数值传热学第四章数值计算.ppt

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1、数值传热学第四章数值计算现在学习的是第1页，共73页4.1 本章的对象本章的对象一、本章研究对象一、本章研究对象 本章以导热问题为代表，介绍本章以导热问题为代表，介绍扩散方程的数值求解法。扩散方程的数值求解法。将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的介绍将将通用微分方程中的对流项略去，整个方法的介绍将在第五章完成。在第五章完成。divdiv(grad)uSt 现在学习的是第2页，共73页二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因二、以导热问题的数值解作为学习起点的原因热传导作为物理过程易于理解，而且在数学上的复杂性最小，计算方法也比较成熟；工程流动与换热过程中的不少现象，其控制方程类似于热传导方

2、程。如二维位势流动；常物性流体在直管内的充分发展对流换热；质扩散过程；轴承的润滑流动；某些通过多孔介质的流动。导热问题数值解过程中所采用的一些方法与技巧对于对流问题的数值解也适用。如边界条件的处理、源项的线性化及代数方程组的求解方法等。现在学习的是第3页，共73页.把热传导用作流体流动计算方案的基本组成部分 的做法有助于理解动量传递与热量传递之间的类 似性（用某种方法把速度与温度相比拟）。本章内容将是流动与换热数值解的基础现在学习的是第4页，共73页4.2 一维稳态热传导4.2-1 基本方程一维稳态导热问题的控制方程：dd0ddTkSxx式中：eeExkawwWxkabTaTaTaWWEEPP

3、相应的离散化方程：PPCTSSS其中：其中：xSaaaPWEPxSbC现在学习的是第5页，共73页分布假设：由T 对 x 的分段线性的变化算得；源项的线性化TP代表整个控制容积内的值，即采用阶梯性分布进行计算的。ddTx当然，不违背四项基本法则，选择其它形式的分布曲线也是可以的，但尽可能采用简单一些的分布曲线。以下各节将对离散方程中的各项给予说明现在学习的是第6页，共73页4.2-2 网格间距1.采用不均匀的网格间距wexxWwPeExx(x)w(x)e可以有效地扩大计算功能。在温度T 随x 变化剧烈的区域上采用细网格，而在变化缓慢的区域采用较疏（粗）的网格。2.怎样设计一个合适的非均匀网格因

4、为在问题求解之前，T x 的分布是不知道的，那么如何设计网格呢？现在学习的是第7页，共73页.对所要得到的解进行某些定性的预计，使设计得到某些指导；.采用粗网格进行试算,求得Tx的变化形式，再对温度变化急剧的区域加密，最后构成一个合适的非均匀网格。3.先疏后密的网格划分是有前提的采用粗网格得到的数值结果必须符合物理上的真实性，要做到这一点，就应该确保离散方程同时满足四个基本法则。达到给定精度所需要的网格点数,以及这些网格点在计算域内应采取的分布方式与所求问题的特性有关。4.采用仅几个网格点进行试探性计算，为弄清有关解 的情况提供了一个方便的途径。也可来指导实验。现在学习的是第8页，共73页4.

5、2-3 界面导热系数1.问题的提出 通用离散方程式bTaTaTaWWEEPPeeExkawwWxkaaE、aW分别是节点E 与 P 和节点W 与P 间的热导，热导的大小反映了周围节点对节点P的影响程度。系数aE、aW中分别含有交界面导热系数ke与kw。当k 是x 的函数时，只知道kP、kE、kW，无法知道ke与kw的值，而ke 与 kw是决定交界面热流量的关键量。因此，计算 ke 与 kw的方法是否合理就显得非常重要了。式中：现在学习的是第9页，共73页 k 值不均匀性产生的原因由材料的不均匀性引起（如组合材料板）；材料均匀，T分布的不均匀性也会导致k 的不均匀。2.求解方法.算术平均法xPe

6、E(x)e(x)e+(x)e-如图所示，P、E之间，k与x 呈线性关系，则由P、E两点上的kP、kE 确定ke 的关系式为：EePeEEPeeeeEPEekfkfkkkfkxxkkkk1现在学习的是第10页，共73页EePeeeEeePekfkfxxkxxkk1EePeEEPeeeeEPEekfkfkkkfkxxkkkk1显然，这相当于线性插值。当界面e位于两个节点之间的中点时，fe=0.5,此时EPekkk21现在学习的是第11页，共73页.调和平均法利用传热学基本公式可以导出界面上当量导热系数的调和平均公式。据界面上热流密度连续的原则，写出下式：EePePEPePeEeeEekxkxTTk

7、xTTkxTTq另一方面，按界面上当量导热系数的含义，应有：eePEekxTTq比较两式可得：EePeeekxkxkx可看成是串联过程热阻叠加原则的反映(x)ePeE(x)e+(x)e-x现在学习的是第12页，共73页.两种方法的比较算术平均法简单方便，但在处理导热性能相差很大的组合材料导热时存在明显缺陷。下面讨论两种极限情况：kE0,即设想交界面e 是k 相差很大的两种材料的分界面，节点E的控制容积是绝热材料，这时节点E、P之间的导热量应该小到接近于零，即两点间的热阻应接近于。但用算术平均法计算,这时ke 与kE无关，仅与kP 有关，不符合物理规律。eePexxkk(x)ePeE(x)e+(

8、x)e-xeeePEeexxkkkxx现在学习的是第13页，共73页 P控制容积是良导热体 ,按算术平均法计算,EPkk 当网格均分时,PEPekkkk2121即P、E两点间的热阻为 ，表明此时P、E间的热阻主要由k 大的物体所决定，显然不符合传热原理。实际上，此时控制体E 构成了热阻的主要部分。PePekxkx22(x)ePeE(x)e+(x)e-x现在学习的是第14页，共73页调和平均法可以合理求解上述两种极限情况EePeeekxkxkx 当 时EPkk eEeeEeEeeefkxxkkkxkx表明ke 完全与kP无关，这个结果是可以预料的。因为围绕 P 点的材料k 值高，其热阻与围绕E

9、点的材料相比可以忽略。eEPEeeEPexTTkkxTTq 当 kE0 时，由计算公式得 ke0，qe0。意味着在一个绝 热层的表面上热流密度为零，与实际情况相符。现在学习的是第15页，共73页调和平均公式的推导是对于稳态、无内热源、k在相邻的两个控制容积之间发生阶梯式变化导出的。从定性上，串联热阻叠加的适应性不受上述条件的限制。采用两种方法进行数值计算的结果表明，即使对有内热源或k 呈连续变化的场合，调和平均也比算术平均更好一些。现在学习的是第16页，共73页4.2-4 非 线 性若离散化方程是一个线性的代数方程，式中的各项系数均为已知数，联立求解代数方程组可得到温度场。但实际问题中，Kp、

10、KE和Ke或线性化源项的系数SC、SP是温度T的函数，这样离散化方程的系数aE、aW、aP本身也成为温度的函数，方程非线性采用拟线性化的方法求解（迭代）。具体求解步骤：.先设定域内全部节点的温度值（给定一个初场）；.由这些设定的T值计算出离散化方程中系数的试探值；.解名义上的代数方程组，得到一组新的T值；.以这些新的T值作为较好的估计值，返回到，并重复此过程，直到重复计算不再引起T值任何意义上的变化为止。收敛现在学习的是第17页，共73页收敛：计算达到最终不变的状态称之为迭代的收敛。发散：一次次的迭代永远不会收敛到一个解。T的值可能稳定地飘移或是以一个不断增大的振幅振荡,这种与收敛相对的过程称

11、之为发散。一种好的数值方法应当使发散的可能性减为最小。现在学习的是第18页，共73页4.2-5 源项的 线 性化如果源项是常数，则在离散方程的建立过程中不会带来任何困难；当源项是所求变量的函数时，源项的数值处理十分重要，有时甚至是数值求解的关键所在。应用较为广泛的一种处理方法是把源项局部线性化PPCTSSS SC常数，SP 是S 随T 而变化的曲线在P点的斜率。表示在TP的附近以直线代替曲线。现在学习的是第19页，共73页几点说明：.当源项为未知量的函数时，线性化的处理比假定源项为常数更为合理；因为S=f(T)，把S 作为常数处理就是以上次迭代计算所得之T*来计算 S，这样源项相对于T永远有一

12、个滞后。而线性化处理后，TP 是迭代的当前值，这样使 S能更快地跟上TP 的变化。.线性化处理又是建立线性代数方程所必需的；.为了保证代数方程迭代求解的收敛，要求 ；0PS现在学习的是第20页，共73页bTaTanbnbPP离散化方程的一般式：VSaaPnbP式式中中：线性代数方程迭代求解收敛的一个充分条件是主对角占优，即nbPaa这就要求:0PS.由代数方程迭代求解公式：VSabTaTPnbnbnbP可见，SP绝对值的大小影响迭代过程中温度的变化速度，SP绝对值越大，系统的惯性越大，相邻两次迭代之间TP 的变化越小，收敛速度下降；但有利于克服迭代过程的发散。现在学习的是第21页，共73页源项

13、线性化方法举例：eg1.已知：S=5-4T,可能的线性化形式有：4,5)1(PCSS0,45)2(PPCSTS相当于设S 为常数，当S 的表达式很复杂时，这样做或许是唯一的一种选择。11,75)3(PPCSTS这给出了比实际S-T关系更陡的曲线，其结果使迭代收敛的速度减慢了。若在所研究的问题中还存在着其它的非线性项时，这种减慢的做法是受欢迎的。现在学习的是第22页，共73页eg2.已知：S=3+7 T,可能的线性化形式有：不可能接受的不可能接受的7,3)1(PCSS0,73)2(PPCSTS2,93)3(PPCSTSeg3.已知：S=4-5 T3,可能的线性化形式有：0,54)1(3PPCST

14、S 2,4)2(PPCTSS已知的S-T曲线要比这一关系所反映的曲线陡。现在学习的是第23页，共73页(3)推荐的方法32d4515dPPPPPPSSSTTTTTTT于是：2315,104PPPCTSTS这一线性化表示，在 点所选择的直线与S-T曲线相切。PT2325,204)4(PPPCTSTS这一线性化比已知的S-T曲线为陡，它使收敛速度减慢。现在学习的是第24页，共73页结论：在所有负斜率的直线中，与已知曲线相切的直线通常为最佳(图中2线)；较陡的直线是可以接受的(图中3线)；欠陡的直线是不希望采纳的(图中1线)，它不能体现已知的S 随T 的下降速度。STPT已知曲线123现在学习的是第

15、25页，共73页4.2-6 边 界 条 件1.问题的提出前面所推得的离散化方程适用于稳态导热问题的任何内部节点，为计算一个具体问题，应把边界条件也用离散方程表示。因为只有离散化方程的个数与待求节点变量的数目相等时，代数方程组才能封闭。2.网格划分的两种方法先定节点位置，后定控制容积 A类网格 BiIeEx这种网格划分方法，在边界上将出现半控制容积。当网格划分不均匀时，节点位置并不落在控制容积的几何中心位置。现在学习的是第26页，共73页先定控制容积，后定节点位置 B类网格*这种方法是在边界上附上一层厚度为零的控制容积，代表这个控制容积的边界节点恰好落在边界上。无论网格如何划分都不会出现半控制容

16、积，并且所有节点都位于控制容积的几何中心。iIjJB由于在边界上将出现不同的控制容积，所以将根据不同的方法来离散边界条件。三类不同的边界条件现在学习的是第27页，共73页3.构建边界节点的附加方程 A类网格 BiIeEx(x)i.第一类边界条件 TB已知不必额外增加边界节点方程，把 TB代入邻近节点的代数方程即可。.第二类边界条件 qB已知可在边界半控制容积内对微分方程积分建立附加方程，热平衡式为：qB0 xTSSqqBPCiB注：规定以进入计算区域的热量为正。交界面i 处的热流为：iIBiixTTkq现在学习的是第28页，共73页将qi 代入上式得：0 xTSSxTTkqBPCiIBiBqB

17、已知时，方程可整理成：bTaTaIIBB式中：iiIxkaxSaaPIBBCqxSb.第三类边界条件 已知 h、tf将边界热流 代入上式的B点方程，形式同上：BfBTThq式中：iiIxkahxSaaPIBfChTxSb现在学习的是第29页，共73页3.构建边界节点的附加方程 B类网格*.第一类边界条件 TB已知不需要附加方程.第二类边界条件 qB已知iIjJB(x)bB点方程为：bTaTaIIBB式中：bBIxkaIBaa Bqb 也可以看作是第一种情况，在离散区域 x0时的极限。BiIeEx(x)i现在学习的是第30页，共73页.第三类边界条件 已知 h、tfB点方程形式同上式中：bBIx

18、kahaaIBfhTb bTaTaIIBB代即可。代即可。用用将将BfBTThq至此，已构成对所有未知温度的足够数量的方程现在学习的是第31页，共73页4.2-7 线性代数方程的求解1.求解方法线性代数方程组的解法通常有迭代法和直接解法两种。由于一维导热数值求解的离散方程中，待求温度仅与左右两个节点的温度有关，这样形成的代数方程组的系数矩阵将是三对角矩阵，采用追赶法（TDMA）.2.TDMA算法要点 TDMA是一种简单、方便、高效率的计算方法，求解过程包括消去变量求系数的正过程和回代求温度场的逆过程。现在学习的是第32页，共73页正过程：消元的目的是将每个包含三个待求变量的方程，消去一个变量，

19、使之成为两个待求变量的方程，继而把所有这些两个变量的方程新系数值计算出来，直到边界上原来只有两个待求变量的方程，经消元后变成了单变量方程，并能直接求出边界变量值为止。回代过程：由已知的边界变量值逐一按次序回代到已求出系数的二变量方程中便可求出全部待求变量。经过消元与回代便完成TDMA的全过程。现在学习的是第33页，共73页TDMA算法的数学表述21Nii+1i-13i节点的离散方程可写为：iiiiiiidTcTbTa11考虑到边界节点的特殊形式：100Ncb或或如果T1已知，则有：特特例例11111,0,0,1dTcba这些条件意味着T1 是T2的函数，而T2与T1、T3，T2 T3。这一代入

20、过程可一直继续到TN TN+1的关系式。由于TN+1并不存在，所以到此实际上也就得到了TN的值。由此可以回代了，由TN TN-1 TN-2 T2 T1。现在学习的是第34页，共73页3.TDMA的数学推演 假设在代入过程得到：111iiiiQTPT 试图找到一个关系：iiiiQTPT1将 代入离散方程的一般表达式中，将Ti-1用Ti代即可iiiiiiiiidQTPcTbTa111iiiiiiiiidQcTbTPca1111111iiiiiiiiiiiiPcadQcTPcabTiiiiiiidTcTbTa11现在学习的是第35页，共73页 对比与即可得到Pi、Qi的递推公式：1iiiiiPcab

21、P11iiiiiiiPcadQcQ特例：111111101adQabPci1100NNNNNNNNNNPcadQcQTPbNi求得TN后，可以回代了！1iiiiTPTQ1111iiiiiiiiiiiiPcadQcTPcabTiiiiiiidTcTbTa11现在学习的是第36页，共73页4.TDMA的计算机程序说明.由P1、Q1的表达式计算出P1、Q1的值；.由P、Q的递推式计算得出P2、Q2；Pi、Qi.QN.令 TN=QN.对N-1,N-2,3，2，1应用回代式 可求得TN-1、TN-2 T3、T2、T1 。iiiiQTPT1只要代数方程可以表达成 的形式，三对角矩阵的算法就是一个非常有效而

22、又方便的求解方法。TDMA法需要的计算机贮存量及计算时间与N成正比，而非N2或N3。它是一种直接解法。iiiiiiidTcTbTa11现在学习的是第37页，共73页4.3 非稳态一维热传导 通用控制方程中的扩散项和源项的数值处理已经解决，下面讨论非稳态项的处理(暂不考虑源项)。1.一维非稳态无源项的热传导方程 为常数为常数假设假设 cxTkxTc 任务：因为时间是一个单向坐标，即由一已知的初始温度开始，沿时间坐标逐步向前求解。故计算任务是已知 时刻T 在网格上的值，求得+时刻T 在相应网格点上的值。4.3-1 通用的离散化方程现在学习的是第38页，共73页2.对整个控制容积积分上述微分方程Ww

23、PeExx(x)w(x)ed dd deewwTTcxkxxx 01PPTTxc左侧积分左侧积分d ddeeEPwPWwewkTTkTTTkxxxxx 需要给出一个关于TP、TE 和TW 如何随时间变化的关系的假设，可以采取的假设有好几种。现在学习的是第39页，共73页 一些假设可归纳为一般化的式子：10d1PPPTfTf T10 f 由此原积分整理为：wWPwePEewWPwePEePPxTTkxTTkfxTTkxTTkfTTxc00001111011现在学习的是第40页，共73页经整理得：（将上标1去掉）eeExkawwWxka式中：xcaP00PWEpafafaa0011WWWEEEPp

24、TffTaTffTaTa0011PWEPTafafa现在学习的是第41页，共73页4.3-2 显式、克兰克-尼科尔森模式以及全隐式模式上节离散方程中，对应特定的f 值，可得到不同的格式。f=0 显式；f=0.5 克兰克-尼克尔森模式(C-N)；f=1 全隐式。1.显式格式 f=0 00001111PWEPWWWEEEPpTafafaTffTaTffTaTa0000PWEPWWEEPpTaaaTaTaTa方程变为：现在学习的是第42页，共73页+0PT1PT显式格式全隐格式C-N格式TP0000PWEPWWEEPpTaaaTaTaTa TP的变化曲线见右图，实质上是假设上一时刻 代表除了时刻+之

25、外的整个时间间隔上的值。TP与其它未知量(TE、TW)无关，而直接可由上一时刻已知温度求得“显式”0PT现在学习的是第43页，共73页显式格式：前的系数有可能变为负值(可看成是 在时间方向上的一个相邻点)，从而违背正系数法则。实际上，要使系数为正，时间步长必须足够小，以使0PT0PTPTWEPaaa0对于k 均匀分布，且wexxxkxcxkxcaaaWEP2220即 的选取受上述条件的限制。210F现在学习的是第44页，共73页2.全隐式格式 f=100PPWWEEPpTaTaTaTa方程变为：+0PT1PT显式格式全隐格式C-N格式TP方程中各项系数恒大于零，无条件稳定。TP的变化曲线见右图

26、，在时刻，TP的值突然由降到 ，而在随后的整个时间间隔上保持 。于是在整个时步内温度由新值 所确定。与其它未知量(TE、TW)有关，必须解一组联立方程“隐式”0PT1PT1PT1PT1PT现在学习的是第45页，共73页3.克兰克-尼克尔森模式(C-N)f=0.5 这种格式也称半隐格式,方程变为：00002222PWEPWWWEEEPpTaaaTTaTTaTa表示求解TP可以用上一时刻 和当地时刻(+)的值，TP与TE、TW有关，同样需要联立方程组求解。但 前的系数有可能出现负值，所以也是条件稳定的，其条件是：0PTWEPaaa210现在学习的是第46页，共73页两点说明：.数学上的“稳定性”只

27、能确保解的振荡最终将会消失，它并不能确保一定会给出物理上似乎合理的解。.对于小的时间步，全隐格式不如C-N格式的解精确。因为对于小的时间间隔，温度时间曲线是接近于线性的。探索一种结合两种模式优点而不分担它们各自缺点的模式是诱人的“指数格式”。.全隐格式，表达形式简单而且物理上又能达到满意要求，因此在后面的介绍中将采用全隐格式。现在学习的是第47页，共73页4.3-3 全隐式离散化方程1.全隐格式的优点 f=1 离散化方程无条件稳定。2.源项引入后的离散化方程形式bTaTaTaWWEEPpeeExkawwWxkaxcaP0 xSaaaaPPWEp0可见，当时，此方程简化为稳态的离散方程。00PP

28、CTaxSb时间上的相邻点现在学习的是第48页，共73页3.全隐格式的主要原则:TP的新值代表整个时间步上的值。因此如果导热系数kP是温度的函数，就应当反复由TP的迭代算得新的kP。稳态程序中的边界条件、源项的线性化处理以及TDMA求解方程组的算法全部适合非稳态问题。现在学习的是第49页，共73页4.4 二维与三维问题4.4-1 二维问题的离散化方程1.二维控制容积及标号说明yyxWENSPnwsex控制容积图4-6 对于二维情况的控制容积控制容积面相对于网格点的实际位置是自由的，但把控制容积面布置在两个网格点的中点是一种很自然的做法现在学习的是第50页，共73页P、E两点间e控制面上的热流密

29、度eePEekxTTq整个e 控制面上的热流量 ykxTTeePEe2.二维非稳态、有内热源的控制方程其它 控制面上热流的计算与之类同。SyTkyxTkxTc相应离散方程的一般形式：bTaTaTaTaTaSSNNWWEEPp现在学习的是第51页，共73页式中各系数为：eeExykawwWxykayxcaP0yxSaaaaaaPPSNWEp000PPCTayxSbssSyxkannNyxka1 yxVbTaTaTaTaTaSSNNWWEEPp现在学习的是第52页，共73页4.4-2 三维问题的离散化方程与二维问题的推导类似，再加一个顶部、底部方向的相邻点T点及B点。系数的意义：aE、aW.代表P

30、点与相邻点之间的热导表示时刻控制容积内部所包含的内能（除以 ）00PPTab表示内能项与SC所造成的在控制容积内的发热率之和。Pa表示相邻空间与时间系数之和，并包含一项线性的源项所做的贡献。现在学习的是第53页，共73页4.4-3 代数方程的求解代数方程的求解 可以采用任何一种合适的求解方法，选择方法时两者无相互可以采用任何一种合适的求解方法，选择方法时两者无相互影响；影响；在计算机程序中，可以很方便地把两个步骤分成两个独在计算机程序中，可以很方便地把两个步骤分成两个独立的阶段，其中任何一段都可以单独进行修改。立的阶段，其中任何一段都可以单独进行修改。1.方程的离散化与求解方法分成两个步骤的好

31、处2.求解方法 直接解法无需迭代的方法。但需要大量的计算机贮存量及计算时间。对于一个只需一次求解的线性问题，直接解法是可以接受的。现在学习的是第54页，共73页 迭代法：对于非线性问题，方程必须用最新的系数来重复求解，采用直接解法是很不经济的。3.迭代解法的基本原理 给定一个因变量T 的初场，然后利用某种形式的代数方程求得一个改进的场，重复进行这一算法过程，直到求得一个充分接近代数方程精确解的解为止。在迭代计算的过程中，要注意计算系数所付的代价与求解方程所需花费的时间的某种平衡。在一组固定的系数值下，把代数方程的求解过程一直进行到最终收敛是不必要、也是不明智的。在新的一组系数值给定之前应用已经

32、给定的系数值迭代几次就已足够了。现在学习的是第55页，共73页4.迭代求解的两种方法:高斯-赛德尔逐点计算法和逐行法高斯-赛德尔逐点迭代法（G-S）：迭代原理：按一定顺序逐个访问每个网格点，以计算那里的变量值。在计算机内只需要储存一组T值，且存贮器中相应的T值交替改变如下：bTaTanbnbPP离散化方程为：PnbnbPabTaT*现在学习的是第56页，共73页计算机存贮器中所存在相邻点的温度值。本次*nbT迭代过程中已经被访问过的相邻点，是新值，而对于那些尚待访问的相邻点 是上次迭代得到的值。*nbT*nbT*nbT 都是相邻温度的最新值。当所有网格点都访问过 一次后，算是完成了一次高斯赛德

33、尔迭代。迭代计算收敛的准则斯卡巴勒准则高斯赛德尔迭代收敛的充分条件是：系数满足号成立。号成立。且其中至少对一行不等且其中至少对一行不等,1Pnbaa现在学习的是第57页，共73页这个准则是这个准则是充分条件充分条件，并非必要条件。即有时虽然违背，并非必要条件。即有时虽然违背了这个条件，但迭代仍可能收敛。了这个条件，但迭代仍可能收敛。对于满足正系数法则的方程，如非稳态全隐格式对于满足正系数法则的方程，如非稳态全隐格式 ,由于各系数均大于零，且由于各系数均大于零，且几点说明：VSaaaPPnbp0nbPPaaS因而必有因而必有,0对于稳态有内热源的问题，只要保证 即可使得 成立（当SP=0时，不等

34、号由边界节点获得）。,0PSnbPaa现在学习的是第58页，共73页.对于稳态无内热源的问题，对内节点只有然而可以从边界邻点的离散方程中找出使得不等号成立的条件。nbPaaWEPSN如：假设边界有一温度已知，如二维网格中的W边界，则对P点的方程为：bTaTaTaTaTaSSNNWWEEPp已知，转入到常数项中，WWTaWWTabb设设这时，计算 时，只对那些未知的相nba邻系数求和，而计算aP时则是包含边界点系数在内的系数之和，所以 。对第三类BCs也成立必成立nbPaa现在学习的是第59页，共73页高斯赛德尔点迭代计算的缺点收敛速度慢，特别对于网格节点数多的情况尤为明显。因为它是以一次迭代传

35、递一个网格间距的速率来传递边界所给予的信息的(仅将扫描起始边的影响传到整个区域)。高斯-赛德尔逐行迭代法迭代原理：因点迭代不能很快地把边界信息传播到区域内部，因此就产生了一种试图充分利用直接消元法和迭代法优点的块迭代法，即按照行或列划分成块，在块内用TDMA，块之间采用G-S法，这就形成了一种高效的求解方法。因同一块内各节点的值是以隐含的方式相互联系的，故又叫隐式迭代法。现在学习的是第60页，共73页迭代方法简介：设二维导热的离散化方程为bTaTaTaTaTaSSNNWWEEPpWPENSi 选线选块yx采用逐线迭代时，将每线（行或列）作为一块，线内采用TDMA求解，线间采用G-S法求解。如图

36、所示，进行逐线迭代时，i 列中P点的左右邻点TW、TE都取已知的当前值，只有TP、TN、TS是未知值，这样同一维导热问题，可以用TDMA法求解线内每个节点的温度，而线两端的边界信息很快传给线内的所有节点。x方向的迭代用G-S法，从左向右扫描时，TW是刚刚得到的当前值。现在学习的是第61页，共73页实际上，采用逐线迭代时，二维导热的离散化方程可改写为：bTaTaTaTaTaWWEESSNNPp*bTaTaTaSSNNPp逐线迭代法能加速收敛由于同一线上的所有节点都能在一次TDMA求解中获得边界信息，而扫描方向两端的边界信息，虽然还要依靠点迭代来传播，但由于线数毕竟要比节点数少得多；再加上采用了逐

37、点更新的G-S法，所以计算速度将会明显加快。交替改变应用逐行迭代的方向现在学习的是第62页，共73页逐线迭代方向选择的原则（扫描方向）收敛速度的快慢关键在于边界信息的传播速度。因此扫描的起始线上应该有确定的信息。这样，绝热或梯度为零的边界不应作为扫描的起始边。T1T2T3?当有对流存在时，扫描方向尤为重要。由上游向下游扫描的速度比相反方向扫描的收敛速度快得多。求解狭长条区域的导热问题，应以长边的扫描为主。（热阻大的方向）当y方向的系数远大于x 方向的系数时，对 y 方向应用TDMA，沿x方向进行线迭代收敛速度快。（热阻大的方向信息多）现在学习的是第63页，共73页4.5 超松弛与欠松弛1.定义

38、：在代数方程迭代求解的过程中，往往希望加快或是减慢前后两次迭代间因变量的变化。加快变化为超松弛，减慢变化为欠松弛。超松弛常用于和G-S法相结合，这种组合起来的模式是所谓的持续超松弛。超松弛很少与逐行或逐列迭代法结合使用。在强烈的非线性方程组的迭代求解过程中，采用欠松弛避免发散。现在学习的是第64页，共73页2.方程式的写法bTaTanbnbPPPnbnbPabTaT*PPnbnbPPTabTaTT本次迭代所产生的TP变化*PPnbnbPPTabTaTT一一般般的的形形式式：为松弛因子。1为逐次超松弛(SOR)，0欠松弛，i 1,超松弛。左侧系数比原来小了，右侧多了一个负值项；在惯性松弛中，i

39、0 的结果与上述相对应，故也为超松弛。0 的结果与上述相对应，故也为亚松弛。*PnbnbPPiTbTaTia现在学习的是第67页，共73页5.i 值的选取 不存在选取最佳i 值的一般法则，对特定的问题，可根据实际经验确定。i 值应当与aP值不相上下，同时i 的模值越大，松弛作用也愈剧烈。6.稳定问题与非稳定问题求解方法上的类似 将稳定问题作为非稳定问题来求解是一种有效的方法。这时问题的初始条件就是迭代过程的初始试探值，每一时刻的解就相当于问题的一次迭代解，非稳态问题中的 相应表示上次迭代值 ，与 i 起着相同的作用。因 恒正，相当于一种特殊的欠松弛。0PT*PT0Pa0Pa现在学习的是第68页

40、，共73页 越小，越大，欠松弛作用愈强；当 很大时，很小，不再有欠松弛作用，而直接转化为稳态问题的求解。VcaP00Pa7.加速边界条件的影响传入计算区域的方法 Jacobi点迭代：完成一轮后，边界的影响只能传入到与边界相邻的一批节点上，即传入一个网格，且扫描的方向与收敛快慢无关。G-S点迭代：从左到右完成一轮扫描后，左边界的影响就传到整个区域。但右、上、下边界的影响也只能传入一个网格，迭代速度比Jacobi法快，且受迭代扫描方向的影响。现在学习的是第69页，共73页 线迭代：自左向右扫描线迭代：自左向右扫描(G-S法法)，不仅左边界的影响逐，不仅左边界的影响逐步传入，且在每列的直接求解中，上

41、下端点的影响全部传步传入，且在每列的直接求解中，上下端点的影响全部传入到该列的各个点上。因此，每完成一轮迭代，入到该列的各个点上。因此，每完成一轮迭代，左、上、左、上、下边界的影响全部传入，下边界的影响全部传入，但但右边界的影响则仅前进一个网右边界的影响则仅前进一个网格。格。交替方向隐式扫描法（交替方向隐式扫描法（ADI法）：每一轮的迭代法）：每一轮的迭代包括包括了逐行与逐列的扫描，了逐行与逐列的扫描，因而在每一轮迭代中，因而在每一轮迭代中，所有边界所有边界的影响均已传入区域内部的影响均已传入区域内部，从而加快了收敛速度。，从而加快了收敛速度。现在学习的是第70页，共73页8.边界条件对区域内

42、部的影响程度 第一类边界条件：具有最强烈的影响，最有利于迭代计算过程的收敛；第三类边界条件：规定了参考点温度以及与壁面上温度梯度成正比的系数h，对边界温度规定的明确程度较第一类边界条件弱，对计算区域内部的影响较弱；第二类边界条件：仅规定了边界上温度变化的斜率。因为在相同的斜率下，壁面温度可以在任意范围内变动，对确定内部节点温度提供的信息最少，不利于迭代过程的收敛。现在学习的是第71页，共73页4.6-2 其它坐标系以上所提到的方法不只限于直角坐标系，它还可以用于任意一种正交坐标系。由一新的坐标系引入的补充特性主要是几何上的特性，只要所要求的长度、面积以及体积计算得合适，那就不需要什么新的原则。于是，在任何正交坐标系中的离散化方程可以按照同样的方法得到。现在学习的是第72页，共73页在极坐标系中的控制容积二维极坐标问题 (r,）二维极坐标系下的通用方程STrkrrTrkrTc11(r,）坐标系中的控制容积见右图，设在z方向厚度为1。控制容积的体积为0.5（rn+rs）r。将微分方程在控制容积内积分，得到离散化方程：bTaTaTaTaTaSSNNWWEEPp其形式与直角坐标系下的相同，只是系数的表达式不同现在学习的是第73页，共73页