导数与微分导数的概念讲稿.ppt
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1、导数与微分导数的概念第一页,讲稿共六十页哦一、引言一、引言典型背景示例典型背景示例 例例 自由落体在某时刻的瞬时速度自由落体在某时刻的瞬时速度 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的,第二次数学危机则是由牛顿学派内部提出的,第二次数学危机则是由牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的,是对牛顿派的外部、贝克莱大主教提出的,是对牛顿 “无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的。说法的质疑引起的。第二页,讲稿共六十页哦 1 1危机的引发危机的引发 1 1)牛顿的)牛顿的“无穷小无穷小”
2、牛顿的微积分是一项划时代的科学成牛顿的微积分是一项划时代的科学成就,蕴含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑就,蕴含着巨大的智慧和创新,但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。上的问题。我们来看一个例子。微积分的一个来源,是想求运动物体微积分的一个来源,是想求运动物体在某一时刻的在某一时刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前,只能。在牛顿之前,只能求一段时间内的求一段时间内的平均速度平均速度,无法求某一时刻,无法求某一时刻的瞬时速度。的瞬时速度。第三页,讲稿共六十页哦 例如,设自由落体在时间例如,设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ,有,有公式公式 ,其中,其中 是固定的重力加速度。我们是固定的重力
3、加速度。我们要求物体在要求物体在 的瞬时速度,先求的瞬时速度,先求 。(*)t221)(gttSg0ttS22101022200011()()2211()2()22SS tS tgtgtg tttgttt 01()2Sgtgtt)(tS第四页,讲稿共六十页哦0ttDSD2101()()2S tg tt=+D2001()2S tgt=10()()SS tS tD=-222000111()2()222g ttgtgttt=+D-=D+D20012()12()2gtttSgtgtttD+DD=+DDD第五页,讲稿共六十页哦 当当 变成无穷小时,右端的变成无穷小时,右端的 也变成无穷小,因而上式右端就
4、可以认为也变成无穷小,因而上式右端就可以认为是是 ,这就是物体在,这就是物体在 时的瞬时速度,时的瞬时速度,它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用,解决了大量过牛顿的这一方法很好用,解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严格,遭到责难。格,遭到责难。t)(21tg0gt0t第六页,讲稿共六十页哦 2 2)贝克莱的发难)贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。牛顿的理论。贝克莱问道:贝克莱问道:“无穷小无穷小”作为一个量,作为一个量,究竟是不是究竟是不是0 0?第七页,讲稿共六
5、十页哦01()2Sgtgtt 如果是如果是0 0,上式左端当,上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0 0,就没有意,就没有意义了。如果不是义了。如果不是0 0,上式右端的,上式右端的 就不能任意去掉就不能任意去掉。t1()2gt 在推出上式时,假定了在推出上式时,假定了 才能做除法,所以上式的才能做除法,所以上式的成立是以成立是以 为前提的。那么,为什么又可以让为前提的。那么,为什么又可以让 而求得瞬时速度呢?而求得瞬时速度呢?因此,牛顿的这一套运算方法,就如同从因此,牛顿的这一套运算方法,就如同从 出发,两端同除以出发,两端同除以0 0,得出,得出5=35=3一样的荒谬。一样的荒谬。
6、0t0t0t0305(*)第八页,讲稿共六十页哦 贝克莱还讽刺挖苦说:既然贝克莱还讽刺挖苦说:既然 和和 都变成都变成“无穷小无穷小”了,而无穷小作为一个量了,而无穷小作为一个量,既不是,既不是0 0,又不是非,又不是非0 0,那它一定是,那它一定是“量的量的鬼魂鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的,但是家提出的,但是St第九页,讲稿共六十页哦贝克莱的质问是击中要害的贝克莱的质问是击中要害的 数学家在将近数学家在将近200200年的时间里,不能彻底反驳年的时间里,不能彻底反驳贝克莱的责难。贝
7、克莱的责难。直至柯西创立极限理论,才较好地反驳了贝克直至柯西创立极限理论,才较好地反驳了贝克莱的责难。莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“”语言,才语言,才彻底地反驳了贝克莱的责难。彻底地反驳了贝克莱的责难。第十页,讲稿共六十页哦 3 3)实践是检验真理的唯一标准)实践是检验真理的唯一标准 应当承认,贝克莱的责难是有道理的。应当承认,贝克莱的责难是有道理的。“无穷小无穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”的方法。数的方法。数学家们相信它,只
8、是由于它使用起来方便有效,并且学家们相信它,只是由于它使用起来方便有效,并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子,显示出牛顿的理论和方法的巨大威力舞人心的例子,显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以,人们不大相信贝克莱的指责。这表明,在大。所以,人们不大相信贝克莱的指责。这表明,在大多数人的脑海里,多数人的脑海里,“实践是检验真理的唯一标准。实践是检验真理的唯一标准。”第十一页,讲稿共六十页哦 危机的实质危机的实质 应该说,第二次数学危机的实质是应该说,第二次数学危机的实质是极限极限的概念不清楚,极限的理论基础不牢固。的概念不
9、清楚,极限的理论基础不牢固。也也就是说,微积分理论缺乏逻辑基础。就是说,微积分理论缺乏逻辑基础。第十二页,讲稿共六十页哦 其实,在牛顿把瞬时速度说成其实,在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比穷小距离与所用的无穷小时间之比”的时候,这种的时候,这种说法本身就是不明确的,是含糊的。说法本身就是不明确的,是含糊的。当然,牛顿也曾在他的著作中说明,所谓当然,牛顿也曾在他的著作中说明,所谓“最终的比最终的比”,就是分子、分母要成为,就是分子、分母要成为0 0还不是还不是0 0时的时的比比例如(例如(*)式中的)式中的gtgt,它不是,它不是“最终的量的比最终的量的
10、比”,而是,而是“比所趋近的极限比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这个词,但这个词,但并没有明确说清这个词的意思。并没有明确说清这个词的意思。第十三页,讲稿共六十页哦 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分,但是也没有明确给出,但是也没有明确给出极限的定义极限的定义。正因为如此,此后近二百年间的数学家,正因为如此,此后近二百年间的数学家,都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以,由所以,由“无穷小无穷小”引发的第二次数学危引发的第二次数学危机,机,实质上是缺少严密的极限概念和极限理实质上是
11、缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。论作为微积分学的基础。第十四页,讲稿共六十页哦牛顿莱布尼茨第十五页,讲稿共六十页哦 2 2危机的解决危机的解决 1 1)必要性)必要性 微积分虽然在发展,但微积分逻辑基础微积分虽然在发展,但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显,这毕竟是数学家上存在的问题是那样明显,这毕竟是数学家的一块心病。的一块心病。第十六页,讲稿共六十页哦 而且,随着时间的推移,研究范围的扩而且,随着时间的推移,研究范围的扩大,类似的悖论日益增多。数学家在研究无大,类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候,做出许多错误的证明,并由穷级数的时候,做出许多错误的证明,并由此
12、得到许多错误的结论。由于没有严格的极此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行(不考虑无穷级数收敛的问题)间任意通行(不考虑无穷级数收敛的问题)。第十七页,讲稿共六十页哦 因 此,进 入因 此,进 入 1 91 9世 纪 时,一 方 面 微 积世 纪 时,一 方 面 微 积分取得的成就超出人们的预料,另一方分取得的成就超出人们的预料,另一方面,大量的数学理论没有正确、牢固的逻面,大量的数学理论没有正确、牢固的逻辑基础,因此不能保证数学结论是正确无辑基础,因此不能保证数学结论是正确无误的。误的。历史要求为微积分学说
13、奠基。历史要求为微积分学说奠基。第十八页,讲稿共六十页哦 2 2)严格的极限理论的建立)严格的极限理论的建立 到到1919世纪,一批杰出数学家辛勤、世纪,一批杰出数学家辛勤、天才的工作,终于逐步建立了严格的极限天才的工作,终于逐步建立了严格的极限理论,并把它作为微积分的基础。理论,并把它作为微积分的基础。应该指出,应该指出,严格的极限理论严格的极限理论的建立是的建立是逐步的、漫长的。逐步的、漫长的。第十九页,讲稿共六十页哦 在在1818世纪时,人们已经建立了极限理论,但那是初步的世纪时,人们已经建立了极限理论,但那是初步的、粗糙的。、粗糙的。达朗贝尔(法)在达朗贝尔(法)在17541754年指
14、出,必须用可靠的理论去代年指出,必须用可靠的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。的理论。1919世纪初,捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证世纪初,捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析,他写的引入数学分析,他写的无穷的悖论无穷的悖论一书中包含许多一书中包含许多真知灼见。真知灼见。第二十页,讲稿共六十页哦 而做出决定性工作、可称为分析学的奠而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是基人的是法国数学家柯西法国数学家柯西(A.L.Cauchy,1789A.L.Cauchy,178918571857)。他在)。他在18
15、21182118231823年间出版的年间出版的分析教程分析教程和和无穷小计算讲无穷小计算讲义义是数学史上划时代的著作。他对极限给是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义,然后用它定义连续、导出比较精确的定义,然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性,已数、微分、定积分和无穷级数的收敛性,已与我们现在教科书上的差不太多了。与我们现在教科书上的差不太多了。第二十一页,讲稿共六十页哦柯西波尔查诺波尔查诺第二十二页,讲稿共六十页哦 3 3)严格的实数理论的建立)严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现,使人们认识到,极限后来的一些发现,使人们
16、认识到,极限理论的进一步严格化,需要实数理论的严格理论的进一步严格化,需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析,是在实数范围化。微积分或者说数学分析,是在实数范围内研究的。但是,下边两件事,表明极限概内研究的。但是,下边两件事,表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。赖比人们想象的要深奥得多。第二十三页,讲稿共六十页哦 一件事是,一件事是,18741874年年德国数学家魏尔斯特拉斯德国数学家魏尔斯特拉斯(K.T.W.WeirstrassK.T.W.Weirstrass,1815181518971897)构造了一个)构造了
17、一个 “点点点连续而点点不可导的函数点连续而点点不可导的函数”。“连续函数连续函数”在直观上是在直观上是“函数曲线没有间断函数曲线没有间断,连在一起,连在一起”,而,而“函数在一点可导函数在一点可导”直观上是直观上是“函数曲线在该点有切线函数曲线在该点有切线”。所以,在直观上。所以,在直观上“连续连续”与与“可导可导”有密切的联系。有密切的联系。这之前甚至有人还证明过:函数在连续点上都可这之前甚至有人还证明过:函数在连续点上都可导(当然是错误的)。因此根本不可想象,还会有导(当然是错误的)。因此根本不可想象,还会有“点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。第二十四页,讲稿共六十
18、页哦 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(1815(18151897)1897)德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德,1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年,先后在几所中学任教。1854年3月31日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授,同年成为柏林科学院成员,1864年升为教授。第二十五页,讲稿共六十页哦 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 关于关于 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”的例子是的例子是 其中其中 是奇数,是奇数,。0()cos()nnnf xba
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