矩阵及其运算 (2).ppt

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1、矩阵及其运算1现在学习的是第1页，共38页2.1 变量和数据操作变量和数据操作2.1.1 变量与赋值变量与赋值 1变量命名变量命名变量名是以字母开头，后接字母、数字或变量名是以字母开头，后接字母、数字或下划线的字符序列下划线的字符序列，最多，最多63个字符。在个字符。在MATLAB中，变量名中，变量名区分区分字母的大小写。字母的大小写。注意：注意：MATLAB提供的标准函数名以及命提供的标准函数名以及命令名必须小写。令名必须小写。2现在学习的是第2页，共38页2赋值语句赋值语句(1)变量变量=表达式表达式 (2)表达式表达式其中表达式是用运算符将有关运算量连接起其中表达式是用运算符将有关运算量

2、连接起来的式子，其结果是一个矩阵。来的式子，其结果是一个矩阵。数是数是11矩阵。矩阵。例例2-1 计算表达式计算表达式的值，并显示计算结果。的值，并显示计算结果。1732178sin17321cosii3现在学习的是第3页，共38页解：在解：在MATLAB命令窗口输入命令：命令窗口输入命令：x=1+2i;y=3-sqrt(17);z=(cos(abs(x+y)-sin(78*pi/180)/(x+abs(y)其中其中pi和和i都是都是MATLAB预先定义的变量（预先定义的变量（预预定义变量定义变量），分别代表代表圆周率），分别代表代表圆周率和虚数单和虚数单位。位。输出结果是：输出结果是：z=-

3、0.3488+0.3286i4现在学习的是第4页，共38页2.1.2 预定义变量预定义变量 在在MATLAB工作空间中，还驻留几个由系工作空间中，还驻留几个由系统本身定义的变量统本身定义的变量预定义变量。预定义变量。例如，用例如，用pi表示圆周率表示圆周率的近似值，用的近似值，用i，j表表示虚数单位，示虚数单位，ans是计算结果的默认赋值变是计算结果的默认赋值变量。量。预定义变量有特定的含义，在使用时，应预定义变量有特定的含义，在使用时，应尽量避免对这些变量重新赋值。尽量避免对这些变量重新赋值。5现在学习的是第5页，共38页2.1.3 内存变量的管理内存变量的管理1内存变量的删除与修改内存变量

4、的删除与修改 工作空间窗口工作空间窗口(Workspace)专门用于内存变专门用于内存变量的管理。在量的管理。在Workspace窗口中可以显示所窗口中可以显示所有内存变量的属性。有内存变量的属性。当选中某些变量后，再单击当选中某些变量后，再单击Delete按钮，按钮，就能删除这些变量。就能删除这些变量。当选中某些变量后，再单击当选中某些变量后，再单击Open按钮，将按钮，将进入进入变量编辑器变量编辑器。通过变量编辑器可以直通过变量编辑器可以直接观察变量中的具体元素，也可修改变量中接观察变量中的具体元素，也可修改变量中的具体元素。的具体元素。6现在学习的是第6页，共38页 clear命令用于删

5、除命令用于删除 Workspace中的变量。中的变量。(预定义变量不能被删除预定义变量不能被删除)who和和whos这两个命令用于显示在这两个命令用于显示在Workspace中已经驻留的变量名清单。中已经驻留的变量名清单。who命令只显示出驻留变量的名称，命令只显示出驻留变量的名称，whos在给出变量名的同时，还给出它们的大小、在给出变量名的同时，还给出它们的大小、所占字节数及数据类型等信息。所占字节数及数据类型等信息。7现在学习的是第7页，共38页2内存变量文件内存变量文件利用利用MAT文件可以把当前文件可以把当前Workspace中的中的一些有用变量长久地保留下来，扩展名是一些有用变量长久

6、地保留下来，扩展名是.mat。MAT文件的生成和装入由文件的生成和装入由save和和load命令命令来完成。常用格式为：来完成。常用格式为：save 文件名文件名 变量名表变量名表 -append-asciiload 文件名文件名 变量名表变量名表 -ascii 文件名可以带路径，但不需带扩展名文件名可以带路径，但不需带扩展名.mat。变量名表中的变量个数不限，变量名之间变量名表中的变量个数不限，变量名之间以空格分隔。以空格分隔。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。当变量名表省略时，保存或装入全部变量。8现在学习的是第8页，共38页 -ascii选项使文件以选项使文件以ASCII格式处理，省

7、略该格式处理，省略该选项时文件将以二进制格式处理。选项时文件将以二进制格式处理。save命令中的命令中的-append选项控制将变量追加选项控制将变量追加到到MAT文件中。文件中。9现在学习的是第9页，共38页2.1.4 MATLAB常用数学函数常用数学函数MATLAB提供了许多数学函数，函数的自提供了许多数学函数，函数的自变量规定为变量规定为矩阵变量矩阵变量，运算法则是将函数，运算法则是将函数逐项逐项作用于矩阵的元素上作用于矩阵的元素上，因而运算的结，因而运算的结果是一个与自变量同维数的矩阵。果是一个与自变量同维数的矩阵。常用函数有：常用函数有：sin,cos,tan,asin,acos,a

8、tan,sinh,cosh,tanh,asinh,acosh,atanh,sqrt,log,log10,log2,exp,exp2,abs,angle,real,imag,conj,rem,mod,fix,floor,ceil,round,sign,gcd,lcm10现在学习的是第10页，共38页函数使用说明：函数使用说明：(1)三角函数以弧度为单位计算。三角函数以弧度为单位计算。(2)abs函数可以求实数的绝对值、复数的模函数可以求实数的绝对值、复数的模、字符串的、字符串的ASCII码值。码值。(3)用于取整的函数有用于取整的函数有fix、floor、ceil、round，要注意它们的区别。

9、，要注意它们的区别。(4)rem与与mod函数的区别：函数的区别：rem(x,y)=x-y.*fix(x./y)mod(x,y)=x-y.*floor(x./y)rem(x,y)和和mod(x,y)要求要求x,y必须为相同大小必须为相同大小的实矩阵或为标量。的实矩阵或为标量。11现在学习的是第11页，共38页2.2 MATLAB矩阵矩阵2.2.1 矩阵的建立矩阵的建立1直接输入法直接输入法最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入最简单的建立矩阵的方法是从键盘直接输入矩阵的元素。具体方法如下：矩阵的元素。具体方法如下：将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的将矩阵的元素用方括号括起来，按矩阵行的顺序

10、输入各元素，同一行的各元素之间用空顺序输入各元素，同一行的各元素之间用空格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分格或逗号分隔，不同行的元素之间用分号分隔隔。如：如：a=1,2,3;4,5,6;7,8,912现在学习的是第12页，共38页结果是结果是a=1 2 3 4 5 6 7 8 92利用利用M文件文件建立矩阵建立矩阵 对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它对于比较大且比较复杂的矩阵，可以为它专门建立一个专门建立一个M文件文件(是文本文件是文本文件)。下面通。下面通过一个简单例子来说明如何利用过一个简单例子来说明如何利用M文件创建文件创建矩阵。矩阵。13现在学习的是第13页，共38页 例例2-2

11、 利用利用M文件建立文件建立MYMAT矩阵。矩阵。(1)启动有关编辑程序或启动有关编辑程序或MATLAB文本编辑器文本编辑器，并输入待建矩阵：，并输入待建矩阵：MYMAT=101,102,103,104,105,106,107,108,109;201,202,203,204,205,206,207,208,209;301,302,303,304,305,306,307,308,309;(2)把输入的内容存盘把输入的内容存盘(设文件名为设文件名为mymatrix.m)。(3)在在MATLAB命令窗口中输入命令窗口中输入mymatrix，即，即运行该运行该M文件，就会自动建立一个名为文件，就会自动

12、建立一个名为MYMAT的矩阵，可供以后使用。的矩阵，可供以后使用。14现在学习的是第14页，共38页3利用冒号表达式建立一个向量利用冒号表达式建立一个向量冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式冒号表达式可以产生一个行向量，一般格式是：是：e1:e2:e3 其中其中e1为初始值，为初始值，e2为步长，为步长，e3为终止值。为终止值。在在MATLAB中，还可以用中，还可以用linspace函数产生行函数产生行向量。其调用格式为：向量。其调用格式为：linspace(a,b,n)其中其中a和和b是生成向量的第一个和最后一个元是生成向量的第一个和最后一个元素，素，n是元素总数。是元素总数。显然，显然，

13、linspace(a,b,n)与与a:(b-a)/(n-1):b等价。等价。15现在学习的是第15页，共38页4建立大矩阵建立大矩阵大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起大矩阵可由方括号中的小矩阵或向量建立起来。例如，来。例如，A=1,2,3;4,5,6;7,8,9;C=A,eye(size(A);ones(size(A),A输出结果是输出结果是C=1 2 3 1 0 0 4 5 6 0 1 0 7 8 9 0 0 1 1 1 1 1 2 3 1 1 1 4 5 6 1 1 1 7 8 916现在学习的是第16页，共38页2.2.2 矩阵的拆分矩阵的拆分1矩阵元素矩阵元素 通过下标引用矩阵的元

14、素，例如，通过下标引用矩阵的元素，例如，A(3,2)=8采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排列顺序。号就是相应元素在内存中的排列顺序。在在MATLAB中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二中，矩阵元素按列存储，先第一列，再第二列，依次类推。例如列，依次类推。例如A=1,2,3;4,5,6;A(3)ans=2显然，序号显然，序号(Index)与下标与下标(Subscript)是一一对应的，以是一一对应的，以mn矩阵矩阵A为例，矩阵元素为例，矩阵元素A(i,j)的序号为的序号为(j-1)*m+i。其相。其相互转换关系

15、也可利用互转换关系也可利用sub2ind和和ind2sub函数求得。函数求得。17现在学习的是第17页，共38页2矩阵拆分矩阵拆分(1)利用冒号表达式获得子矩阵利用冒号表达式获得子矩阵 A(:,j)表示取表示取A矩阵的第矩阵的第j列全部元素；列全部元素；A(i,:)表示表示A矩阵第矩阵第i行的全部元素；行的全部元素；A(i,j)表示取表示取A矩矩阵第阵第i行、第行、第j列的元素。列的元素。A(i:i+m,:)表示取表示取A矩阵第矩阵第ii+m行的全部元行的全部元素；素；A(:,k:k+m)表示取表示取A矩阵第矩阵第kk+m列的全列的全部元素，部元素，A(i:i+m,k:k+m)表示取表示取A矩

16、阵第矩阵第ii+m行内，并在第行内，并在第kk+m列中的所有元素。列中的所有元素。还可利用一般向量和还可利用一般向量和end运算符来表示矩阵运算符来表示矩阵下标，从而获得子矩阵。下标，从而获得子矩阵。end表示某一维的末表示某一维的末尾元素下标。如，前面的矩阵尾元素下标。如，前面的矩阵C，18现在学习的是第18页，共38页 C(1,4,3:end)ans=3 1 0 0 1 1 2 3(2)利用空矩阵删除矩阵的元素利用空矩阵删除矩阵的元素 在在MATLAB中，定义中，定义为空矩阵。给变为空矩阵。给变量量X赋空矩阵的语句为赋空矩阵的语句为X=。注意，。注意，X=与与clear X不同，不同，cl

17、ear是将是将X从工作空间中删除从工作空间中删除，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维，而空矩阵则存在于工作空间中，只是维数为数为0。19现在学习的是第19页，共38页2.2.3 特殊矩阵特殊矩阵1通用的特殊矩阵通用的特殊矩阵常用的产生通用特殊矩阵的函数有：常用的产生通用特殊矩阵的函数有：zeros：产生全：产生全0矩阵矩阵(零矩阵零矩阵)。ones：产生全：产生全1矩阵矩阵(幺矩阵幺矩阵)。eye：产生单位矩阵。：产生单位矩阵。rand：产生：产生01间均匀分布的随机矩阵。间均匀分布的随机矩阵。randn：产生均值为：产生均值为0，方差为，方差为1的标准正态的标准正态分布随机矩阵。分布随机矩阵

18、。20现在学习的是第20页，共38页例例2-3 分别建立分别建立33、32和与矩阵和与矩阵A同样大同样大小的零矩阵。小的零矩阵。解：解：(1)zeros(3)(2)zeros(3,2)(3)设设A为为23矩阵，则可以用矩阵，则可以用zeros(size(A)建立一个与矩阵建立一个与矩阵A同样大小零同样大小零矩阵。如，矩阵。如，A=1 2 3;4 5 6;%产生一个产生一个23阶矩阵阶矩阵Azeros(size(A)%产生一个与矩阵产生一个与矩阵A同样同样大小的零矩阵大小的零矩阵21现在学习的是第21页，共38页例例2-4 建立随机矩阵：建立随机矩阵：(1)在区间在区间20,50内均匀分布的内均

19、匀分布的5阶随机矩阶随机矩阵。阵。(2)均值为均值为0.6、方差为、方差为0.1的的5阶正态分布随阶正态分布随机矩阵。机矩阵。解：解：x=20+(50-20)*rand(5)y=0.6+sqrt(0.1)*randn(5)22现在学习的是第22页，共38页 此外，常用的函数还有此外，常用的函数还有reshape(A,m,n)，它，它在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成重新排成mn的二维矩阵。如，前面的的二维矩阵。如，前面的A,reshape(A,1,6)ans=1 4 2 5 3 623现在学习的是第23页，共38页Ex:1.写出完成下列操作的命令

20、。写出完成下列操作的命令。将矩阵将矩阵A 第第25 行中的第行中的第1，3，5列元素赋给矩阵列元素赋给矩阵B。删除矩阵删除矩阵A的第的第7号元素。号元素。将矩阵将矩阵A的每个元素值加的每个元素值加30。求矩阵求矩阵A的大小和维数的大小和维数(提示：用提示：用size函数和函数和ndims函数函数)。将含有将含有12个元素的向量个元素的向量x转换成转换成34矩阵。矩阵。2.写出完成下列操作的命令。写出完成下列操作的命令。建立建立3阶单位矩阵。阶单位矩阵。建立建立56随机矩阵随机矩阵A，其元素为，其元素为100,200范围内的随机整数范围内的随机整数。产生均值为产生均值为1，方差为，方差为0.2

21、的的500 个正态分布的随机数。个正态分布的随机数。产生和产生和A同样大小的幺矩阵。同样大小的幺矩阵。24现在学习的是第24页，共38页2.3 MATLAB运算运算2.3.1算术运算算术运算1基本算术运算基本算术运算 MATLAB的基本算术运算有：的基本算术运算有：(加加)、(减减)、*(乘乘)、/(右除右除)、(左除左除)、(乘方乘方)。注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个注意，运算是在矩阵意义下进行的，单个数据的算术运算只是一种特例。数据的算术运算只是一种特例。25现在学习的是第25页，共38页 (1)矩阵加减运算矩阵加减运算 假定有两个矩阵假定有两个矩阵A和和B，则可以由，则可以由A+B

22、和和A-B实现矩阵的加减运算。实现矩阵的加减运算。运算规则是：运算规则是：若若A和和B矩阵的维数相同，则可以执行矩矩阵的维数相同，则可以执行矩阵的加减运算，阵的加减运算，A和和B矩阵的相应元素相加矩阵的相应元素相加减。如果减。如果A与与B的维数不相同，则的维数不相同，则MATLAB将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数将给出错误信息，提示用户两个矩阵的维数不匹配。不匹配。26现在学习的是第26页，共38页 (2)矩阵乘法矩阵乘法 假定有两个矩阵假定有两个矩阵A和和B，若，若A为为mn矩阵，矩阵，B为为np矩阵，则矩阵，则C=A*B为为mp矩阵。矩阵。(3)矩阵除法矩阵除法在在MATLAB中，有

23、两种矩阵除法运算：中，有两种矩阵除法运算：和和/，分别表示左除和右除。，分别表示左除和右除。如果如果A矩阵是非奇异方阵，则矩阵是非奇异方阵，则AB和和B/A运算运算可以实现。可以实现。AB等效于等效于A的逆左乘的逆左乘B矩阵，也就是矩阵，也就是inv(A)*B，27现在学习的是第27页，共38页 而而B/A等效于等效于A矩阵的逆右乘矩阵的逆右乘B矩阵，也就矩阵，也就是是B*inv(A)。对于对于含有标量含有标量的运算，两种除法运算的结的运算，两种除法运算的结果相同，果相同，如如3/4和和43有相同的值，都等于有相同的值，都等于0.75。又如，设又如，设a=10.5,25，则，则a/5=5a=2

24、.1000 5.0000。对于矩阵来说，左除和右除表示。对于矩阵来说，左除和右除表示两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系两种不同的除数矩阵和被除数矩阵的关系。对于矩阵运算，一般。对于矩阵运算，一般ABB/A。28现在学习的是第28页，共38页 (4)矩阵的乘方矩阵的乘方 一个矩阵的乘方运算可以表示成一个矩阵的乘方运算可以表示成Ax，要，要求求A为方阵，为方阵，x为标量。为标量。2点运算点运算 在在MATLAB中，有一种特殊的运算，因中，有一种特殊的运算，因为其运算符是为其运算符是在有关算术运算符前面加点在有关算术运算符前面加点，所以叫点运算。点运算符有，所以叫点运算。点运算符有.*、./、.和

25、和.。两矩阵进行点运算是指。两矩阵进行点运算是指它们的对应元素它们的对应元素进行相关运算进行相关运算，要求两矩阵的维参数相同，要求两矩阵的维参数相同。29现在学习的是第29页，共38页例如，a=1,2,3;4,5,6;7,8,9;b=ones(3);a*bans=6 6 6 15 15 15 24 24 24a.*bans=1 2 3 4 5 6 7 8 930现在学习的是第30页，共38页Ex:Ex:设设A A和和B B是两个同维大小的矩阵，问：是两个同维大小的矩阵，问：A A*B B 和和A.A.*B B 是否相等？是否相等？A./B A./B 和和A.B A.B 是否相等？是否相等？A/

26、B A/B 和和AB AB 是否相等？是否相等？a.a.A/B A/B 和和AB AB 所代表的数学含义是什么？所代表的数学含义是什么？31现在学习的是第31页，共38页2.3.2 关系运算关系运算MATLAB提供了提供了6种关系运算符：种关系运算符：(小于小于)、(大于大于)、=(大于或等于大于或等于)、=(等于等于)、=(不等于不等于)。它们的含义不难理解，但要注意其书写方它们的含义不难理解，但要注意其书写方法与数学中的不等式符号不尽相同。法与数学中的不等式符号不尽相同。32现在学习的是第32页，共38页 关系运算符的关系运算符的运算法则运算法则为：为：(1)当两个比较量是当两个比较量是标

27、量标量时，直接比较两时，直接比较两数的大小。若关系成立，关系表达式结果数的大小。若关系成立，关系表达式结果为为1，否则为，否则为0。(2)当参与比较的量是当参与比较的量是两个维数相同的矩两个维数相同的矩阵阵时，比较是对两矩阵时，比较是对两矩阵相同位置相同位置的元素按的元素按标量关系运算规则逐个进行，并给出元素标量关系运算规则逐个进行，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或或1组成。组成。33现在学习的是第33页，共38页 (3)当参与比较的当参与比较的一个是标量，而另一个是一个是

28、标量，而另一个是矩阵矩阵时，则把标量与矩阵的每一个元素按时，则把标量与矩阵的每一个元素按标量关系运算规则逐个比较，并给出元素标量关系运算规则逐个比较，并给出元素比较结果。最终的关系运算的结果是一个比较结果。最终的关系运算的结果是一个维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由维数与原矩阵相同的矩阵，它的元素由0或或1组成。组成。34现在学习的是第34页，共38页2.3.3 逻辑运算逻辑运算MATLAB提供了提供了3种逻辑运算符：种逻辑运算符：&(与与)、|(或或)和和(非非)逻辑运算的运算法则为：逻辑运算的运算法则为：(1)在逻辑运算中，确认非零元素为真，在逻辑运算中，确认非零元素为真，用用1表示，零元

29、素为假，用表示，零元素为假，用0表示。表示。(2)设参与逻辑运算的是两个标量设参与逻辑运算的是两个标量a和和b，那么，那么，a&b a,b全为非零时，运算结果全为非零时，运算结果为为1，否则为，否则为0。a|b a,b中只要有一个非中只要有一个非零，运算结果为零，运算结果为1。a 当当a是零时，运是零时，运算结果为算结果为1；当；当a非零时，运算结果为非零时，运算结果为0。35现在学习的是第35页，共38页 (3)若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那若参与逻辑运算的是两个同维矩阵，那么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量么运算将对矩阵相同位置上的元素按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与原规则逐

30、个进行。最终运算结果是一个与原矩阵同维的矩阵，其元素由矩阵同维的矩阵，其元素由1或或0组成。组成。(4)若参与逻辑运算的一个是标量，一个是若参与逻辑运算的一个是标量，一个是矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个矩阵，那么运算将在标量与矩阵中的每个元素之间按标量规则逐个进行。最终运算元素之间按标量规则逐个进行。最终运算结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由结果是一个与矩阵同维的矩阵，其元素由1或或0组成。组成。36现在学习的是第36页，共38页(5)逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规逻辑非是单目运算符，也服从矩阵运算规则。则。(6)在算术、关系、逻辑运算中，在算术、关系、逻辑运算中，算术运算优算术运算优先级最高，逻辑运算优先级最低先级最高，逻辑运算优先级最低。37现在学习的是第37页，共38页例例2-9 建立矩阵建立矩阵A，然后找出大于，然后找出大于4的元素的的元素的位置。位置。(1)建立矩阵建立矩阵A。A=4,-65,-54,0,6;56,0,67,-45,0(2)找出大于找出大于4的元素的位置。的元素的位置。find(A4)ans=2 6 9 38现在学习的是第38页，共38页