幂级数收敛域绝好讲稿.ppt

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1、关于幂级数收敛域绝好9/8/20221第一页，讲稿共三十六页哦9/8/20222什麽叫幂级数？什麽叫幂级数？)1()()()()(020201000 nnnnnxxaxxaxxaaxxatxx 0)2(22100 nnnnntatataata)2(22100 nnnnnxaxaxaaxa一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性每一项都是幂函数的函数项级数每一项都是幂函数的函数项级数作变换：作变换：第二页，讲稿共三十六页哦9/8/20223.!11的的收收敛敛域域求求例例 nnnx;,0级级数数收收敛敛时时当当 x101lim)()(lim1 nxxuxunnnn级级数数收收敛敛由由达达朗朗贝贝

2、尔尔判判别别法法知知,),(,级级数数收收敛敛域域为为故故,0时时当当 x解解问题：幂级数的收敛域是怎样的？问题：幂级数的收敛域是怎样的？第三页，讲稿共三十六页哦9/8/20224.)!(21的的收收敛敛域域求求例例 nnxn;,0级级数数收收敛敛时时当当 x xnxuxunnnn)1(lim)()(lim1级级数数发发散散由由达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法知知,0:,x级级数数只只有有一一个个收收敛敛点点故故,0时时当当 x解解第四页，讲稿共三十六页哦9/8/20225.31的的收收敛敛域域求求例例 nnnx收收敛敛级级数数为为时时当当 1)1(,1nnnx发发散散级级数数为为时时当当 11,

3、1nnx解解,0时时当当 xxxnnxuxunnnn 1lim)()(lim1级级数数收收敛敛时时当当,1 x)1,1,级级数数收收敛敛域域为为故故第五页，讲稿共三十六页哦9/8/20226 问题：问题：由以上三个例题由以上三个例题 可以看出，幂级数的收敛域可以看出，幂级数的收敛域 是怎样的？是怎样的？小结小结 由以上三个例子可见由以上三个例子可见,幂级数幂级数 的收敛域有以下三种情形的收敛域有以下三种情形:(1)收敛域为收敛域为整个实数集整个实数集;(2)收敛域为一个收敛域为一个单点集单点集;(3)收敛域为一个收敛域为一个有穷区间有穷区间.第六页，讲稿共三十六页哦9/8/20227.,)0(

4、;,)0(02200110发发散散幂幂级级数数的的一一切切点点则则对对满满足足不不等等式式处处发发散散在在点点若若幂幂级级数数绝绝对对收收敛敛幂幂级级数数的的一一切切点点对对满满足足不不等等式式则则处处收收敛敛在在点点若若幂幂级级数数 nnnnnnnnnnnnxaxxxxxaxaxxxxxa1xx 定理定理1 (阿贝尔定理阿贝尔定理)2xx 绝对收敛绝对收敛发散发散第七页，讲稿共三十六页哦9/8/20228o1x1x 2x2x 绝绝对对收收敛敛发发散散发发散散x在在 x x1 1 收敛收敛在在 X2 发散发散 第八页，讲稿共三十六页哦9/8/20229怎样证明怎样证明?.,:01收敛收敛时时当

5、当任取任取要证明要证明 nnnxaxxx只只须须找找一一个个不不等等式式用用比比较较法法,nnnuxa.0收收敛敛而而 nnunnnnnxxxaxa11 变变形形Mxann 1只只须须收收敛敛 01nnnxa第九页，讲稿共三十六页哦9/8/202210证证处处收收敛敛在在点点设设)0(10 xxannn0lim,101 nnnnnnxaxa故故有有收收敛敛数数项项级级数数即即使使得得即即存存在在有有界界数数列列因因而而,0,1 Mxann),2,1,0(1 nMxann收收敛敛等等比比级级数数时时因因为为当当 011,nnxxMxx有有于于是是,绝绝对对收收敛敛级级数数所所以以 0,nnnxa

6、nnnnnnxxMxxxaxa111 第十页，讲稿共三十六页哦9/8/202211第第二二部部分分证证明明用用反反证证法法.,00200收收敛敛而而使使级级数数满满足足假假设设有有一一点点 nnnxaxxx!,02矛矛盾盾从从而而收收敛敛绝绝对对收收敛敛级级数数则则由由前前一一部部分分的的证证明明知知 nnnxa.,02发发散散幂幂级级数数的的一一切切点点对对满满足足不不等等式式所所以以 nnnxaxxx第十一页，讲稿共三十六页哦9/8/202212o1x1x 2x2x 绝绝对对收收敛敛发发散散发发散散x绝绝对对收收敛敛R R 发发散散发发散散 问题：问题：由阿贝尔定理看，由阿贝尔定理看，幂级

7、数的收敛域有何特点？幂级数的收敛域有何特点？第十二页，讲稿共三十六页哦9/8/202213.,)2(;,)1(,0,2000发发散散幂幂级级数数时时当当绝绝对对收收敛敛幂幂级级数数时时当当使使得得确确定定的的正正数数则则必必存存在在唯唯一一又又有有发发散散点点收收敛敛点点既既有有非非零零：如如果果幂幂级级数数定定理理 nnnnnnnnnxaRxxaRxRxa第十三页，讲稿共三十六页哦9/8/202214.0的的收收敛敛半半径径称称为为幂幂级级数数 nnnxaR.,:0的的收收敛敛性性要要另另行行讨讨论论幂幂级级数数处处在在端端点点注注意意 nnnxaRx收收敛敛半半径径定义定义 (幂级数的收敛

8、半径、收敛区间幂级数的收敛半径、收敛区间).),(0收收敛敛区区间间的的称称为为幂幂级级数数区区间间 nnnxaRR收收敛敛区区间间第十四页，讲稿共三十六页哦9/8/202215证证.,0有有发发散散点点幂幂级级数数由由条条件件知知 nnnxa.,RE有有上上确确界界由由确确界界定定理理知知.0的的一一个个上上界界是是则则Ex.,000都都发发散散幂幂级级数数的的点点对对一一切切满满足足知知则则由由阿阿贝贝尔尔定定理理是是一一个个发发散散点点设设 nnnxaxxxxx.0Exannn的的收收敛敛点点集集为为记记幂幂级级数数 第十五页，讲稿共三十六页哦9/8/202216.0 R所所以以使使得得

9、必必存存在在时时当当,)1(1xRx Rxx 1,1必必是是收收敛敛点点所所以以的的上上确确界界是是因因为为xER,0有有非非零零收收敛敛点点幂幂级级数数又又因因为为 nnnxa在在点点幂幂级级数数由由阿阿贝贝尔尔定定理理知知于于是是 0,nnnxa使使得得必必存存在在时时当当,)2(2xRx Rxx 2,2必必是是发发散散点点所所以以的的上上确确界界是是因因为为xER.处处绝绝对对收收敛敛x.,0处处发发散散在在点点幂幂级级数数于于是是xxannn 第十六页，讲稿共三十六页哦9/8/202217nnnnnnxauxa 记记设设有有幂幂级级数数,0 xaaxaxaxuxunnnnnnnnnnn

10、 1111limlim)()(lim考考察察问题：问题：怎样求幂级数的收敛半径怎样求幂级数的收敛半径?则则由由达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法知知若若,lim1 nnnaa.,1;,100发发散散幂幂级级数数时时当当收收敛敛幂幂级级数数时时当当 nnnnnnxaxxax 第十七页，讲稿共三十六页哦9/8/202218.,1;,100发发散散幂幂级级数数时时当当收收敛敛幂幂级级数数时时当当 nnnnnnxaxxax 1,R收收敛敛半半径径因因此此就就有有如如果果,0 .,10),(,0 Rxx即即收收敛敛半半径径级级数数收收敛敛都都有有则则如如果果?,如如何何如如果果 .0,0 Rx收敛半径收敛半径

11、可以说可以说处收敛处收敛仅在点仅在点!,0 级级数数都都发发散散 x第十八页，讲稿共三十六页哦9/8/202219)(3 收收敛敛半半径径的的计计算算公公式式：定定理理之之比比满满足足的的相相邻邻两两项项系系数数设设幂幂级级数数 0nnnxa nnnaa1lim.0,)3(,0)2(1,0)1(RRR时时当当；时时当当；时时当当则则 第十九页，讲稿共三十六页哦9/8/202220.)2(41的的收收敛敛域域求求幂幂级级数数例例 nnnxn解解212lim)2(1)2(limlim11 nnnnaannnnnnn)21,21(,21 收收敛敛区区间间收收敛敛半半径径R考考察察端端点点,21时时当

12、当 x,21时时当当 x21,21(,幂级数的收敛域为幂级数的收敛域为所以所以发发散散级级数数 11nn收收敛敛级级数数 11)1(nnn第二十页，讲稿共三十六页哦9/8/202221.)2(1512的的收收敛敛域域求求幂幂级级数数例例 nnxn解解1)1(lim1)1(1limlim2221 nnnnaannnnnnnnntnxntx 12121)2(1,2则则令令1112 Rtnnn的的收收敛敛半半径径幂幂级级数数)1,1(收收敛敛区区间间都都收收敛敛级级数数时时当当 121,1nntnt1,1112 的的收收敛敛域域为为故故级级数数nntn3,1)2(112的的收收敛敛域域为为从从而而级

13、级数数 nnxn第二十一页，讲稿共三十六页哦9/8/202222.2226121523的收敛域的收敛域求幂级数求幂级数例例 nnxxxx解解？这这个个幂幂级级数数有有什什麽麽特特点点问问:利利用用达达朗朗贝贝尔尔判判别别法法2212112122lim22lim)()(limxxxxxuxunnnnnnnnn 级级数数收收敛敛时时即即时时当当,21,122 xx级级数数发发散散时时即即时时当当,21,122 xx缺项缺项!第二十二页，讲稿共三十六页哦9/8/202223,21 R收收敛敛半半径径)21,21(收收敛敛区区间间21:x端端点点级级数数发发散散)21,21(,级级数数的的收收敛敛域域

14、为为故故0)(lim xunn22 121)21(2)(nnnxu第二十三页，讲稿共三十六页哦9/8/202224.,0,000上上一一致致收收敛敛在在闭闭区区间间幂幂级级数数对对任任意意实实数数则则的的收收敛敛半半径径若若幂幂级级数数bbxaRbbRxannnnnn R Rb bo 一致收敛一致收敛定理定理1 1：（内闭一致收敛性）（内闭一致收敛性）二、幂级数的解析性质第二十四页，讲稿共三十六页哦9/8/202225证证,0所所以以由由阿阿贝贝尔尔定定理理知知因因为为Rb 有有时时又又当当,bbx ),2,1,0(nbabaxaxannnnnnnn.,0上上一一致致收收敛敛在在级级数数由由优

15、优级级数数判判别别法法知知于于是是bbxannn .0绝绝对对收收敛敛幂幂级级数数 nnnba第二十五页，讲稿共三十六页哦9/8/202226.),()(,000内内连连续续在在收收敛敛区区间间则则和和函函数数的的收收敛敛半半径径若若幂幂级级数数RRxaxSRxannnnnn 定理定理2 2：（和函数的连续性）（和函数的连续性）第二十六页，讲稿共三十六页哦9/8/202227证证RbxbRxRRx 000,0,),(使使得得则则必必存存在在即即任任取取.,0上上一一致致收收敛敛在在幂幂级级数数由由内内闭闭一一致致收收敛敛性性知知bbxannn .,)(,0处处连连续续从从而而在在点点上上连连续

16、续在在和和幂幂级级数数的的质质知知再再由由一一致致收收敛敛级级数数的的性性xbbxS.),()(,),(0内内连连续续在在所所以以内内的的任任意意一一点点是是又又因因为为RRxSRRx 第二十七页，讲稿共三十六页哦9/8/202228推推论论即即或或左左连连续续右右连连续续处处或或在在则则和和函函数数处处收收敛敛或或且且在在的的收收敛敛半半径径若若幂幂级级数数).()()(,)(,00RRxxSRRxRxannn 00limnnnnnnRxRaxa)lim(00 nnnnnnRxRaxa或或第二十八页，讲稿共三十六页哦9/8/202229 01000001)()(nnnnxnnxnnnxxna

17、dttadttadttS定理定理3 3：（逐项积分）（逐项积分）.相相同同的的收收敛敛半半径径幂幂级级数数与与原原级级数数有有且且逐逐项项积积分分后后所所得得到到的的有有即即且且可可以以逐逐项项积积分分可可积积内内在在收收敛敛区区间间函函数数则则和和的的收收敛敛半半径径若若幂幂级级数数),(,),()(,000RRxRRxaxSRxannnnnn 第二十九页，讲稿共三十六页哦9/8/202230RxRRx 即即因因为为),(.,0上上一一致致收收敛敛在在幂幂级级数数由由内内闭闭一一致致收收敛敛性性知知xxxannn .,定定理理得得证证质质知知再再由由一一致致收收敛敛级级数数的的性性证证第三十

18、页，讲稿共三十六页哦9/8/202231有有即即且且可可以以逐逐项项求求导导可可微微内内在在收收敛敛区区间间函函数数则则和和的的收收敛敛半半径径若若幂幂级级数数),(,),()(,000RRxRRxaxSRxannnnnn 1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxS定理定理4 4：（逐项微分）（逐项微分）.相相同同的的收收敛敛半半径径幂幂级级数数与与原原级级数数有有且且逐逐项项微微分分后后所所得得到到的的第三十一页，讲稿共三十六页哦9/8/202232证证RxRRx 有有对对任任意意),(.11的的一一致致收收敛敛性性关关键键是是证证明明级级数数 nnnxna使使得得总总可可以以

19、找找到到正正数数,rbRrbx 有有时时于于是是当当,bx 111)(nnnnnnnrbrarnbanxnaRrRRxannn 0,),(0且且内内收收敛敛在在因因为为.,0收收敛敛级级数数由由阿阿贝贝尔尔定定理理知知 nnnra第三十二页，讲稿共三十六页哦9/8/202233Lrann 设设),2,1,0(n.从从而而一一般般项项有有界界则则11)(nnnrbnrLxna),2,1(n,)(11收收敛敛因因为为正正项项级级数数 nnrbnrL故故由由优优级级数数.11时时一一致致收收敛敛在在级级数数bxxnannn ,判判别别法法知知.,)(,0且且可可逐逐项项求求导导时时可可导导在在的的和

20、和函函数数幂幂级级数数知知由由一一致致收收敛敛级级数数的的性性质质bxxSxannn 第三十三页，讲稿共三十六页哦9/8/202234.),(,),(内内逐逐项项求求导导可可在在所所以以幂幂级级数数内内的的任任意意一一点点是是由由于于RRRRx .,11RRRxnannn 证证明明知知由由上上述述的的收收敛敛半半径径为为记记级级数数RR 再再证证明明必必发发散散在在级级数数则则使使任任取取一一点点只只须须证证明明01100,:xxnaRxxnnn 第三十四页，讲稿共三十六页哦9/8/202235用反证法用反证法收收敛敛假假设设级级数数 110nnnxna绝绝对对收收敛敛知知级级数数则则由由阿阿贝贝尔尔定定理理使使再再取取一一点点 111011,nnnxnaxxRx有有时时当当,1xn nnnnnnxaxaxnxna11111 绝绝对对收收敛敛 11nnnxa的的收收敛敛半半径径矛矛盾盾！是是级级数数这这与与 1nnnxaRRR 所所以以RR 第三十五页，讲稿共三十六页哦9/8/2022感谢大家观看感谢大家观看第三十六页，讲稿共三十六页哦