插值法均差与牛顿插值公式讲稿.ppt

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1、关于插值法均差与牛顿插值公式第一页，讲稿共三十七页哦9/7/20222 2.3.1 均差及其性质均差及其性质)(xljnjiiijixxxx0)()(nj,2,1,0我们知道,拉格朗日插值多项式的插值基函数为形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多第二页，讲稿共三十七页哦9/7/20223 拉格朗日插值公式可看作直线方程两点式的推广，若从直线方程点斜式1010010()()()iiiffP xfxxff xyxx出发，将它推广到具有n+1个插值点的情况，可把插值多项式表示为)()()()()(110102010nnnxxxxxxaxxxxaxxaaxP第三页，讲稿共三十七页哦9/7/202

2、24当当00010110120120220212()()()()()()()nnnP xafP xaa xxfP xaa xxa xxxxf001011020102010221afffaxxffffxxxxaxx 依次可得到 34,na aa。为写出系数的一般表达式，现引入差商（均差）定义。第四页，讲稿共三十七页哦9/7/20225一、差商(均差)定义2.nifxxfii,1,0,)(处的函数值为在互异的节点设称)0()()(,000kxxxfxfxxfkkk)(,)(0差商一阶均差关于节点为kxxxf第五页，讲稿共三十七页哦9/7/20226第六页，讲稿共三十七页哦9/7/20227,110

3、kkxxxxfkjkjjjjjjjxxxxxxxxxf0110)()()()(二、均差具有如下性质：二、均差具有如下性质：第七页，讲稿共三十七页哦9/7/20228()(),010101f xf xf x xxx 010110ffxxxx ,010201212f xxf xxf xxxxx ()()0012120110120220ffff11x x x xx xx x x xx x ()()()()()()012010210122021fffxx xxxx xxxx xx 例例第八页，讲稿共三十七页哦9/7/20229这个性质也表明差商与节点的排列顺序无关(差商的对称性)。即01102120,

4、kkkf x xxf x x xxf x xx x第九页，讲稿共三十七页哦9/7/202210性质3：若f(x)在a,b上存在n阶导数，且节点则n阶均差与导数关系如下：0,nxxa b第十页，讲稿共三十七页哦9/7/202211)()()()()()(4433221100 xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四阶差商三阶差商二阶差商一阶差商三、均差三、均差的计算方法的计算方法(表格法表格法):,10 xxf,21xxf,32xxf,43xxf,210 xxxf,321xxxf,432xxxf,3210 xxxxf,4321xxxxf,410 xxxf规定函数值为零阶均差均差表第十一页，讲稿

5、共三十七页哦9/7/202212例例1:已知下表，计算三阶差商已知下表，计算三阶差商 ix()if x1 13 34 47 70 02 215151212解：列表计算解：列表计算ix()if x一阶差一阶差商商二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商1 10 03 32 21 14 4151513134 47 71212-1-1-3.5-3.5-1.25-1.25第十二页，讲稿共三十七页哦9/7/2022132.3.2 牛顿插值公式第十三页，讲稿共三十七页哦9/7/202214第十四页，讲稿共三十七页哦9/7/202215)(xRn)()!1()()()(1)1(xnfxNxfnnn)(,110 x

6、xxxxfnn我们称为牛顿(Newton)均差插值多项式。)(xNn称)(xRn为牛顿均差插值多项式的截断误差。第十五页，讲稿共三十七页哦9/7/202216第十六页，讲稿共三十七页哦9/7/202217第十七页，讲稿共三十七页哦9/7/202218第十八页，讲稿共三十七页哦9/7/202219显然：第十九页，讲稿共三十七页哦9/7/202220例2：依据如下函数值表建立不超过三次的Lagrange插值多项式及Newton插值多项式，并验证插值多项式的唯一性。x0 01 12 24 4 f(x)1 19 923233 3第二十页，讲稿共三十七页哦9/7/20222130123()()()()9

7、()23()3()iiL xf x l xl xl xlxl x320321322323(1)(2)(4)177()1(01)(02)(04)884(0)(2)(4)18()2(10)(12)(14)33(0)(1)(4)15()(20)(21)(04)44(0)(1)(2)111()(40)(41)(42)248xxxlxxxxxxxlxxxxxxxlxxxxxxxlxxx 12x解：(1)建立Lagrange插值多项式：基函数为Lagrange插值多项式为32114511442xxx 第二十一页，讲稿共三十七页哦9/7/202222（2）Newton插值多项式：建立差商表为一阶差商一阶差商

8、二阶差商二阶差商三阶差商三阶差商0 01 11 19 98 82 2232314143 34 43 3-10-10-8-8114第二十二页，讲稿共三十七页哦9/7/202223Newton插值多项式为311()1 8(0)3(0)(1)(0)(1)(2)4N xxxxxxx （3）唯一性验证：将Newton插值多项式按x幂次排列，便得到323311451()1()442NxxxxL x 第二十三页，讲稿共三十七页哦9/7/202224v练习：已知由数据(0，0)，(0.5，y)，(1，3)，(2，2)构造出的三次插值多项式P3(x)的x3的系数是6，试确定数据y。第二十四页，讲稿共三十七页哦9

9、/7/202225四、拉格朗日插值与牛顿插值的比较第二十五页，讲稿共三十七页哦9/7/202226第二十六页，讲稿共三十七页哦9/7/202227一、差分定义3.称处的函数值为在等距节点设,1,0,)(0nkfkhxxxfkkkkkfff1处的一阶向前差分在为kxxf)(1,1,0nk 2.3.4 差分及其性质差分及其性质第二十七页，讲稿共三十七页哦9/7/202228kmkmkmfff111阶向前差分处的在为mxxfk)(依此类推kkkfff12处的二阶向前差分在为kxxf)(第二十八页，讲稿共三十七页哦9/7/2022294433221100fxfxfxfxfxfxkk四阶差分三阶差分二阶

10、差分一阶差分0f1f2f3f02f12f22f03f13f04f差分表第二十九页，讲稿共三十七页哦9/7/202230二、在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系,1iixxfhfi,21iiixxxf212hffii222hfi,321iiiixxxxf321223hffii33!3 hfiiiiixxff11iiiiiixxxxfxxf2121,iiiiiiiixxxxxfxxxf321321,第三十页，讲稿共三十七页哦9/7/202231,1miiixxxf依此类推mimhmf!,10kxxxfkkhkf!0第三十一页，讲稿共三十七页哦9/7/202232一、牛顿前插公式等距节点插值公式等距节点插值公式第三十二页，讲稿共三十七页哦9/7/202233第三十三页，讲稿共三十七页哦9/7/202234v牛顿插值法的优点是计算较简单,尤其是增加节点时,计算只要增加一项,这是拉格朗日插值无法比的.v但是牛顿插值仍然没有改变拉格朗日插值的插值曲线在节点处有尖点，不光滑，插值多项式在节点处不可导等缺点.二、牛顿插值公式与拉格朗日插值相比第三十四页，讲稿共三十七页哦9/7/202235The End第三十五页，讲稿共三十七页哦9/7/202236P48 1、8本章作业第三十六页，讲稿共三十七页哦9/7/2022感谢大家观看感谢大家观看第三十七页，讲稿共三十七页哦