空间的曲面与曲线课件.ppt

《空间的曲面与曲线课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间的曲面与曲线课件.ppt（56页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、返回返回上页上页下页下页目录目录关于空间的曲面与关于空间的曲面与曲线曲线9/7/20221现在学习的是第1页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/20222一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3)和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222)3()2()1(zyx07262zyx化简得化简得即即说明说明:动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面.引例引例:1:1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程.222)4

2、()1()2(zyx解解:设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为,),(zyxM,BMAM 则轨迹轨迹方程方程.现在学习的是第2页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202230),(zyxFSzyxo如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系有下述关系:(1)曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F(x,y,z)=0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程,曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F(x,y,z)=0 的的图形图形.两个基本问题两个基本问题 :(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不

3、在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程求曲面方程.(2)已知方程时已知方程时,研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状(必要时需作图必要时需作图).定义定义1现在学习的是第3页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/20224故所求方程为故所求方程为),(zyxM),(0000zyxM方程方程.特别特别,当当M0在原点时在原点时,球面方程为球面方程为解解:设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹xyzoM0M222yxRz表示上表示上(下下)球面球面.Rzzyyxx202020)()()(2222

4、000()()()xxyyzzR2222xyzR例例1 求动点到定点求动点到定点二、一些常见的曲面二、一些常见的曲面1.球面球面现在学习的是第4页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/20225042222yxzyx解解:配方得配方得5,)0,2,1(0M此方程表示此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形.的曲面的曲面.（课本（课本 例例1）表示表示怎样怎样半径为半径为的球面的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心为球心为 5)2()1(222zyx例例2 研究方程研究方程现在学习的是第5页，

5、共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/20226定义定义2 一条平面曲线一条平面曲线2.2.旋转曲面旋转曲面 绕其平面上一条绕其平面上一条定直线定直线旋转旋转一周一周所形成的曲面叫做所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为该定直线称为旋转旋转轴轴 ,旋转曲线叫做旋转曲面旋转曲线叫做旋转曲面的的母线母线.例如例如:现在学习的是第6页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/20227故旋转曲面方程为故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕当绕 z 轴旋转时轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点若点给定给定 yoz 面上曲线面上曲线 C:),0(111zyM)

6、,(zyxM1221,yyxzz则有则有0),(22zyxf则有则有该点转到该点转到0),(zyfozyxC建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:现在学习的是第7页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202280),(:zyfCoyxz0),(22zxyf求旋转曲面方程时求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐则该坐标轴标轴对应的变量不变对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成而曲线方程中另一变量写成该变量与第三变量平方和的正负平方根该变量与第三变量平方和的正负平方根.思考：思考：当曲线当曲线 C 绕绕

7、 y 轴旋转时，方程如何？轴旋转时，方程如何？现在学习的是第8页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/20229的圆锥面方程的圆锥面方程.解解:在在yoz面上直线面上直线L 的方程为的方程为cotyz 绕绕z z 轴旋转时轴旋转时,圆锥面的方程为圆锥面的方程为cot22yxz)(2222yxazcota令xyz两边平方两边平方L),0(zyM例例2 试建立顶点在原点试建立顶点在原点,旋转轴为旋转轴为z 轴轴,半顶角为半顶角为现在学习的是第9页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202210 xy12222czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面

8、方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解解:绕绕 x 轴旋转轴旋转222221xyzac绕绕 z 轴旋转轴旋转222221xyzac这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为z例例 求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线(旋转双叶双曲面）旋转双叶双曲面）(旋转单叶双曲面）旋转单叶双曲面）（习题（习题6-4 3（2）现在学习的是第10页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202211xyz3.3.柱面柱面引例引例 分析方程分析方程表示怎样表示怎样的坐标也满足方程的坐标也满足方程222Ryx解解:在在 xoy

9、面上面上表示圆表示圆C,222Ryx222Ryx沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆圆故在空间故在空间222Ryx过此点作过此点作柱面柱面.对任意对任意 z,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l,表示表示圆柱面圆柱面oC在圆在圆C上任取一点上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点其上所有点的坐标都满足此方程其上所有点的坐标都满足此方程,的曲面的曲面?现在学习的是第11页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202212xyzxyzol平行平行定定直线直线并沿并沿定曲线定曲线 C 移动的移动的直线直线 l 形成形成的轨迹

10、叫做的轨迹叫做柱面柱面.表示表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于母线平行于 z 轴轴;准线为准线为xoy 面上的抛物线面上的抛物线.z 轴的轴的椭圆柱面椭圆柱面.xy2212222byax z 轴的轴的平面平面.0 yx 表示母线平行于表示母线平行于 C(且且 z 轴在平面上轴在平面上)表示母线平行于表示母线平行于C 叫做叫做准线准线,l 叫做叫做母线母线.xyzoo定义定义3 现在学习的是第12页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202213xzy2l柱面柱面,柱面柱面,平行于平行于 x 轴轴;平行于平行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线

11、 l3:H(z,x)=0.母线母线柱面柱面,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1:F(x,y)=0.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2:G(y,z)=0.母线母线(,)0F x y 1:方程表示(,)0G y z 2:方程表示(,)0H z x 3:方程表示xyz3lxyz1l一般地一般地,在三维空间在三维空间现在学习的是第13页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202214三、二次曲面三、二次曲面三元二次方程三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标

12、准型的特点进行介绍.其基本类型有其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面.FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次项系数不全为二次项系数不全为 0)现在学习的是第14页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202215方法方法是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察是用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相交，考察其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状这其交线的形状，然后加以综合，从而了解曲面的形状这种方法叫做种方法叫做截痕法截痕法怎样了解三元方程怎样了解三元方程所表示的曲面的形状呢所

13、表示的曲面的形状呢?研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法:截痕法截痕法现在学习的是第15页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202216zyx),(1222222为正数cbaczbyax(1)范围：范围：czbyax,(2)与坐标面的交线：椭圆与坐标面的交线：椭圆,012222zbyax,012222xczby 012222yczax1.椭球面椭球面(Ellipsoid)现在学习的是第16页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022171222222czbyax与与)(11czzz的交线为椭圆：的交线为椭圆：1zz(4)当当 ab 时为时为旋转椭

14、球面旋转椭球面;同样同样)(11byyy的截痕的截痕）（axxx11及及也为椭圆也为椭圆.当当abc 时为时为球面球面.(3)截痕截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(为正数为正数)z现在学习的是第17页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022182.2.单叶双曲面单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet)by 1)1上的截痕为平面1zz 椭圆椭圆.时时,截痕为截痕为22122221byczax(实轴平行于实轴平行于x 轴；轴；虚轴平行于虚轴平行于z 轴）轴）1yy),(1222222为正数cbaczbyax1yy 平面平面

15、 上的截痕情况上的截痕情况:双曲线双曲线:xyz现在学习的是第18页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202219虚轴平行于虚轴平行于x 轴）轴）by 1)2时时,截痕为截痕为0czax)(bby或by 1)3时时,截痕为截痕为22122221byczax(实轴平行于实轴平行于z 轴轴;1yy 相交直线相交直线:双曲线双曲线:0zxyzxy现在学习的是第19页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022202222221zxycab，上的截痕为平面1yy 双曲线双曲线上的截痕为平面1xx 上的截痕为平面)(11czzz椭圆椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别注意单

16、叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线双曲线zxyo单叶双曲面单叶双曲面:系数二项正系数二项正,一项为负一项为负.双叶双曲面双叶双曲面:系数一项正系数一项正,二项负二项负.3.双叶双曲面双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets)（a、b、c 是正数）是正数）现在学习的是第20页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022212222xyzab4.椭圆抛物面椭圆抛物面xyz现在学习的是第21页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022225.双曲抛物面双曲抛物面2222xyzab所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面所表示的曲面称为双曲抛物面或马鞍面.

17、现在学习的是第22页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202223),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆椭圆在平面在平面 x0 或或 y0 上的截痕为过原点的两直线上的截痕为过原点的两直线.zxyo1)()(2222t byt axtz,xyz6.6.椭圆锥面椭圆锥面(Elliptic Cone)现在学习的是第23页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202224四、空间曲线的方程四、空间曲线的方程空间曲线可视为两曲面的交线空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组其一般方程为方程组0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF

18、0),(zyxG1S例例3 3 方程组方程组632122zxyx表示圆柱面与平面的交线表示圆柱面与平面的交线 C.xzy1oC21.1.空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程现在学习的是第24页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202225表示上半球面与圆柱面的交线表示上半球面与圆柱面的交线C.022222xayxyxazyxzao例例4 4 方程组方程组现在学习的是第25页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022262.2.空间曲线的参数方程空间曲线的参数方程将曲线将曲线C上的动点坐标上的动点坐标x,y,z表示成参数表示成参数t 的函数的函数:称它为空间曲线的

19、称它为空间曲线的参数方程参数方程.)(txx)(tyy)(tzz 当当给给定定1tt 时时，就就得得到到曲曲线线上上的的一一个个点点),(111zyx，随随着着参参数数的的变变化化可可得得到到曲曲线线上上的的全全部部点点.现在学习的是第26页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202227 动点从动点从A点出发，点出发，经过经过t时间，运动到时间，运动到M点点 A MM M在在xoy面的投影面的投影)0,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋线的参数方程螺旋线的参数方程取时间取时间t为参数，为参数，xyzo解解现在学习的是第27页，共56页返回返回上页上页下页

20、下页目录目录9/7/202228螺旋线的参数方程还可以写为螺旋线的参数方程还可以写为 bzayaxsincos),(vbt 螺旋线的重要螺旋线的重要性质性质：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度与转过的角度成正比上升的高度与转过的角度成正比即即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 现在学习的是第28页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022296321)1(22zxyx0)2(22222xayxyxaz解解:(1)根据第一方程引入参数根据第一方程引入参数,txcostysin)cos26(31tz(2)将第二方程变形为将第二方程变形为,)(42222aayx故所求为故

21、所求为得所求为得所求为txaacos22tyasin2tazcos2121)20(t)20(t例例 将下列曲线化为参数方程表示将下列曲线化为参数方程表示:现在学习的是第29页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202230五、曲面的参数方程五、曲面的参数方程(The Parametric Equation of Surface)一般曲面的参数方程含两个参数一般曲面的参数方程含两个参数,形如形如),(tsxx),(tsyy),(tszz 现在学习的是第30页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202231)(tx)(ty)(tz)(t绕绕 z 轴旋转轴旋转时的旋转曲面

22、方程时的旋转曲面方程.解解:,)(,)(,)(1tttM任取点点点 M1绕绕 z 轴旋转轴旋转,转过角度转过角度 后到点后到点,),(zyxM则则cos)()(22ttxsin)()(22tty)(tz20t这就是旋转曲面满足的参数方程这就是旋转曲面满足的参数方程.例例 求空间曲线求空间曲线 :现在学习的是第31页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022321xty tz2绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为轴旋转所得旋转曲面方程为 cos12txsin12tytz220t消去消去 t 和和 ,得得旋转曲面方程为旋转曲面方程为4)(4222zyxxzoy例如例如,直线直线现在学

23、习的是第32页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202233绕绕 z 轴旋转所得旋转曲面轴旋转所得旋转曲面(即球面即球面)方程为方程为 sinax 0ycosaz cossinax sinsinay cosaz)0(200又如又如,xoz 面上的半圆周面上的半圆周现在学习的是第33页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202234定义：定义：以曲线以曲线 为准线、母线平行于为准线、母线平行于轴的柱面叫做轴的柱面叫做关于关于面的面的投影柱面投影柱面，投影柱面与投影柱面与面的交线叫做面的交线叫做空间曲线空间曲线在在或简称或简称投影投影（类似地可以定义曲线（类似地可以定

24、义曲线 在其他坐标在其他坐标面面上的投影）上的投影）面上的投影曲线，面上的投影曲线，六、空间曲线在坐标面上的投影六、空间曲线在坐标面上的投影(Projecting Curve on a Coordinate Plane of Space Curve)曲线曲线现在学习的是第34页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202235如图如图:投影曲线的研究过程投影曲线的研究过程.空间曲线空间曲线投影曲线投影曲线投影柱面投影柱面现在学习的是第35页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202236 0),(0),(zyxGzyxF消去变量消去变量z后得：后得：0),(yxH曲线

25、关于曲线关于 的的投影柱面投影柱面xoy设空间曲线设空间曲线C的一般方程：的一般方程：以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.投影柱面的投影柱面的特征特征：00),(zyxH空间曲线空间曲线C在在 面上的面上的投影曲线投影曲线C xoy现在学习的是第36页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202237设空间曲线设空间曲线 C 的一般方程为的一般方程为消去消去 z 得投影柱面得投影柱面则则C 在在xoy 面上的投影曲线面上的投影曲线 C 为为消去消去 x 得得C 在在yoz 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程消去消去y 得得C 在在zo

26、x 面上的投影曲线方程面上的投影曲线方程0),(0),(zyxGzyxF,0),(yxH(,)00H x yz(,)00R y zx(,)00T x zyzyxCC现在学习的是第37页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202238zyxC1o2222221:(1)(1)1xyzCxyz例例6 6 求曲线求曲线222200 xyyz在在xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为现在学习的是第38页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202239补充补充:空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空间立体空间立体曲面曲面现在学习的是第39页，

27、共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202240zxyo1C所围的立体在所围的立体在 xoy 面上的投影区域面上的投影区域.和锥面和锥面224yxz)(322yxz0122zyx在在xoy 面上的面上的投影曲线投影曲线)(34:2222yxzyxzC二者交线二者交线22(,)1.x y xy所求的投影区域是圆域所求的投影区域是圆域:解解:半球面和锥面的交线在半球面和锥面的交线在xoy 面上的投影曲线所围之域面上的投影曲线所围之域.例例8 8 求求上半球面上半球面为所求的投影区域为所求的投影区域.现在学习的是第40页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202241内容小

28、结内容小结1.空间曲面空间曲面三元方程三元方程0),(zyxF 球面球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋转曲面旋转曲面如如,曲线曲线00),(xzyf绕绕 z 轴的旋转曲面轴的旋转曲面:0),(22zyxf 柱面柱面如如,曲面曲面0),(yxF表示母线平行表示母线平行 z 轴的柱面轴的柱面.又如又如,椭圆柱面椭圆柱面,双曲柱面双曲柱面,抛物柱面等抛物柱面等.现在学习的是第41页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202242三元二次方程三元二次方程),(同号qp 椭球面椭球面1222222czbyax 抛物面抛物面:椭圆抛物面椭圆抛物面双曲抛物面双曲抛物面zqypx2

29、222zqypx2222 双曲面双曲面:单叶双曲面单叶双曲面2222byax22cz1双叶双曲面双叶双曲面2222221zxycab 椭圆锥面椭圆锥面:22222zbyax2.二次曲面二次曲面现在学习的是第42页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022433.空间曲线空间曲线一般方程（三元方程组）一般方程（三元方程组）或参数方程或参数方程(如如,圆柱螺线圆柱螺线)4.曲面的参数方程曲面的参数方程5.空间曲线在坐标面上的投影空间曲线在坐标面上的投影现在学习的是第43页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202244作业作业习习 题题 6-3 P43-45 9;16

30、现在学习的是第44页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022452262110zxyz2224420 xyzxyz22221xzacz22221yzbcz现在学习的是第45页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022465x922 yx1 xy斜率为斜率为1的直线的直线平面解析几何中平面解析几何中空间解析几何中空间解析几何中方方 程程平行于平行于 y 轴的直线轴的直线 平行于平行于 yoz 面的平面面的平面 圆心在圆心在(0,0)半径为半径为 3 的圆的圆以以 z 轴为中心轴的轴为中心轴的圆柱面圆柱面平行于平行于 z 轴的平面轴的平面思考与练习思考与练习1.指

31、出下列方程的图形指出下列方程的图形:现在学习的是第46页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022473.习题习题6-4 4题题4答案答案:在在 xoy 面上面上;194)1(22轴旋转一周绕椭圆xyx;1)3(22轴旋转一周绕双曲线xyx.,)4(轴旋转一周绕直线面上在zayzyoz2214yx(2)双曲线双曲线绕绕y轴旋转一周；轴旋转一周；现在学习的是第47页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202248(2)ozyxo121x2y(1)224yxz0 xyxzyo24.展示空间图形展示空间图形现在学习的是第48页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9

32、/7/202249(3)zxyo oaoa222azx222ayx现在学习的是第49页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202250ozy51yx3yx15 xy3 xy(4)现在学习的是第50页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202251yz2x319422yx3y(5)现在学习的是第51页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202252022zaxyx222(0,0)0 xzaxzyyxzaoyxzao222220(0)zaxyxyax axoyxoz圆上半球与柱体的公共部分在面和面上的投影.(6)现在学习的是第52页，共56页返回返回上页上

33、页下页下页目录目录9/7/20225322yxz122zyxyxz122yxyx0122zyxyx5.求曲线求曲线绕绕 z 轴旋转的曲面与平面轴旋转的曲面与平面 的交线在的交线在 xoy 平面的投影曲线方程平面的投影曲线方程.1zyx解：解：旋转曲面方程为旋转曲面方程为交线为交线为此曲线向此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为面的投影柱面方程为 此曲线在此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为面上的投影曲线方程为 2yz 0 x,它与所给平面的它与所给平面的现在学习的是第53页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202254截线方程为截线方程为 0222zyxxzy解解如图如图,现在学习的是第54页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/202255（2）消消去去y得得投投影影,0042522 yxxzzx（3）消消去去x得得投投影影.00222 xzyzy（1）消消去去z得得投投影影,004522 zxxyyx 0222zyxxzy截线方程为截线方程为现在学习的是第55页，共56页返回返回上页上页下页下页目录目录9/7/2022感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第56页，共56页