数列的极限与连续讲稿.ppt

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1、关于数列的极限与连续第一页，讲稿共七十二页哦2022-9-722.1 2.1 数列的极限数列的极限(Limits of Sequences)二二 收敛数列的性质收敛数列的性质一一 数列极限的定义数列极限的定义三三 小结与思考判断题小结与思考判断题CH2 极限、连续极限、连续第二页，讲稿共七十二页哦2022-9-732.1.1数列概念例如例如;,2,8,4,2n;,21,81,41,21n2n21n第三页，讲稿共七十二页哦2022-9-74注意：注意：1.1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx

2、2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn;,)1(,1,1,11 n)1(1 n;,)1(,34,21,21nnn )1(1nnn ,333,33,3 第四页，讲稿共七十二页哦2022-9-75定义定义2.数列单调性定义数列单调性定义满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列，都都满满足足，对对一一切切若若存存在在实实数数AxnAn,为下有界为下有界称称nx；的下界的下界是是nxA同样同样,，都满足都满足，对一切，对一切若存在若存在BxnBn,为上有界为上有界称称nxnBx是是的的上上界界定义定义3：数

3、列有界性定义：数列有界性定义第五页，讲稿共七十二页哦2022-9-76几何意义几何意义:由于由于|xn|MM xn M xn M,M.故故,所谓所谓xn有界有界,就是就是xn要全部落在某个对称要全部落在某个对称区间区间 M,M内内.看图看图0Mxxn M.,x,Mx,n,M,xnnn称称为为无无界界否否则则有有界界则则称称数数列列成成立立恒恒有有自自然然数数使使得得一一切切若若存存在在正正数数定定义义：对对数数列列 第六页，讲稿共七十二页哦2022-9-77.时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nn1n)1(12.1.22.1.2数列极限的概念数列极限的概念第七页，讲稿共七十二页哦2

4、022-9-78.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第八页，讲稿共七十二页哦2022-9-79.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第九页，讲稿共七十二页哦2022-9-710.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十页，讲稿共七十二页哦2022-9-711.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十一页，讲稿共七十二页哦2022-9-712.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十二页

5、，讲稿共七十二页哦2022-9-713.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十三页，讲稿共七十二页哦2022-9-714.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十四页，讲稿共七十二页哦2022-9-715.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十五页，讲稿共七十二页哦2022-9-716.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十六页，讲稿共七十二页哦2022-9-717.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列

6、nnn图形演示图形演示第十七页，讲稿共七十二页哦2022-9-718.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十八页，讲稿共七十二页哦2022-9-719.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第十九页，讲稿共七十二页哦2022-9-720.)1(11时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察数数列列 nnn图形演示图形演示第二十页，讲稿共七十二页哦2022-9-721问题问题:当当 无限增大时无限增大时,是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn问题问题:“无限接近

7、无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.1nxnnn11)1(1 .)1(11,1无无限限接接近近于于无无限限增增大大时时当当nxnnn 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:第二十一页，讲稿共七十二页哦2022-9-722,1001给定给定,10011 n由由,时时只只要要100 n,10011 nx有有,10001给定给定,时时只只要要1000 n,1000011 nx有有,100001给定给定,时时只要只要10000 n,100011 nx有有,0 给给定定,时时只要只要)1(Nn.成立成立有有 1nx第二十二页，讲稿共七十二页哦2022-9-7

8、23如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：近;近;趋趋的无限的无限与与与与刻划了刻划了不等式不等式axanxn 1.，.，越越大大越越小小有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数一一般般地地NN .2 定义3 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小)总存在正数 ，使得对于 时的一切 不等式 都成立,那末就称常数 为数列 的极限，或者称数列收敛于 ,记为 NNn nx|axnanxa)(,lim naaxnnnx或第二十三页，讲稿共七十二页哦2022-9-724注注定义定义1习惯上称为极限的习惯上称为极限的N定义，它用两个定义，它用两个动态指标动态指标和

9、和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定量地刻画了定量地刻画了xn 与与a 之间的距离任意小，即任给之间的距离任意小，即任给0标志着标志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用n N表示表示n充分充分大。这个定义有三个要素：大。这个定义有三个要素：10，正数正数，20，正整数正整数N，30，不等式，不等式|xna|（n N）定义中的定义中的具有二重性：一是具有二重性：一是的任意性，二是的任意性，二是的相对固定性的相对固定性。的二重性体现了的二重性体现了xn 逼近逼近a 时要时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任意的任意性来实现），但这个无

10、限过程又要一步步地实现，性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过过的相对固定性来实现）。的相对固定性来实现）。第二十四页，讲稿共七十二页哦2022-9-7251.我们用符号我们用符号“”表示表示“任取任取”或或“对于任意的对于任意的”或或“对于所有的对于所有的”,符号符号“”称为全称量词称为全称量词.2.我们用符号我们用符号“”表示表示“存在存在”.符号符号“”称称为存在量词为存在量词.符号符号：第二十五页，讲稿共七十二页哦2022-9-726x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释:2 a a

11、a落落在在其其外外.个个)(至至多多只只有有内内都都落落在在所所有有的的点点时时当当NaaxNnn只只有有有有限限个个,),(.,0,0lim axNnNaxNnnn恒恒有有时时使使定定义义：,第二十六页，讲稿共七十二页哦2022-9-727当当 x=n,则则)(nfxn Axnn lim相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内nf(n)0A A AN123N+1N+21x2x3xnx对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域第二十七页，讲稿共七十二页哦2022-9-728当当 x=n,则则 Axnn limnf(n)0A A A123N+1N+21x2x3x)(nfxn

12、 nx.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域第二十八页，讲稿共七十二页哦2022-9-729当当 x=n,则则 Axnn limnf(n)0A123N+1N+21x2x3x A A A A A A A A A A)(nfxn nx.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域第二十九页，讲稿共七十二页哦2022-9-730当当 x=n,则则 Axnn limnf(n)0AN1231x2x3x A A nxN+1N+2)(nfxn.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区

13、域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域第三十页，讲稿共七十二页哦2022-9-731当当 x=n,则则 Axnn limnf(n)0A1231x2x3x A A nxNNNNN+1N+2因此因此，数列数列的极限定义也称的极限定义也称数列数列极限的极限的)(nfxn.相应的点相应的点都落都落在在绿色绿色区域内区域内对一切对一切 n N 自然数自然数 N A的的 邻域邻域第三十一页，讲稿共七十二页哦2022-9-732例例1.1.若若xn=c(常数常数),则则ccnlim证证:0.由于由于|xnc|=|c c|=0取取N=1,当当nN时时,有有|xnc|=00,0,找到

14、使找到使主要不等式成立的主要不等式成立的N N(并不在乎并不在乎N N是是否最小否最小).).第三十四页，讲稿共七十二页哦2022-9-735例例4、1nlimnn 证证明明1,11 nnnnn)0(11 nnnaan令令nnan)1(由由牛牛顿顿二二项项公公式式得得，222)1(2)1(1nnnnnannaannna 222(1)1nnan nn 可可见见，12a0 n n即即第三十五页，讲稿共七十二页哦2022-9-736,0 任任给给所以取所以取,时时则则当当Nn lim1.nnn 故故要要|1|nnna ,只要使只要使21n 2211N|1|nnna 便便有有1lim1.nnn 从从而

15、而第三十六页，讲稿共七十二页哦2022-9-737二、收敛数列的性质1.1.收敛数列的唯一性收敛数列的唯一性定理定理1 1 收敛的数列只有一个极限收敛的数列只有一个极限.证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得.,021NN ;1 axNnn恒恒有有时时,当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取有有时时,则则当当Nn)()(axbxbann axbxnn .2 .,故故收收敛敛数数列列极极限限唯唯一一时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 第三十七页，讲稿共七十二页哦2022-9-738例例5 5.是发散的是发散的证明数列证明数列1)1(nn

16、x证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对对于于成成立立,有有时时,使使得得当当则则21,axNnNn),21,21(aaxNnn时时,即即当当区间长度为区间长度为1.1 1两两个个数数,无无休休止止地地反反复复取取1 1,nx而而不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1 1的区间内的区间内.但但却却发发散散.是是有有界界的的,事事实实上上,nx第三十八页，讲稿共七十二页哦2022-9-739定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.证证,limaxnn 设设由定义由定义,1 取取,1,axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则.11 axan即即有有,1,1,max1 a

17、axxMN记记,Mxnn 皆皆有有则则对对一一切切自自然然数数 .有有界界故故nx2.2.收敛数列的有界性收敛数列的有界性注1 有界性是数列收敛的必要条件.注2 无界数列必定发散.数列注3 有界数列不一定收敛.数列.2nnx.)1(nnx第三十九页，讲稿共七十二页哦2022-9-7403.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性bxa,n,bca),n(cx.3nn 充充分分大大时时则则当当设设定定理理.b)(a,)N(c,0,bca中中包含在包含在使得使得可选适当的可选适当的证：证：bxa,n),b,a(x),c(Nx,n),n(cxnnnn 充充分分大大时时即即当当从从而而充充分分大大时时故故

18、当当由由于于 则有则有设设推论（极限的保号性）推论（极限的保号性）,cxlimnn )0 x(0 xn),0c(0c)1(nn 或或充充分分大大时时则则当当或或若若)bc(ac),bx(axn)2(nn 或或则则或或充充分分大大时时若若当当第四十页，讲稿共七十二页哦2022-9-741同号同号与与充分大时充分大时则当则当表明：若表明：若推论推论cx,n,0cxlim1nnn axlim,ax,2nnn 可可得得则则由由表表明明：只只要要极极限限存存在在推推论论n1n2 如如：可可能能变变为为两两边边取取极极限限后后，不不等等号号注注意意：在在不不等等号号第四十一页，讲稿共七十二页哦2022-9

19、-742数列的子数列(略)子数列子数列(子列子列):):在数列在数列 中任意抽取无限多项中任意抽取无限多项,并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列并保持这些项在原数列中的先后次序得到的数列,称为原数列的子列称为原数列的子列.nx记作记作.knx即即,321knnnnxxxx 1kk21nnnn其中其中例如例如 自然数列自然数列321 ,，即即nxn.的的子子数数列列就就是是而而2 nkxkn 第四十二页，讲稿共七十二页哦2022-9-7434.4.收敛数列与其子列的关系收敛数列与其子列的关系(略略).a,anx4也收敛于那么它的任意子列收敛于如果数列定定理理 axknn lim这就证明了这

20、就证明了NnnKkNnKKk .,时，有时，有则当则当取取 证证axnk .|axNnn ;|时恒有时恒有当当 Naxxxknnnn ,0,lim 使得使得由定义，由定义，的任一子数列的任一子数列.是数列是数列设数列设数列 第四十三页，讲稿共七十二页哦2022-9-744 .x,x1nn发发散散则则数数列列有有一一个个之之列列发发散散如如果果数数列列推推论论例如例如 数列数列 因为它有两个子列因为它有两个子列分别收敛于分别收敛于1 1和和-1-1两个不同的数值两个不同的数值.x,x2nn发发散散则则数数列列极极限限的的两两个个子子数数列列有有不不同同的的如如果果数数列列推推论论.)1(1 nn

21、x发发散散 ,)1(,1,1,1,1,11 n 1 1 1 ,1 ,1 ,1 ,1，第四十四页，讲稿共七十二页哦2022-9-745定理定理5.5.设数列设数列 xn和和 yn 的极限都存在的极限都存在.且且lim,nnxa lim.nnyb 则则(1)lim()limlim.nnnnnnnxyxyab (2)lim()limlim.nnnnnnnx yxya b (3)设设 C 为常数，有为常数，有limlim.nnnnCxCxC a (4)当当 b 0 时，有时，有limlim.limnnnnnnnxxayyb三、数列极限的运算法则三、数列极限的运算法则第四十五页，讲稿共七十二页哦2022

22、-9-746(5)lim()(lim).(mmmnnnnxxam 为为正正整整数数）111(6)lim()(lim).(lim0,mmmnnnnnnxxaxm 为为正正整整数数）12(7)lim,lim.nnnnxxxxaan若若则则111123,lim0.nnn 例例如如第四十六页，讲稿共七十二页哦2022-9-747定理定理4.4.若若lim(),lim|lim|.nnnnnnxaxax 常常数数 则则证证：由于由于lim,nnxa 由由极极限限定定义义.|,0,0axNnNn有时当注意到不等式注意到不等式|A|B|A B|从而从而|xn|a|xn a|b0时时,有有1n1nba )bab

23、babaa)(ba(n1n22n1nn na)ba)(1n(移项移项,有有1nnb)ba)(1n(aa 即即1nnb)nab)1n(a .x,2,1nn11x12nnn极极限限存存在在证证明明数数列列设设例例 第五十八页，讲稿共七十二页哦2022-9-759 代代入入取取,1n11b ,n11a1 ,b)nab)1n(a1nn中中 1nn1n11n1nn1n2n)1n(n11 有有1nn1n11n11 即即.n11x nn是是单单调调递递增增的的故故 第五十九页，讲稿共七十二页哦2022-9-760 代代入入取取,1b ,n211a2 ,1nb)nab)1n(na中中 1n21n2n)1n(n

24、211n 有有2n211n 即即.,2,1n ,4n211x n2n2 从从而而第六十页，讲稿共七十二页哦2022-9-761由于由于单调有界单调有界,从而必有极限从而必有极限.n1 lim(1)nen 记记作作 为一无理数为一无理数.4xx.n11x n21n2nn 有有单单调调递递增增由由于于数数列列.x .4n11xnnn有有上上界界所所以以故故 590457182818284.2ennnx)11(第六十一页，讲稿共七十二页哦2022-9-762n lim(1)(nkkekn为为常常数数）注注：lim(1)(kkek 为为常常数数）第六十二页，讲稿共七十二页哦2022-9-763例例13

25、.13.设设x0=1,),2,1(1111nxxxnnn证明证明 xn 的极限存在，并求之的极限存在，并求之.证：证：通常要证明某数列极限存在可考虑用通常要证明某数列极限存在可考虑用:(1)单调单调有界数列必有极限有界数列必有极限.(2)夹逼定理夹逼定理(条件中往往条件中往往有不等式有不等式).此例用此例用(1)注意到注意到 0 0,故故 a 0.第六十五页，讲稿共七十二页哦2022-9-766思考题证明证明要使要使只要使只要使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有成立成立Nn 10nn1limnnn,1 nn)1ln(ln1 nn2ln)1ln(ln)1ln(1 nn,0 1)1ln(2

26、ln N第六十六页，讲稿共七十二页哦2022-9-767思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大”nnln的值的值第六十七页，讲稿共七十二页哦2022-9-768从而从而 时，时，2ln)1ln(Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln(ln nn反而缩小为反而缩小为n2ln第六十八页，讲稿共七十二页哦2022-9-769故极限存在，故极限存在，备用题备用题

27、 1.1.设设)(211nnnxaxx),2,1(n,0a,01x,且且求求.limnnx解：解：设设Axnnlim则由递推公式有则由递推公式有)(21AaAAaA)(211nnnxaxxnxnxaannxx1)1(212nxa)1(21aa1数列单调递减有下界，数列单调递减有下界，,01x故故axnnlim利用极限存在准则利用极限存在准则,0nx第六十九页，讲稿共七十二页哦2022-9-770思考与练习思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知),2,1(21,111nxxxnn,求nnxlim时,下述作法是否正确?说明理由.设,limaxnn由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处nnxlim第七十页，讲稿共七十二页哦2022-9-771第七十一页，讲稿共七十二页哦2022-9-7感谢大家观看第七十二页，讲稿共七十二页哦