，共32页作业 P.170 习题三 9 11 16 17 19 2127现在学习的是第27页，共32页附例附例 在 0,1 中随机地取两个数 X,Y,求 D(min X,Y)解解其它,010,10,1),(yxyxf1101010,minyxdxdyyx.3/1dydxydxdyx

12、yx 101101),(min YXE28现在学习的是第28页，共32页dydxydxdyxYXEyx 101210122),(min.6/1,min,min),(min22YXEYXEYXD.18/129现在学习的是第29页，共32页例例8 8 已知 X 的 d.f.为其它,0,10,)(2xBxAxxf其中 A,B 是常数，且 E(X)=0.5.求 A,B.(1)设 Y=X 2,求 E(Y),D(Y)30现在学习的是第30页，共32页解解(1)1)()(102dxBxAxdxxf21)()(102dxBxAxxdxxxf2134123BABA6,6BA31现在学习的是第31页，共32页(2).10/3)66(1022dxxxx.7/1)66(1024dxxxx.70037)()()(22YEYEYDdxxfxXEYE)()()(22dxxfxXEYE)()()(44232现在学习的是第32页，共32页