现代控制理论自用.ppt

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1、现代控制理论自用现在学习的是第1页，共35页注：类似注：类似其中其中 为为 矩阵矩阵 ；为为 矩阵矩阵1.1.齐次线性方程的非零解齐次线性方程的非零解考虑考虑0Ax An nx1n下面结论成立下面结论成立 的行列式不为零等价于方程有唯一零解；的行列式不为零等价于方程有唯一零解；A 的行列式为零等价于方程有非零解，且解构成向量空的行列式为零等价于方程有非零解，且解构成向量空间，基础解析所含向量的个数（解空间的维数）为间，基础解析所含向量的个数（解空间的维数）为 ；A()nR A0qM 一一.预备知识预备知识 2.1 2.1 系统的可控性系统的可控性现在学习的是第2页，共35页 2.2.凯莱凯莱-

2、哈密顿定理哈密顿定理设设n n阶矩阵阶矩阵A A的特征多项式为的特征多项式为11102 1 1()(.)nnnfIAaaa则则A A满足其特征方程，即满足其特征方程，即111002 12()(.)nnnf AAaAa Aa I式（式（2.2-22.2-2）称为凯特）称为凯特-哈密顿定理。哈密顿定理。证明证明 据逆矩阵定义有据逆矩阵定义有)()()()(1fBAIBAI式中式中B()B()为为(I-A)(I-A)的伴随矩阵，其一般展开式为的伴随矩阵，其一般展开式为 nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaAIaaaaaaaaaA212222111211212222111211,2 1 3(.)

3、现在学习的是第3页，共35页B()的元素均为(n+1)阶多项式，根据矩阵加法规则将其分解为n个矩阵之和，即1,11,11,1111,11,2211,12,11121222211)1()1()1()1()(nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaB1212102 1 4()(.)nnnnBBBBBBn-1,Bn-2,B0为n阶矩阵。将式(2.1 3)的两端右乘 2 1 5()()()(.)BIAfI 将式（2.1 4）代入式（2.1 5）并展开，有()()fIA现在学习的是第4页，共35页由方程两端 同幂项系数相等的条件有)1222()()()(011101023

4、21211IaIaIaIABABBABBABBBnnnnnnnnnnnIaABIaABBIaABBIBnnnn001101121)1232(将式 的前n个等式两端按顺序右乘An,An-1,AIaABAaABABAaABABAABnnnnnnnnn001210111121)1242(将式 中各式相加，则 0)(0111IaAaAaAAfnnn证毕。2 16(.)2 1 7(.)2 1 7(.)2 1 8(.)2 1 8(.)现在学习的是第5页，共35页102 1 9()(.)nkmmmAAkn证明证明IaAaAaAaAnnnnn012211AaAaAaAaAAAnnnnnn0211211AaAa

5、AaIaAaAaannnnn0211201111)(IaaAaaaAaaaAaaaAaannnnnnnnnn01011212123211221)()()()(故上述推论成立。式中m与A阵的元素有关。该推论可用以简化矩阵的幂的计算。推论推论1 1 矩阵矩阵A A的的k k（k kn n）次幂，可表示为）次幂，可表示为A A的（的（n n-1-1）阶多项式）阶多项式现在学习的是第6页，共35页这是由于101232112210221122)()()!1(1)(!1!121nnnnnnnnnnnnnnnnAttIaaAaaaAaantIaAaAanAtItAntAAtIe102 1 10()(.)nA

6、tmmmet A令推论推论2 2 矩阵指数矩阵指数e eA At t可表为可表为A A的（的（n n-1-1）阶多项式）阶多项式现在学习的是第7页，共35页则有1221111112122210111110100)()!1(1!1)1(1)()()!1(1!1!21)()()!1(1!1)()!1(1!11)(nnnnnnnnnnnnnnnntaantantnttaaantantttaaantantttaantant 10112210)()()()()(nmmmnnAtAtAtAtAtIte故推论2成立。式（2126）中的 0(t),1(t),n-1(t)均为t的幂函数。现在学习的是第8页，共3

7、5页 动态系统的可控性和可观测性动态系统的可控性和可观测性是揭示动态系统不变的是揭示动态系统不变的本质特征的两个重要的基本结构特性。本质特征的两个重要的基本结构特性。状 态 n维维x(t)r维维u(t)m维维y(t)能控?能控?系统可控性指的是控制系统可控性指的是控制作用对被控系统的状态和输作用对被控系统的状态和输出进行控制的可能性。出进行控制的可能性。可观测性反映由能直可观测性反映由能直接测量的输入输出的量测接测量的输入输出的量测值来确定反映系统内部动值来确定反映系统内部动态特性的状态的可能性。态特性的状态的可能性。状 态 x(t)u(t)y(t)能观测?为什么经典控制理论没有涉及到可控性和

8、可观测性问题为什么经典控制理论没有涉及到可控性和可观测性问题?二二.线性定常系统的可控性及其判据线性定常系统的可控性及其判据现在学习的是第9页，共35页uxxxxx212112例例2.1.1:2.1.1:给定系统的状态空间模型与结构图分别为给定系统的状态空间模型与结构图分别为 本例中本例中,状态变量状态变量x x1 1的运动只受初始状态的运动只受初始状态x x1 1(0)(0)的影响的影响,与输入无关与输入无关,即输入即输入u u(t t)不可控制不可控制x x1 1(t t)的运动的运动,而且而且x x1 1(t t)不能在有限时间内不能在有限时间内衰减到零。衰减到零。因此因此,状态状态x

9、x1 1(t t)不可控不可控,则整个系统是状态不完全可控的。则整个系统是状态不完全可控的。1/s-1-2 2x1x1/syu现在学习的是第10页，共35页线性定常系统的状态方程为线性定常系统的状态方程为BuAxx 给定给定系统一个初始状态系统一个初始状态 ，如果在，如果在 的有限时间的有限时间区间区间 内，存在容许控制内，存在容许控制 ，使，使 ，则称系，则称系统状态在统状态在 时刻是时刻是能控的能控的；如果系统对；如果系统对任意任意一个初始状态都一个初始状态都能控，则称系统是能控，则称系统是状态完全能控的状态完全能控的。)(0tx01tt,10tt)(tu0)(1tx0t1.1.能控性定义

10、能控性定义说明：说明：1 1）初始状态初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）其在新的坐标系下是坐标原点。）yCxDu x2 x1 0 x(t0)x(t0)x(t0)维向量输出维向量输出,为满足矩阵运算的矩阵。为满足矩阵运算的矩阵。其中，为其中，为 维向量，为维向量，为 维向量输入，为维向量输入，为、ABCDxnurmy2 1 11(.)现在学习的是第11页，共35页)(tu)

11、(tf5 5）当系统中存在不依）当系统中存在不依 赖于赖于 的确定性干扰的确定性干扰 时时，不会改变系统的能控性。不会改变系统的能控性。)(tf)(tfBuAxx2 2）如果在有限时间区间）如果在有限时间区间 内，存在容许控制内，存在容许控制 ，使，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ，则称，则称系统是系统是状态可达的状态可达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的可控性和可达性是等价的。的，因此系统的可控性和可达性是等价的。,10tt)(tu)(1tx3 3）只有整个状态空间中所有的有限点都是可控

12、的，系统才是可）只有整个状态空间中所有的有限点都是可控的，系统才是可控的。控的。etd)()0(10BuxA4 4）满足）满足 式的初始状态，必是可控状态。式的初始状态，必是可控状态。2 1 12(.)2 1 12(.)2 1 13(.)现在学习的是第12页，共35页2.2.线性定常连续系统的状态可控性判据线性定常连续系统的状态可控性判据00021 14()()(),(),(.)x tAx tBu txxt线性定常连续系统的状态方程线性定常连续系统的状态方程格拉姆矩阵判据格拉姆矩阵判据秩判据秩判据PBHPBH秩判据秩判据模态判据模态判据运算的矩阵。运算的矩阵。其中，为其中，为 维向量，为维向量

13、，为 维向量输入，维向量输入，为满足矩阵为满足矩阵AB、xnup现在学习的是第13页，共35页1 1）格拉姆矩阵判据）格拉姆矩阵判据 线性定常连续系统式线性定常连续系统式 完全可控的充要条件是，存在时刻完全可控的充要条件是，存在时刻t t1 100，使如下定义的格拉姆矩阵：，使如下定义的格拉姆矩阵：11002 1 15(,)(.)TtAtTA tWteBB edt非奇异。非奇异。证明证明 充分性：已知充分性：已知 为非奇异，欲证系统完全可控。为非奇异，欲证系统完全可控。已知已知 非奇异，故非奇异，故 存在。对于任一非零初始状态存在。对于任一非零初始状态 可选取可选取 为为1101002 1 1

14、6()(,),(.)TTA tu tB eWt xtt 则在则在 作用下系统作用下系统 在在 时刻的解为时刻的解为10(,)Wt1WW0 x()u t()u t1t2 1 14(.)2 1 14(.)00021 14()()(),(),(.)x tAx tBu txxt现在学习的是第14页，共35页必要性必要性:已知系统完全可控，欲证已知系统完全可控，欲证 为非奇异。为非奇异。nAtAttATtAtAtAttttAAtRxxtWtWexextdtWeBBeexedttBuexetxT001110011000)(010),0(),0(),0()()(11111111表明，对任一取定的初始状态表明

15、，对任一取定的初始状态 ，都存在有限时刻，都存在有限时刻 和控制和控制 ，使状态由，使状态由 转移到转移到t t1 1时刻的状态时刻的状态 ，于是根据定，于是根据定义可知系统完全可控。充分性得证。义可知系统完全可控。充分性得证。采用反证法。设采用反证法。设 为奇异，则存在某个非零向量为奇异，则存在某个非零向量0,nxR使10002 1 17(,)(.)Wt x 成立，由此可导出成立，由此可导出00 x()u t0 x10()x t10t 10(,)Wt10(,)Wt现在学习的是第15页，共35页由此又可导出由此又可导出111001000000200002 1 18(,)(.)TTTTtTTAt

16、TA ttTA tTTA ttTA tx Wt xx eBB ex dtB exB ex dtB exdt其中其中|为范数，故其必为正值。于是，欲使式为范数，故其必为正值。于是，欲使式 成立，应当有成立，应当有01002 1 19,(.)TTA tB extt 另一方面，因系统完全可控，根据定义对此非零向量另一方面，因系统完全可控，根据定义对此非零向量应当有应当有0 x11101002 120()()(.)tAtAtAtx texeeBu t dt111002000000002 1212 122()(.)()()(.)TtAtTttTAtTTA txeBu t dtxx xeBu t dtxu

17、t B ex dt 21 18(.)现在学习的是第16页，共35页再利用式（再利用式（2.12.11919），由式（），由式（2.12.12222）可以得到）可以得到200002 1 23(.)xx即显然，此结果与假设显然，此结果与假设00 x相矛盾，即相矛盾，即 为非奇异为非奇异因此，若系统完全可控，因此，若系统完全可控，必为非奇异。必要性得证。证必为非奇异。必要性得证。证毕。毕。可以看出，在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数可以看出，在应用格拉姆矩阵判据时需计算矩阵指数e eAtAt，在，在A A的维数的维数n n较大时计算较大时计算e eAtAt是困难的。所以是困难的。所以格拉姆矩阵判据

18、主要用于理论分析格拉姆矩阵判据主要用于理论分析。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵。线性定常连续系统可控性的常用判据是直接由矩阵A A和和B B判断可控性的秩判据。判断可控性的秩判据。的反设不成立的反设不成立。10(,)Wt10(,)Wt现在学习的是第17页，共35页2)2)秩判据秩判据线性定常连续系统线性定常连续系统 完全可控的充要条件完全可控的充要条件12 124(.)nrankBABABn 其中其中n n为矩阵为矩阵A A的维数，的维数，BAABBSn 1称为系统的可控性判别阵。证明证明充分性：充分性：已知已知rankSrankSn n，欲证系统完全可控。，欲证系统完全可控。采

19、用反证法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知采用反证法。反设系统为不完全可控，则根据格拉姆矩阵判据可知0,),0(1011tdteBBetWttATAtT为奇异，这意味着存在某个非零为奇异，这意味着存在某个非零n n维向量维向量使使0),0(11001tTAtTAtTttATAtTTdtBeBedteBBetWT成立。显然，由此可导出成立。显然，由此可导出1002 125,(.)TAteBtt 将式将式 求导直至求导直至n n1 1次，再在所得结果中令次，再在所得结果中令t t0 0，得到，得到2100002 126,(.)TTTTnBABA BAB2 1 14(.)2 125(.

20、)现在学习的是第18页，共35页式式 又可表示为又可表示为2102 127(.)TnTBABA BABS 由于由于 0 0，所以式，所以式 意味着意味着S S为行线性相关，即为行线性相关，即rankSn,rankSn,这显然和已知这显然和已知rankS=nrankS=n相相矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。矛盾。因而反设不成立，系统应为完全可控。必要性：必要性：已知系统完全可控，欲证已知系统完全可控，欲证rankS=n.rankS=n.采用反证法。反设采用反证法。反设rankS n,rankS 0t10有有11000 1 2();,;,!iiiTA tBttii 从而从而2 23 311

21、1002 1 3023;,(.)!TTAtIAtA tA tBeBtt 因而有因而有110002 1 31(,)(.)TtTAtTA tTeBB edtWt由于已知由于已知 0 0，若式，若式 成立，则成立，则WW（0 0，t1 t1）必为奇异，系统为不完全可）必为奇异，系统为不完全可控，与已知结果相矛盾。于是有控，与已知结果相矛盾。于是有rankS=n,rankS=n,必要性得证。必要性得证。秩判据证毕。秩判据证毕。2 1 31(.)现在学习的是第20页，共35页例例2.1.2判断下列状态方程的可控性判断下列状态方程的可控性 21321321111112310020231uuxxxxxx解解

22、 系统的可控性矩阵系统的可控性矩阵4422114422114523122BAABBS显见显见S S矩阵的第二、第三行元素绝对值相同，矩阵的第二、第三行元素绝对值相同，rankS=23,rankS=23,系统不可控系统不可控。现在学习的是第21页，共35页3)PBH 3)PBH 秩判据秩判据 线性定常连续系统线性定常连续系统 完全可控的充要条件是，对矩阵完全可控的充要条件是，对矩阵A A的的所有特征值所有特征值 i i(i=1,2,3,n),(i=1,2,3,n),1 22 1 32;,(.)irankIABnin均成立，或等价地表示为均成立，或等价地表示为2 1 33,(.)rank sIAB

23、nsC 证明证明 必要性：已知系统完全可控，欲证式必要性：已知系统完全可控，欲证式 成立。成立。采用反证法。反设对某个采用反证法。反设对某个BAInBAIrankiii则意味着有,为线性相关，因而必存在一个非零常数向量为线性相关，因而必存在一个非零常数向量，使，使02 1 34(.)TiIAB成立。考虑到问题的一般性，由式成立。考虑到问题的一般性，由式 可导出可导出02 1 35,(.)TTTiAB即即(sI-A)(sI-A)和和B B是左互质的。是左互质的。由于这一判据由波波夫和贝尔维奇由于这一判据由波波夫和贝尔维奇(Belevitch)(Belevitch)首先提出并由豪塔斯首先提出并由豪

24、塔斯(Hautus)(Hautus)最先指出其广泛应用性，故称为最先指出其广泛应用性，故称为PBHPBH秩判据。秩判据。2 1 14(.)2 1 32(.)2 1 34(.)现在学习的是第22页，共35页进而可得进而可得0,0,01BABABBnTTiTT于是有于是有1021 36(.)TnTBABA BS因已知因已知00，所以欲使式，所以欲使式 成立，必有成立，必有nrankS 这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，这意味着系统不可控，显然与已知条件相矛盾，因而反设不成立，而式而式 成立。考虑到成立。考虑到sI-A BsI-A B为多项式矩阵，且对复数域为多项式矩阵，且对

25、复数域C C上上除除i(i=1,2,3,n)i(i=1,2,3,n)以外的所有以外的所有s s均有均有det(det(sI sI-A A)0)0，所以式，所以式 等价于式等价于式 。必要性得证。必要性得证。充分性：已知式充分性：已知式 成立，欲证系统完全可控。成立，欲证系统完全可控。采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，采用反证法。利用与上述相反的思路，即可证明充分性。至此，PBHPBH秩判据证毕。秩判据证毕。2 1 36(.)2 1 32(.)2 1 32(.)2 1 33(.)2 1 32(.)现在学习的是第23页，共35页例例2.1.3已知线性定常系统的状态方程为已知线

26、性定常系统的状态方程为4,021001100500100001000010nuxx 试判断系统的可控性。试判断系统的可控性。解解 根据状态方程可写出根据状态方程可写出02500101000101010001ssssBAsI考虑到考虑到A A的特征值为的特征值为,5,5,04321所以只需对它们来检验所以只需对它们来检验上述矩阵的秩。通过计算可知，上述矩阵的秩。通过计算可知，时，有当021s42050010010100001rankBAsIrank现在学习的是第24页，共35页时，有当53s40200100001501015rankBAsIrank时，有当54s40200100001501015

27、rankBAsIrank计算结果表明，充分必要条件计算结果表明，充分必要条件 成立，故系统完全可控。成立，故系统完全可控。2 1 32(.)现在学习的是第25页，共35页解解 由方程由方程|i iI I-A A|=0,|=0,可解得矩阵可解得矩阵A A的特征值分别为的特征值分别为1 1,2,2和和3 3。对特征值对特征值 1 1=1,=1,有有ux111112310020231x 例例2.1.42.1.4：试判断如下系统的状态可控性。试判断如下系统的状态可控性。nBI-A3112101101012230rankrank1现在学习的是第26页，共35页 对特征值对特征值 2 2=2 2,有有nB

28、I-A3111101100012231rankrank2 对特征值对特征值 3 3=3 3,有有nBI-A2110101101012232rankrank3 由由PBHPBH秩判据可知秩判据可知,该系统状态不完全可控。该系统状态不完全可控。现在学习的是第27页，共35页4 4）约当规范型判据（模态判据）约当规范型判据（模态判据）线性定常连续系统线性定常连续系统 完全可控的充要条件分两种情况：完全可控的充要条件分两种情况：矩阵矩阵A A的特征值的特征值i i(i=1,2,3,m),(i=1,2,3,m),是两两相异的。由线是两两相异的。由线性变换可将式性变换可将式 变为对角规范型变为对角规范型1

29、22 137(.)mxxBu则系统则系统 完全可控的充分必要条件是，在式完全可控的充分必要条件是，在式 中，中，B不包含元素全为零的行。不包含元素全为零的行。00021 14()()(),(),(.)x tAx tBu txxt21 14(.)21 14(.)21 14(.)21 37(.)证明证明 可用秩判据予以证明，推证过程略。现在学习的是第28页，共35页例例2.1.52.1.5已知线性定常系统的对角线规范型为已知线性定常系统的对角线规范型为21321.3.2.1200310200010008uuxxxxxx（9148）试判定系统的可控性。试判定系统的可控性。解解 由于此规范型中由于此规

30、范型中B不包含元素全为零的行，故系统不包含元素全为零的行，故系统完全可控完全可控。现在学习的是第29页，共35页 例题：例题：判断下述系统的状态可控性判断下述系统的状态可控性7215517()()()()ttu t xx7225019()()()()ttu t xx7013540175()()()()tttxxu现在学习的是第30页，共35页 矩阵矩阵A A的特征值为的特征值为112212(),(),(),mmmrrrrrrn重重重 且由线性变换可将式由线性变换可将式 化为约当规范型化为约当规范型2 1 38.(.)xAxBu21 14(.)00021 14()()(),(),(.)x tAx

31、 tBu txxt其中其中1122()(),n nn pmmBJJBABJB现在学习的是第31页，共35页11221211()()()(),iiiikikikiiiiirprriiikiiikikikrrrpilikBJJBJBJBbbJBb1122()(),n nn pmmBJJBABJB现在学习的是第32页，共35页对对 均为行线性无关均为行线性无关121 2(),(,)iiiiikrrrrBk而由最后一行所组成的矩阵最后一行所组成的矩阵12ililirlibbBb1 2,im证明证明 可用PBH秩判据予以证明，此处略去推证过程。1211()(),ikikikikiiikikikrrrpi

32、likbbJBb现在学习的是第33页，共35页例例2.1.6 2.1.6 给定线性定常系统的约当规范型如下，试判定系统的可控给定线性定常系统的约当规范型如下，试判定系统的可控性。性。uxx003330021000400020001000522012111011123112112221331100120020033004300,llrlrllrlbbBbBbbBb解解 由于由于矩阵矩阵 和和 都是行线性无关的，都是行线性无关的，的元素不全为零，故系统完全可控的元素不全为零，故系统完全可控。3rB2rB1rB现在学习的是第34页，共35页2 2 输出可控性判据输出可控性判据 1.1.输出可控性定义

33、输出可控性定义：若在有限时间间隔内若在有限时间间隔内 t t0 0，t t1 1 内，存在无内，存在无约束的分段连续控制函数约束的分段连续控制函数u(u(t t)，t tt t0 0，t t1 1，能使任意初始输出，能使任意初始输出y y(t t0 0)转移到任意最终输出转移到任意最终输出y y(t t1 1),),则称该系统输出可控。则称该系统输出可控。设系统动态方程为设系统动态方程为 DuCxytttxtxBuAxx,)(,1000其状态方程的解为其状态方程的解为 ,)()0()(100)(1111tttBuexetxttAAt其输出为其输出为 )()()0()(10)(1111tDuBueCxCetyttAAt可不失一般性地假定可不失一般性地假定 y(t1)=0，于是有于是有三三.线性定常系统的输出可控性及其判据线性定常系统的输出可控性及其判据现在学习的是第35页，共35页