数学模型建模引言课件.ppt

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1、数学模型建模引言第1页，此课件共58页哦预备知识预备知识 高等数学高等数学 线性代数线性代数 概率论与数理统计概率论与数理统计 运筹学运筹学 大学计算机基础大学计算机基础第2页，此课件共58页哦教材和参考资料教材和参考资料 高等教育出版社高等教育出版社数学模型数学模型姜启源姜启源 编编 浙江大学出版社浙江大学出版社数学模型数学模型杨启帆杨启帆 编编 湖南教育出版社湖南教育出版社大学生数学建模竞赛辅导教材大学生数学建模竞赛辅导教材叶其孝叶其孝 编编 工科数学杂志社工科数学杂志社数学建模教育与国际数学建模竞数学建模教育与国际数学建模竞赛赛叶其孝叶其孝 编编 江苏教育出版社江苏教育出版社数学建模竞赛

2、教程数学建模竞赛教程李尚志主编李尚志主编 运筹学运筹学任何一本本科教材任何一本本科教材第3页，此课件共58页哦计算机革命时代计算机革命时代（Computer Revolution Era）or 信息时代信息时代（Information Times）我们处在：第4页，此课件共58页哦时代特点时代特点 计算机的迅速发展计算机的迅速发展高速、智能、高速、智能、小型、价廉；小型、价廉；数学的应用向一切领域渗透数学的应用向一切领域渗透各行各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化；益数学化；数学的日益重要性远远没有取得共识数学的日益重要性远远没有取得共识。甚至出现了

3、。甚至出现了“数学无用论数学无用论”的观点的观点 第5页，此课件共58页哦为什么会出现为什么会出现“数学无用论数学无用论”？数学的语言比较抽象，不容易掌握；数学的语言比较抽象，不容易掌握；数学教育上的不适当：形式化、抽象数学教育上的不适当：形式化、抽象，只见定义、定理、推倒、证明、计算，只见定义、定理、推倒、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以致日常生，很少讲与我们周围的世界以致日常生活的密切联系。活的密切联系。第6页，此课件共58页哦数学建模的重要性数学建模的重要性 数学建模不是新东西（比如欧式几何、微数学建模不是新东西（比如欧式几何、微积分都是很好的数学模型！）积分都是很好的数学模型！）用

4、数学去解决实际问题就一定要用数学的语言用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似刻划该实际问题。这种刻划的数学、方法去近似刻划该实际问题。这种刻划的数学表述就是一个表述就是一个数学模型数学模型。其过程就是。其过程就是数学建模数学建模的过程。的过程。第7页，此课件共58页哦数学建模的重要性数学建模的重要性 问题出在：当一个数学模型表达出来问题出在：当一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（如推导、后，就要用一定的技术手段（如推导、计算）求解该数学问题，并用实际情形计算）求解该数学问题，并用实际情形来验证；若需要就要修改数学模型并重来验证；若需要就要修改数学模型并重复上述过程，如果

5、有一步完不成，意义复上述过程，如果有一步完不成，意义就不大了。在以前，就不大了。在以前，大量的计算令人生大量的计算令人生畏畏（在建模过程中往往遇到），现如今（在建模过程中往往遇到），现如今高性能的计算机的出现，使数学建模又高性能的计算机的出现，使数学建模又掀起了一个高潮。掀起了一个高潮。第8页，此课件共58页哦数学建模的重要性数学建模的重要性 从科学、工程、经济和管理等角度看从科学、工程、经济和管理等角度看：数学建模就是数学建模就是用数学的语言和方法，用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决解决”实际问题的实际问题的一种强有力的数学工一种强有力

6、的数学工具。具。数学建模最重要的特点是接受实践的数学建模最重要的特点是接受实践的检验，多次修改模型，渐趋完善（的过检验，多次修改模型，渐趋完善（的过程）。程）。第9页，此课件共58页哦数学建模步骤数学建模步骤了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料（必要的数据资料（建模准备建模准备）；）；抓住主要矛盾，对问题作必要的抓住主要矛盾，对问题作必要的 简化，提出简化，提出几条恰当的假设（几条恰当的假设（提出假设提出假设）；）；利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（建立相应的数学结构（建

7、立模型建立模型）;第10页，此课件共58页哦数学建模步骤数学建模步骤模型的求解和检验模型的求解和检验。建立数学模型是为了解。建立数学模型是为了解释自然现象和改造自然，因此建模本身不是释自然现象和改造自然，因此建模本身不是最终目的，还应当考虑对模型求解（包括解最终目的，还应当考虑对模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等），将所得结果与实际情况作比较讨论等等），将所得结果与实际情况作比较，以验证模型的正确性，如果检验结果与事，以验证模型的正确性，如果检验结果与事实不符或部分不符，就应当将上述步骤重复实不符或部分不符，就应当将上述步骤重复

8、，即修改假设，重新建模。，即修改假设，重新建模。第11页，此课件共58页哦数学建模步骤框图数学建模步骤框图实际问题抽象、简化、假设确定变量参数建立数学模型并数学、数值地求解用实际问题的实测数据来检验该数学模型支付使用，从而可产生经济、社会效益符合实际不符合实际第12页，此课件共58页哦例例1 1：万有引力定律的发现：万有引力定律的发现 万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重要贡万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重要贡献之一献之一,牛顿在研究力学的过程中发明了微积分牛顿在研究力学的过程中发明了微积分,又成功地在又成功地在开普勒三定律开普勒三定律的基础上的基础上运用微积分运用微积分推出了万有引力

9、定律这一创造性的成就可以看推出了万有引力定律这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学建模案例之一作是历史上最著名的数学建模案例之一第13页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现 背景：背景：十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界的的日心说日心说，这是科学上的一大革命。，这是科学上的一大革命。当然由于历史和科学水平的限制，他的学说当然由于历史和科学水平的限制，他的学说免不了也免不了也包含了一些缺陷包含了一些缺陷（地球围绕太阳作圆（地球围绕太阳作圆周运动）。周运动）。此后，丹麦天文学家第谷此后，丹麦天文学家第谷布拉赫进行了二十年的布拉赫进行了二十年

10、的观测并记录下十分丰富而又准确的资料。观测并记录下十分丰富而又准确的资料。第14页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现 第谷第谷布拉赫的学生开普勒（布拉赫的学生开普勒（Kepler）对这些资料）对这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行周期上结果与哥白尼学说在运行周期上有有8度的误差度的误差，这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为依据，提出了天文学上至，他以观察结果为依据，提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设今仍然十分著名的三条假设Kepler三

11、定律三定律。第15页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现（1）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上；一个焦点上；（2）行星在单位时间内扫过的面积）行星在单位时间内扫过的面积A不变；不变；（3）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星而改变。次方，比例系数不随行星而改变。第16页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现 假设：假设：（1）行星轨道方程：椭圆极坐标方程行星轨道方程：椭圆极坐标方程 其中其中a长半轴，长半轴，b短半轴，短半轴，e离心率；离心率；1co

12、spre2222,(1)bpbaea第17页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现（2）（3）k为比例系数，为比例系数，T为周期为周期（4 4）牛顿第二定律：）牛顿第二定律：212Ar23Tkafr第18页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现cossinsincosruijuij 基基向向量量第19页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现rrruurruuu，rrrur u行星速度2()(2)rrrrurru行星加速度cossinsincosruijuij 第20页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现223122204AArr

13、rrArr3222222sin11(2)()(2)1AeArrrprArrrpp 第21页，此课件共58页哦万有引力定律的发现万有引力定律的发现221rrukr（）结论：作用于任一行星上的力，方向在太阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出来的？），其大小与两者之间的距离平方成反比，比例系数通过实验给出。第22页，此课件共58页哦例例2 2：传染病模型：传染病模型 背景背景：传染病是威胁人类健康和生命的一类疾：传染病是威胁人类健康和生命的一类疾病，如何有效地预防和控制传染病对人类的侵病，如何有效地预防和控制传染病对人类的侵害，是一项相当重要的课题，其中有效预测某害，是一项相当重要的课题，其中有效预

14、测某个时刻得病人数也是相当重要的指标。个时刻得病人数也是相当重要的指标。第23页，此课件共58页哦传染病模型传染病模型 符号假设：符号假设：t 时刻病人数为时刻病人数为i(t)模型一：模型一：设单位时间内一个病人能传染的人数设单位时间内一个病人能传染的人数（传染率）为（传染率）为k0 0()()()i tti tk i tt 求解并分析00(0)dik idtii00()k ti ti e0(1)0i(2)t 第24页，此课件共58页哦传染病模型传染病模型哪里出错了？0000()(0)k tdik ii ti edtii000001ln|,()k tdididik ik dtk dtdtiii

15、k tCi tCe第25页，此课件共58页哦传染病模型传染病模型模型二：模型二：设人群分为两类：设人群分为两类：已感染者（已感染者（Infective）i(t)易感染者（易感染者（Susceptible)s(t)所考察地区的总人数为所考察地区的总人数为n，i(t)+s(t)n，易见传染率，易见传染率应该和应该和s(t)成单增关系，为方便，设为正比例关系，成单增关系，为方便，设为正比例关系，比例系数用比例系数用表示（称为传染系数或日接触率），表示（称为传染系数或日接触率），则方程变为则方程变为 00()()()(0)(0)didis t i tni idtdtiiii第26页，此课件共58页哦传

16、染病模型传染病模型00()1(1()(0)ntni tnedini iditii第27页，此课件共58页哦传染病模型传染病模型模型三：模型三：假设假设（1）人群分为三类）人群分为三类:已感染者已感染者i(t),易感染者易感染者s(t),免疫移出者（含死亡）免疫移出者（含死亡）r(t),则则 i(t)+s(t)+r(t)n（2）传染率和）传染率和s(t)成正比成正比,比例系数用比例系数用表示表示;（3）单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人数成）单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人数成正比，比例系数用正比，比例系数用 l 表示表示.第28页，此课件共58页哦传染病模型传染病模型000,0(0)(0

17、)0(0)disilidtdrlidtdidsdrdtdtdtiirssni第29页，此课件共58页哦传染病模型传染病模型0001ln()|s sdisldssinssins，/000|rrdssdrss ess第30页，此课件共58页哦模型分类模型分类 依据变量的特征：确定型和随机依据变量的特征：确定型和随机 依据变量的取值：连续型和离散型依据变量的取值：连续型和离散型 依据数学式子：线性和非线性依据数学式子：线性和非线性 依据物理状态：静态和动态依据物理状态：静态和动态 依据对问题的认识程度：白箱、灰箱和黑箱模型依据对问题的认识程度：白箱、灰箱和黑箱模型 依据数学方法：初等，方程，优化，控

18、制论等等依据数学方法：初等，方程，优化，控制论等等 依据实际范畴：人口，交通，经济，生态等等依据实际范畴：人口，交通，经济，生态等等第31页，此课件共58页哦搜集建模案例搜集建模案例 搜集一个与自己专业有关的建模问题，搜集一个与自己专业有关的建模问题，读懂并把它复述出来（写到读懂并把它复述出来（写到16开的纸上开的纸上，在，在35页之间，手写）页之间，手写）将姓名、学号和班级写在第将姓名、学号和班级写在第1页的第页的第1行行 正文内容至少包含：问题的提出（或描正文内容至少包含：问题的提出（或描述、引言）；建模（包括假设、符号、述、引言）；建模（包括假设、符号、模型建立和求解过程等）；检验（或分

19、模型建立和求解过程等）；检验（或分析、验证、讨论）。析、验证、讨论）。第32页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 例例1：（：（物体冷却过程物体冷却过程）将某物体放置于空气将某物体放置于空气中，在 时 刻中，在 时 刻t=0 时，测 量 得 它 的 温 度 为时，测 量 得 它 的 温 度 为u0=1500C，10分钟后测量得温度为分钟后测量得温度为u1=1000C，求物体的温度，求物体的温度u和时间和时间t的关系的关系,假定空气的温假定空气的温度始终保持在度始终保持在ua=240C，热力学的一些基本规律：热量总是从温度高热力学的一些基本规律：热量总是从温度高的物体

20、向温度低的物体传导的；一个物体的的物体向温度低的物体传导的；一个物体的温度变化速度与温度差成比例。温度变化速度与温度差成比例。第33页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 设物体在时刻设物体在时刻t的温度为的温度为u=u(t)，则温度的变化，则温度的变化速度可表示为速度可表示为du/dt，由刚才的物理知识得如下，由刚才的物理知识得如下等式（等式（k为比例常数）：为比例常数）：0()(0)aduk uudtuu 第34页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 求解并分析求解并分析0()()ktaau tuuu e 将已知数据代入求得本题的将已知数

21、据代入求得本题的u(t)0.051()24 126tu te(20)70(120)24.28(180)24.01uCuCuC第35页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 例例2：（：（R-L电路电路）如图的如图的R-L电路，它包含电电路，它包含电感感L，电阻，电阻R和电源和电源E（均设为常数）（均设为常数）.设设t=0时时，电路中没有电流，电路中没有电流.建立：当开关建立：当开关K合上后，电合上后，电流流I应该满足的微分方程应该满足的微分方程.第36页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 基尔霍夫基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：在闭合

22、回路中，第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。所有支路上的电压的代数和等于零。分析：经过电阻分析：经过电阻R的电压降为的电压降为RI，经过电感，经过电感L的的电压降是电压降是LdI/dt，由上述定律得，由上述定律得，(0)0(0)0dIdIRELRIEIdtdtLLII第37页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模假设电源电动势为假设电源电动势为 ，则方程解为，则方程解为222222222222()(sincos)sin()RtmmLRtmmLLEEI teRtLtRLRLLEEetRLRL0sinEEt第一项叫第一项叫暂态电流暂态电流，随，随t的增大

23、逐渐衰减趋于零的增大逐渐衰减趋于零第二项叫第二项叫稳态电流稳态电流，是个正弦函数，是个正弦函数.第38页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 例例3：（：（R-L-C电路电路）如图的如图的R-L-C电路，它包电路，它包含电感含电感L，电阻，电阻R和电容和电容C(均为常数均为常数).电源电源e(t)是时间是时间t的已知函数的已知函数.建立：当开关建立：当开关K合上后，合上后，电流电流I应该满足的微分方程应该满足的微分方程.第39页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 分析：经过电阻分析：经过电阻R的电压降为的电压降为RI，经过电感，经过电感L的

24、电压降是的电压降是LdI/dt，经过电容，经过电容C的电压降是的电压降是Q/C，由基尔霍夫第二定律得，由基尔霍夫第二定律得，()dIQLRIe tdtC221()dQd IR dIIde tIdtdtL dtLCLdt第40页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 例例4：(电容器的充电和放电电容器的充电和放电)如图所示的如图所示的R-C电路电路，请找出充、放电过程中，电容，请找出充、放电过程中，电容C两端的电压两端的电压u随随时间时间t的变化规律。的变化规律。第41页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 开始时电容开始时电容C上没有电荷，电容

25、两端的电压为零上没有电荷，电容两端的电压为零.我们把开关我们把开关K合上合上“1”后，电池后，电池E就对电容就对电容C充电，电充电，电容容C两端的电压两端的电压u逐渐升高逐渐升高.经过相当时间后，电容充电经过相当时间后，电容充电完毕，我们再把开关合上完毕，我们再把开关合上“2”，这时电容就开始了放，这时电容就开始了放电过程电过程.第42页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模充电过程时，有充电过程时，有uRIE电容上的电量电容上的电量Q=Cu 逐渐增多，且逐渐增多，且duRCuEdtdQIdt1(1)tRCuEe30.95tRCuE第43页，此课件共58页哦某些物理过程

26、的数学建模某些物理过程的数学建模 例例6：(探照灯反射镜面的形状探照灯反射镜面的形状)在制造探照灯的反射在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，请问反射镜面的去，以保证探照灯有良好的方向性，请问反射镜面的几何形状？几何形状？建立平面直角坐标系建立平面直角坐标系xoy，取光源所在处为坐标原点，取光源所在处为坐标原点，而，而x轴平行于光的反射方向轴平行于光的反射方向.设该镜面设该镜面(曲面曲面)由由xoy坐标面上的曲线坐标面上的曲线y=f(x)绕绕x轴旋转而成轴旋转而成.如图如图第44页，此课件共

27、58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模光的反射定律：入射角光的反射定律：入射角=反射角反射角第45页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模根据光的反射定律：入射角根据光的反射定律：入射角=反射角，可得反射角，可得222tandyMPdyydxNPdxxxy2(2)yc cx22(2)yzc cx旋转抛物面旋转抛物面第46页，此课件共58页哦经济学中的数学经济学中的数学 几个常见的经济函数几个常见的经济函数 1.单利单利：设初始本金为：设初始本金为p元，银行年利率为元，银行年利率为r，则第，则第n年末本利和为年末本利和为 Sn=p(1+nr)2.复利复利：设

28、初始本金为：设初始本金为p元，银行年利率为元，银行年利率为r，则第，则第n年末本利和为年末本利和为 Sn=p(1+r)n第47页，此课件共58页哦经济学中的数学经济学中的数学 3.贴现贴现：票据的持有人，为在票据到期以前获得资：票据的持有人，为在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到剩余金额的现金称为剩余金额的现金称为贴现贴现。第。第n年后价值为年后价值为R元钱元钱的现值为的现值为 其中：其中：R表示第表示第n年后到期的票面年后到期的票面(据据)金额金额 ，r表表示贴现率，示贴现率，p表示现在进行票据转让时银行付给表示现在进行

29、票据转让时银行付给的贴现金额。的贴现金额。(1)nRpr第48页，此课件共58页哦经济学中的数学经济学中的数学 4.需求函数需求函数：商品的需求量：商品的需求量Q可以看成是商品价格可以看成是商品价格p的函数的函数需求函数，记作需求函数，记作 Q=f(p),p0 需求函数一般是单调减少的，其图像称为需求曲线需求函数一般是单调减少的，其图像称为需求曲线，其反函数称为价格函数。，其反函数称为价格函数。需求函数一般有线性函数，二次函数，指数函数，幂需求函数一般有线性函数，二次函数，指数函数，幂函数。函数。第49页，此课件共58页哦经济学中的数学经济学中的数学 5.供给函数供给函数：商品的供给量：商品的

30、供给量S可以看成是商品价可以看成是商品价格格p的函数的函数供给函数，记作供给函数，记作 S=f(p),p0 供给函数一般是单调增加的，其图像称为供给供给函数一般是单调增加的，其图像称为供给曲线。曲线。如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均衡市场均衡。第50页，此课件共58页哦经济学中的数学经济学中的数学 6.成本函数成本函数：费用总额与产量：费用总额与产量(销量销量)之间的关系之间的关系，记作，记作 C=C(x)=C1+C2(x)C1 称为固定成本，称为固定成本，C2(x)称为可变成本。称为可变成本。C(x)称为称为边际成本边际成本，它描述了从生

31、产第，它描述了从生产第x个到生个到生产第产第x+1个单位的产品时，总成本的近似增值。个单位的产品时，总成本的近似增值。第51页，此课件共58页哦经济学中的数学经济学中的数学 7.收益函数收益函数：生产者出售产品的全部收入与产品的：生产者出售产品的全部收入与产品的销量之间的关系，记作销量之间的关系，记作 R=R(x)R(x)称为称为边际收益边际收益，它描述了当销售量为，它描述了当销售量为x单位时单位时，再增加，再增加1个单位的销售量，总收入的近似增值。个单位的销售量，总收入的近似增值。第52页，此课件共58页哦经济学中的数学经济学中的数学 8.利润函数利润函数：收益函数与成本函数之差，记作：收益

32、函数与成本函数之差，记作 L=L(x)L(x)称为称为边际利润边际利润，它描述了当销售量为，它描述了当销售量为x单位时单位时，再增加，再增加1个单位的销售量，利润的近似增值。个单位的销售量，利润的近似增值。第53页，此课件共58页哦经济学中的数学经济学中的数学 9.需求弹性需求弹性：设某商品需求函数：设某商品需求函数Q=f(p)在在p处可处可导，称导，称 为该商品在为该商品在p与与p+p两点间的需求两点间的需求弹性。弹性。称下式为该商品在称下式为该商品在p处的需求弹性。处的需求弹性。经济意义为：在价格为经济意义为：在价格为p时时,价格每变动价格每变动1%，需，需求量变化的百分比为求量变化的百分

33、比为%QpQp()()Q ppQ p 第54页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个设有一个弹簧，它的上端固定，下端挂一个质量为质量为m的物体的物体.如果使物体具有一个初始速度如果使物体具有一个初始速度，那么物体便离开平衡位置，并在平衡位置附，那么物体便离开平衡位置，并在平衡位置附近作上下振动，如果不考虑阻力和外加力，物近作上下振动，如果不考虑阻力和外加力，物体的位置体的位置 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律x=x(t)，根据，根据力学知识可得力学知识可得（无阻尼自由振动方程（无阻尼自由振动方程）222220d xd x

34、mcxk xdtdt 第55页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 如果考虑受到阻尼介质的阻力，假定大小与运如果考虑受到阻尼介质的阻力，假定大小与运动速度成正比，可得动速度成正比，可得自由振动方程自由振动方程 2222220d xdxd xdxmcxnk xdtdtdtdt 2222sind xdxnk xhptdtdt 如果还考虑受到铅直干扰力如果还考虑受到铅直干扰力 的作用，可得的作用，可得强迫振动方程强迫振动方程 sinFHpt第56页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模 下面我们对上述方程进行求解并分析其物理下面我们对上述方程进行求解

35、并分析其物理意义意义22002000,(0),(0)cossinsin()d xk xxxxvdtvxxktktAktk 可见无阻尼自由振动就是可见无阻尼自由振动就是简谐振动！简谐振动！参数参数k称为称为固有频率固有频率cmk 第57页，此课件共58页哦某些物理过程的数学建模某些物理过程的数学建模有阻尼的有阻尼的自由振动方程自由振动方程 2200220,(0),(0)d xdxnk xxxxvdtdt（1）小阻尼情形：）小阻尼情形：nk 方程解为方程解为sin()ntxAet可见振幅随时间可见振幅随时间t的增大而减小，趋于零的增大而减小，趋于零.因此物因此物体随时间体随时间t的增大而的增大而趋于平衡位置趋于平衡位置！第58页，此课件共58页哦