模式识别随机向量的概率.ppt

《模式识别随机向量的概率.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《模式识别随机向量的概率.ppt（44页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、模式识别随机向量的概率现在学习的是第1页，共44页一.事件的概率 令A、B、C 表示事件，这些事件的概率是0，1间的实数，记为PrA、PrB、PrC 必然事件的概率是1 不可能事件的概率是0 对任意事件A，（对立事件）AP1APrr现在学习的是第2页，共44页A和B同时发生的概率 如果A1，A2，AM是两两互斥的完备事件组，则 ABPBAPrr BAP-BA BABABAPrrrrrrPPPP或互斥时和，当 MiMi1rir1irBPBAP 1AP，现在学习的是第3页，共44页二.概率分布和密度函数1.单个随机向量的分布和密度函数 令X X是一个随机向量，它的每一分量都是一个随机变量。令 是X

2、的一个取值，其中 都是固定的实数值 nxxX1nxx1，nxxx1x 现在学习的是第4页，共44页 则事件：的概率是 的函数。这个函数称为随机向量x的分布函数。定义为：nnxxxxxxxx2211，：x xxxxxxn21r，现在学习的是第5页，共44页由上面分布函数的定义，显然有：概率密度函数定义为分布函数对所有分量的导数：10，xxnxxxxxp21现在学习的是第6页，共44页概率分布函数和密度函数之间还满足如下的积分关系：121xxxnxndxdxxpdxxpx由上式和前面的式子，还有：1dxxp现在学习的是第7页，共44页 对于事件：有：nnnnxxxxxxxxxxxx1111，：nx

3、xxrxxxxpdxxpxxxx21下面看看在某一点的小邻域的概率：现在学习的是第8页，共44页上式近似成立的条件是：要充分小，以使 的变化较小 这意味着，在 点的概率密度正比于随机向量 落在附近的小邻域内的概率。密度函数越大，这个概率越大。但 等于 的概率为0。（连续时）容许奇异时，也有可能x xpxx 0 xxrxx 现在学习的是第9页，共44页2.随机向量的联合分布和密度函数 令X和Y是随机向量，可以把前面定义的对单个随机向量的分布和密度函数的概念推广到X和Y的联合概率分布和密度函数上去。实际上，单个随机向量是它的各个分量的联合，只要再扩展到Y就行了现在学习的是第10页，共44页令 是一

4、个随机向量，是 的一个实现。则随机向量 和 的联合分布函数定义为联合事件 的概率：ymyyy1y xyyyyxx，yyxxyx，r现在学习的是第11页，共44页的联合密度函数定义为：xyyyxxmnyxyyyxxxyxp2121，和上式的一个等价关系是：dxdyyxpyxxy,现在学习的是第12页，共44页由定义，下面的等式成立：0，1，xx，yy，(a)(b)(c)(d)现在学习的是第13页，共44页 1,dxdyyxp 由（b），有下式：现在学习的是第14页，共44页（c）和（d）意味着:x和y的概率密度可以通过对x和y的联合概率密度的积分得到：以上两式得到的称为X和Y的边缘密度函数。dx

5、yxpypdyyxpxp,现在学习的是第15页，共44页联合分布的随机向量x、y的另一个重要关系是：ymxnVyyVxxxyxpyyyyxxxx121，ryy yp，yxVV和 在 附近，同时 在 附近小区域内的概率近似等于 和小区域体积的积现在学习的是第16页，共44页例1：一个两维随机向量和一个一维随机变量的联合密度函数：其它，0 10 3,2121yxxyxxypyy p yp 求事件 的概率和边缘密度：，现在学习的是第17页，共44页解：1.dxdyyxpyyyy,r 1100101032211010 021yyyyydydxydxxxy 现在学习的是第18页，共44页注意：不要忘记积

6、分区间 2.边缘密度为：其它，0 21 0 100131321212121xxxxxxydyxxxp现在学习的是第19页，共44页 其它 0 0 1001213102121yyydxdxyxxyp 在上面的计算中，要注意积分的上下限。密度函数 也可以用对分布函数 求导而得到 yp y现在学习的是第20页，共44页3.随机向量和事件的联合分布和密度函数 一个随机向量 和一个事件A的联合分布函数定义为：AArxxx，它是 的函数 xx 现在学习的是第21页，共44页联合密度函数定义为：xxnxxxxxp21AA，根据定义，下面的关系成立：xdxxpx,AA，事件 的联合概率为：Axxxxnxxxx

7、pxxxx21AAr，现在学习的是第22页，共44页如果A1，A2，AM是两两互斥的完备事件集，则边缘分布函数：M1Aiixx，边缘密度函数为：M1Aiixpxp，现在学习的是第23页，共44页三.条件概率和贝叶斯规则 1.事件的条件概率 令A、B是两个随机事件，B发生后A发生的条件概率为：BBABArrr如果 ，则称A和B是统计独立的。这时由（1）式有：ABArr（1）BABArrr现在学习的是第24页，共44页2.条件分布和密度函数 由（1）式的基本形式，可以推导出下面的几种条件分布和密度函数。下面的公式推导和无条件概率分布与密度函数相似，不再多讲。（1）以一个事件为条件的分布和密度函数

8、若A是事件 ，B是另一个事件，则 xx BBBBBBrrrr,1xxxxxx现在学习的是第25页，共44页上式两边微分，可得到密度函数(2)以随机向量为条件的一个事件的概率 令A是任一事件，B是事件 BBBr,1xpxpxxxx则 在小区域内，A发生的概率为：xpxpxxxxpxxxxpxnn2121AAAr，现在学习的是第26页，共44页(3)随机向量的条件密度函数 令A是事件 ,B是事件 则由前面的定义和公式有：xxxxyyyy nmmnxxxypyxpyyypyyxxxyxp211121，BAr现在学习的是第27页，共44页在 发生后 的条件密度定义为：yx ypyxpyxp，当A和B对

9、所有的 和 的值是独立的时，xy xpyxp,因此有：ypxpyxp，现在学习的是第28页，共44页3.贝叶斯公式 由于事件A和B的联合概率等于事件B和A的联合概率，所以由条件概率公式有：BAABBArrrr（1）上式称为Bayes公式。是概率和统计中非常重要的一个公式。通过适当定义事件A和B，贝叶斯公式可以有不同的形式。例如：现在学习的是第29页，共44页 （1）如果B是事件则贝叶斯公式的形式为：xxxx xpxpxAAArr（2）如果 是两两互斥且完备的事件组A1，A2，AM中的一个事件，则 （最优模式分类）iA（2）Mjjjiiixpxpx1AAAAArrr（3）现在学习的是第30页，共

10、44页(3)如果B是事件 ，A是 事件，则贝叶斯公式的形式为：xxxxyyyy xpypyxpxyp(4)由边缘密度的定义，还可写为下式：dyypyxpypyxpxyp(5)现在学习的是第31页，共44页上面的几种贝叶斯公式对统计模式识别都是非常重要的 如(5)式，称为先验概率，随机向量X和Y间有某种关系，在X发生后Y的密度函数是对先验概率的一种改善，称为后验概率。又如（3）式是一个最佳模式分类规则。是事件 类的先验概率，而 则是 的后验概率。iAriAriiA yp dyypyxpypyxpxypMjjjiiixpxpx1AAAAArrr现在学习的是第32页，共44页例：一个两维随机向量的密

11、度函数为：另一随机向量X，它和Y有关，其条件密度函数为：其它 0,0 1212ayyayp22222212112122exp21yxyxyxp现在学习的是第33页，共44页求联合密度 ，并计算后验密度 解：1.联合密度为：yp，yp 其它，0 0,22exp21212222221211221ayyyxyxaypyxpyxp后验概率为：其它 0 0,22exp22exp21002122222212112222221211ayydydyyxyxyxyxxypaa现在学习的是第34页，共44页注意：1.积分限要注意。2.上式没有显式解，要用数值方法求解。3.如果Y的先验密度是 222122exp21

12、yyyp21,-yy则有显式解，是一多元高斯密度 现在学习的是第35页，共44页四.数学期望 一个随机向量X的期望（或称均值）是一个常数向量M，定义为 dxxpxxEm-上式是一个向量形式，的第 个分量为：mi niiiidxdxdxxpxdxpxxEm21-现在学习的是第36页，共44页上式对所有的 ，的分量积分，有：jxij iiiidxxpxm-是边缘密度。ixp对于随机向量的积的期望，将在复习2中讨论。对于随机向量的各个分量，则和随机变量的定义一样：iiiiiiidxxpmxmxxar-22 EV现在学习的是第37页，共44页性质：1.随机向量或变量和的期望等于期望的和；2.相互独立的

13、随机变量和的方差等于方差的和 下面考虑只取离散值的随机变量。它没有概率密度函数（除非使用奇异函数）。则期望：r若 是一随机变量，它取离散值 ，1，2，M。M也可能是无穷的，iri MiiirrrrEr1Pr现在学习的是第38页，共44页 21r21r22P PVrrrrrrrrrrErarMiiiMiii方差：均值和方差是随机变量分布的重要参数。均值分布或密度的中心点，方差则表示了离中心点的分散程度。（分布和密度函数完全刻画了随机向量，而期望和方差刻画了它的主要特征。）现在学习的是第39页，共44页五.小结 这一章复习了随机事件和随机向量的概率，复习了 它们间的关系密度函数分布函数条件分布联合

14、分布统计独立、贝叶斯公式（由条件概率）、随机向量和变量的均值、方差。现在学习的是第40页，共44页 应该理解这些定义、概念，理解一些公式推导的思路、思想。理解分布函数、密度函数和事件概率间的关系。理解联合概率和条件概率间的区别。理解独立性及其对概率、分布和密度函数的影响。掌握Bayes公式的各种形式。现在学习的是第41页，共44页第二章 统计决策理论 最小错误率贝叶斯决策 最小风险贝叶斯决策 NeymanPearson决策（在限定一类错误率的条件下，使另一类错误率最小的两类决策问题）最小最大决策 序贯决策（Sequential Decision）现在学习的是第42页，共44页关于统计学的一个笑

15、话：有一个从没带过小孩的统计学家，因为妻子出门勉强答应照看三个年幼好动的孩子。妻子回家时，他交出一张纸条，写道：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，累计15次；每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿马路26次；我还要再过这样的星期六0次”。统计学真的是这样呆板吗？仅仅收集数据，整理分析，累加平均 现在学习的是第43页，共44页 统计学以数据为研究内容，但仅仅收集数据，决不构成统计学研究的全部。统计学是面对不确定情况寻求决策、制定方法的一门科学 人力、财力、时间等的限制，只有部分或少量数据，要推断所有数据的特征 不同于叙述统计，要推断统计 抽样、试验设计、估计、假设检验、回归分析.等推断方法.模式识别发展了现在学习的是第44页，共44页