2022年上海交大数学分析第学期期终考试解答演示教学 .pdf

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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑一、填空题（每小题 4 分，共 16 分）1.极限210arcsinlimxxxx61e.2.极限ninnin1arctan1lim2ln214.3.积分12321arctan1dxxxxx154.4.(电院专业同学做此题，不做4*)设常数0a，则平面曲线222222()4()xyaxy所围图形的面积为24a.4*.(管院专业同学做此题，不做4)设)(xf49623xxx，则)(xf在4,0上的最大值为0 .二、单项选择题（每小题 3 分，共 12 分）1.考虑下列断语，则有【D】(I)若,)(baRxf，则,)(2baRxf.(II)若,

2、)(baRxf，则,)(baRxf.(A)I 正确，II 不正确.(B)I 不正确，II 正确.(C)I，II 均不正确.(D)I，II 均正确.2.设常数0k，则方程ln0exxk在),0(内的实根个数为【B】(A)3.(B)2.(C)1.(D)0.3.设)(xg为区间 I 上的上凸函数，)(xf为 J 上递减的下凸函数，且JgR)(，则【A】(A)gf为 I 上的下凸函数.(B)gf为 I 上的上凸函数.(C)gf必为 I 上的单调函数.(D)以上结论都不正确.上海交通大学试卷（A卷）（2010 至 2011 学年 第一学期）班级号 _ 学号_ 姓名课程名称数学分析（C 类）（电院、管院）

3、成绩名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑4.设)(xF是)(xf在区间,ba上的一个原函数,则下列命题中,错误命题个数为【A】(I)(xF在,ba上连续.(II)若0)()(bFaF，则),(ba，使0)(F.(III)(xf在,ba上没有第一类间断点.(IV)若0)()(bfaf，则),(ba，使0)(f.(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.B 卷：1.(A)2.(C)3.(B)4.(D)三、(本题共 12 分)全面讨论函数2)1(12xxy的性态，并列表作图（已知43)1(24,)1(2xxyxx

4、y）解 函数定义域：1x令.00 xy令210 xy列表：x)21,(21)0,21(0)1,0(),1(y 0 +y 0 +y单调减上凸拐点单调减下凸极小值单调增下凸单调减下凸 -（5）拐点)98,21(，极小值点)1,0(由yx1lim得垂直渐近线1x；由0lim yx得水平渐近线0y.-（8）草图：-（12）1 121 121 O x y 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑四、计算题(第 1 小题 6 分，其它 4 小题各 7 分，共 34 分)1.求极限111limln1xxx.解 原式=xxx

5、xxln)1(ln1lim1 -（2）=21)1(ln1limxxxx=)1(211lim1xxx =2121lim1xx -（6）2.求极限30e sin(1)limxxxxxx.解 原式=3243220)(6()(21(limxxxxxxxxxx-（3）=323320)(3(limxxxxxxxx =31)(3lim3330 xxxx -（7）3.求不定积分arcsind1xxx.解 原式=xxd 1arcsin2=)111arcsin1(22dxxxxx-（3）=)11arcsin1(2dxxxx=Cxxx14arcsin12 -（7）4.设函数0,1fC，且0)0(f，当(0,1x时，

6、()0f x，又220tan()()d12 tanxtfxf ttt，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑求)(xf的表达式.解 由于当0 x时，()0f x，由2()fx可导知()f x也可导.方程两边对x求导，得xxxfxfxf2tan21tan)()()(2-(2)当0 x时，有xxxf2tan21tan)(2方程两边对x积分得dxxxxf2tan21tan21)(=xxddxxx22cos2cos21cos2sin21 =Cx2cosarcsin21-（6）再由0)0(f得 C=8.-（7）5.计

7、算定积分e21(ln)dxxx.解 原式=xdxxxxxdxeeeln23)(ln33)(ln12123312-（3）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑 =eeedxxxxexdxe12133133)ln(923ln923-（6）=32275)31(9233333eeee-（7）五、(本题共 10分)设)(),(xgxf在,ba上连续，在),(ba内可导，且()()0f a f b，()()02abf a f，又对任意的,xa b有()0g x.试证:在),(ba内至少存在一点，使)()()()(gfg

8、f.证 不妨设,0)(af则0)2(,0)(bafbf，由0)2()(bafaf，0)()2(bfbaf及零点存在定理知),2(),2,(21bbaxbaax使0)()(21xfxf-（5）构造函数)()()(xgxfxF,bax，-（8）则0)()(21xFxF，故由 Rolle 定理知),(),(21baxx使0)(F即)()()()(gfgf-（10）六、（本题共 10 分）设)(),(xgxf是定义在1,0上的有界函数，)(xf和)(xg在 1,0上取值相异的点构成数列nx，该数列满足1ln(1)()nnxxnN.证明：(1)数列nx收敛，且 lim0nnx；(2)1,0Rgf，并计算

9、积分值10()()df xg xx.证（1）因为nnnxxx)1ln(1，Nn，故数列nx单调减，又1,0nx有界，所以数列nx收敛。设极限为 A，并在递归式)1ln(1nnxx两边令n即得0A-（4）（2）设函数)()()(xgxfxF，则)(xF在 1,0上有界，在数列nx处间断，因为名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 6 页 -资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除word 可编辑00nx，故N),1(0N,Nn有20nx.在区间 1,2上，由于)(xF只有有限个间断点，故)(xF在区间 1,2上可积，所以对上面的及对0，在 1,2上存在分划1使2)(Fiix.

10、而在区间 1,0上，取分划0:1，也有22)(Fiix，故由可积的第二充要条件知)(xFR 1,0.-(8)由于)(xFR 1,0，且除在可列个点nx间断外取值处处为零，故对 1,0上任意的分划，在每个子区间,1iixx上总可取到点i满足0)(iF，如此便有0)(lim0iixF，即10)(dxxF10()()df xg xx=0 -（10）七、(本题共 6 分)设)(xf在1,0上有连续的二阶导数，且0)1()0(ff，又)(xf不恒为零.证明：100,11max()()d4xf xfxx.证 由条件知)(xf在(0,1)内取到最大值，设)1,0(0 x，)(0 xf=)(max1,0 xfx，现分别在1,000 xx上对)(xf用 Lagrange 中值定理有),0(),()0()();1,(),(1)()1(000000 xfxfxfxfxxff-（2）则)()()()()(10ffdxxfdxxfdxxf)(4)1(1)()111()()(1)(00000000000 xfxxxfxxxfxxfxxf故有)(0 xf100,11max()()d4xf xfxx-（6）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 6 页 -