用曲线积分求旋转曲面的面积.ppt

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1、用曲线积分求旋转曲用曲线积分求旋转曲面的面积面的面积1现在学习的是第1页，共24页 作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。2现在学习的是第2页，共24页先看特殊的情形旋转轴为坐标轴3现在学习的是第3页，共24页 设L是上半平面内的一条平面曲线。将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L4现在学习的是第4页，共24页ds(,)x yL在曲线L的(x,y)处取一弧微分 ds它到x轴的距离是 y（如图）。该弧

2、微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：2xdAsdy（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：2xxLLAsdAdyy5现在学习的是第5页，共24页命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：2xLy sAdds(,)x yyL6现在学习的是第6页，共24页命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理x2yLx sAdds(,)x yL7现在学习的是第7页，共24页下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式8现在学习的是第8页，共24页直角坐标方程9现在学习的是第9页，共24页:()()L yy xaxbxy

3、=f(x)bLa如果2()1)2(2bxaLyy xdsy xdxAL绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为：21()ysxdxd 则21()(2)bxaAy xxy xd10现在学习的是第10页，共24页:()()L yy xaxbxy=f(x)bLa如果21()22byaLxxdsydxAxL绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为：21()ysxdxd 则21()2byay xdxAxy11现在学习的是第11页，共24页参数方程12现在学习的是第12页，共24页:(),()()L xx tyy tatb L如果22()()()22byaLdsx ty tdtyAytL绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为：22(

4、)()x tytddst则22()()2()bxax tyy tAtdtyx13现在学习的是第13页，共24页:(),()()L xx tyy tatb xL如果22()()()22byaLdsx ty tdtxAxt则L绕 y轴旋转的旋转曲面的面积为：22()()x tytddst则22()()2()byax tyx tAtdty14现在学习的是第14页，共24页极坐标方程15现在学习的是第15页，共24页:()()L()如果22()()sin22xLdyAds L绕 x轴旋转的旋转曲面的面积为：22()()dsd 则x22()()sin()2xAd 16现在学习的是第16页，共24页我们来

5、推导一个有关曲线L的形心(质心)和旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理Paul Guldin（古尔丁）1577 1643Swiss mathematician who wrote on volumes and centres of gravity.17现在学习的是第17页，共24页(,)x yL上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积等于该曲线的形心所经过的路程与L的弧长s的乘积。12xLydAs证 由命题 y古尔丁定理2Lsyd12Lssdsy 2sy 形心18现在学习的是第18页，共24页如果你很容易求得曲线L的弧长和形心，用古尔丁定理就很容求得旋转曲面的面积。(,)x yL

6、y形心19现在学习的是第19页，共24页下面来看一般的情形一般的曲线&一般的旋转轴20现在学习的是第20页，共24页 设L是xOy坐标平面内的一条曲线。L在直线 l 的一侧（如图）。将L绕直线 l 旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积A。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。Ll21现在学习的是第21页，共24页ds(,)x yL在曲线L的(x,y)处取一弧微分ds它到直线 l 的距离是：该弧微分绕 l 旋转而成的旋转曲面的面积约为：2dAsdd于是整个曲线L绕直线 l 旋转而成的旋转曲面的面积为：2LLAddAdsd设直线 l 的方程为 ax+by+c=0。22axbycdabl22现在学习的是第22页，共24页222LAaxbysadcb命题3 曲线L绕直线 ax+by+c=0旋转而成的旋转曲面的面积为：ds(,)x yLdl23现在学习的是第23页，共24页下面举几个例子来说明命题中的公式的应用由于其中积分较难计算用数学软件Maple完成24现在学习的是第24页，共24页