线性空间和线性映射.ppt

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1、关于线性空间和线性映射现在学习的是第1页，共100页本章知识要点本章知识要点v线性空间线性空间：维数、基、坐标、基变换、坐标变换；v线性空间的分解线性空间的分解：子空间、值域(列空间)与核空间(零空间)、秩与零度、子空间的交、和与直和；v线性变换及其矩阵表示线性变换及其矩阵表示：定义、运算、值域与核空间、秩与零度、相似类、特征值与特征向量、不变子空间、Jordan标准形;v欧氏空间和酉空间欧氏空间和酉空间：内积、度量矩阵、正交、标准正交基、正交分解与正交补、正交变换与正交矩阵、对称变换与对称矩阵、Hermite变换与Hermite矩阵、正规矩阵与可对角化、谱分解。vHibert空间：空间：平方

2、可积空间和平方可和空间。现在学习的是第2页，共100页集合集合v集合集合元素、子集、集合相等、运算（交、并、补）元素、子集、集合相等、运算（交、并、补）v例：数域是一个集合含有加法例：数域是一个集合含有加法+和乘法和乘法*含有元素含有元素0，满足对任何元素，满足对任何元素a，有，有 a+0=a；含有含有1，满足对任何元素，满足对任何元素a，有，有 a*1=a；任何元素任何元素 a 存在负元素存在负元素 b，满足，满足a+b=0；非零元素非零元素a存在逆元素存在逆元素b，满足，满足a*b=1；对加法和乘法封闭对加法和乘法封闭v常用数域有：有理数域、实数域、复数域常用数域有：有理数域、实数域、复数

3、域现在学习的是第3页，共100页映射映射v映射：集合映射：集合S到集合到集合S的一个映射是指一个法则的一个映射是指一个法则(规则规则)f:S S，对，对S中任何元素中任何元素a，都有，都有S中的元素中的元素a与之对应，记为：与之对应，记为：f(a)=a 或或 aa。一般称一般称a为为a的象，的象，a为为a的原象。的原象。v变换：若变换：若S=S，则称映射为变换。，则称映射为变换。v映射的相等：设有两个映射映射的相等：设有两个映射f:S S和和 g:S S，若第任何元素，若第任何元素aS都有都有 f(a)=g(a)则称则称f与与g相等。相等。v映射的乘积映射的乘积(复合复合)：若：若 f:S1

4、S2 和和 g:S 2 S3，则映射的乘积，则映射的乘积 g f 定定义为：义为：g f(a)=g(f(a)。在不至混淆的情况下，简记在不至混淆的情况下，简记 g f 为为 gf 现在学习的是第4页，共100页映射的例子映射的例子v例子例子1：设集合：设集合S是数域是数域F上所有方阵的集合，则上所有方阵的集合，则 f(A)=det(A)为为S到到F的映射。的映射。v例例2：设：设S为次数不超过为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：的多项式构成的集合，则求导运算：(f(t)=f(t)为为S到到S的变换。的变换。v例例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：为平方可积函数构成的集合，

5、则傅里叶变换：为为S S到到S S上的一个变换。上的一个变换。dtetffFtj)()(现在学习的是第5页，共100页线性空间的定义线性空间的定义定义：设定义：设 V 是一个非空的集合，是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合是一个数域，在集合 V 中定义两种中定义两种代数运算代数运算,一种是加法运算，用一种是加法运算，用+来表示，另一种是数乘运算来表示，另一种是数乘运算,用用 来来表示表示,并且这两种运算满足下列并且这两种运算满足下列八八条运算律：条运算律：（1）加法交换律：）加法交换律：+=+（2）加法结合律：）加法结合律：(+)+=+(+)（3）零元素：）零元素：在在 V 中存在一个元素

6、中存在一个元素0，使得对于任意的，使得对于任意的V 都有都有+0=（4）对于对于V中的任意元素中的任意元素都存在一个元素都存在一个元素 使得：使得：+=0现在学习的是第6页，共100页线性空间的定义（续）线性空间的定义（续）（5）数）数1：对：对V，有：，有：1=（6）对）对k,lF,V 有：有：(kl)=k (l)（7）对）对k,lF,V 有：有：(k+l)=k +l（8）对）对kF,V 有：有：k(+)=k +k 称这样的集合称这样的集合 V 为数域为数域 F 上的线性空间。上的线性空间。可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。可以证明：零元素唯一，每个元素的负元素都是唯一的。现

7、在学习的是第7页，共100页线性空间的例子线性空间的例子例例1：全体实函数集合：全体实函数集合 RR构成实数域构成实数域 R 上的线性空间。上的线性空间。例例2：复数域：复数域 C上的全体上的全体 mn 阶 矩阵构成的集合矩阵构成的集合Cmn 为为 C 上的线性空上的线性空间。间。例例3：实数域：实数域 R 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 n 的多项式集合的多项式集合 Rxn 构构成实数域成实数域 R 上的线性空间。上的线性空间。例例4：全体正的实数：全体正的实数 R+在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空在下面的加法与数乘的定义下构成实数域上的线性空间：间：对任意对任意 k

8、R,a,bR+kaakabba数乘运算：加法运算：现在学习的是第8页，共100页 例例5 5：R R表示实数域表示实数域 R 上的全体无限序列组成的的集合上的全体无限序列组成的的集合。即。即线性空间的例子（续）线性空间的例子（续）,3,2,1,|,321iRaaaaRi则则 R 为实数域为实数域 R上的一个线性空间。上的一个线性空间。123123112233123123,a a ab b bab ab abk a a aka ka ka 在在R中定义加法与数乘：中定义加法与数乘：现在学习的是第9页，共100页例例 6 在在 中满足中满足Cauchy条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合

9、也构成子集合也构成 R上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是：使得对于使得对于 都有都有0,0,N,m nNmnaaR线性空间的例子（续）线性空间的例子（续）例例7 在在 中满足中满足Hilbert条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合构成子集合构成 R 上的线性空间。上的线性空间。Hilbert条件是：级数条件是：级数 收敛收敛R21nna现在学习的是第10页，共100页线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质u 基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩。组的

10、极大线性无关组；向量组的秩。v基本性质：基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关组并不唯一；唯一；（5）如果向量组（）如果向量组（I）可以由向量组（）可以由向量组（II）线性表出，那）线性

11、表出，那么向量组（么向量组（I）的秩小于等于向量组（）的秩小于等于向量组（II）的秩；）的秩；（6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。现在学习的是第11页，共100页例例1 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的实数为一组互不相同的实数。例例2 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一组互不相同的正整数为一组互不相同的正整数。例例3 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数

12、组也是线性无关的。也是线性无关的。12,nxxxeee12,n 12,nxxx12,n 1,cos,cos2,cosxxnx现在学习的是第12页，共100页例例4 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 RR 中，函数组中，函数组与函数组与函数组都是线性相关的函数组。都是线性相关的函数组。21,cos,cos2xx22sin,cos,sin,cos,sin,cos,4.nnxxxxxxn现在学习的是第13页，共100页线性空间的基底与维数线性空间的基底与维数u 定义：定义：设设 V 为数域为数域 F上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 V 中存在中存在 n 个线性无关的向量个线

13、性无关的向量 ，使得，使得 V 中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可以由 线性表出线性表出:则称则称 为为 V 的一个基底；的一个基底；为为向量向量 在基底在基底 下的坐标。此时我们称下的坐标。此时我们称 V 为一个为一个 n 维线性空间，记为维线性空间，记为 dimV=n。12,n 12,n 1122nnkkk12,n 12(,)Tnk kk12,n 现在学习的是第14页，共100页例例1 实数域实数域 R 上的线性空间上的线性空间 R3 中向量组中向量组与向量组与向量组 (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)基底的例子基底的例子(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0

14、)都是线性空间都是线性空间 R3 的基底，的基底，R3是是3维线性空间。维线性空间。现在学习的是第15页，共100页例例2 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。是是4维线性空间。维线性空间。1011111 1,0000101 1 2 2R01101111,11110110 2 2R2 2R基底的例子（续）基底的例子（续）现在学习的是第16页，共100页例例 3 实数域实数域 R上的不超过上的不超过n次多项式的全体次多项式的全体Pn中的向量组中的向量组 与向量组与向量组都是都是 Pn 的基底，的基底，Pn的维数为的维数为 n+1。

15、注意：注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。由维数的定义维数是唯一确定的。由维数的定义,线性空间可以分为线性空间可以分为有限维线性空有限维线性空间间和和无限维线性空间无限维线性空间。目前，我们主要讨论。目前，我们主要讨论有限维的线性空间有限维的线性空间。21,nx xx21,2,(2),(2)nxxx基底的例子（续）基底的例子（续）现在学习的是第17页，共100页例例4 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐

16、标。01101111,11110110 1011111 1,0000101 1 1234A2 2R现在学习的是第18页，共100页解：设向量解：设向量A在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为于是可得于是可得 解得解得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为123412011034111111110110 xxxx12347412,3333xxxx12341,1,1,4yyyy 1234(,)Tx x x x现在学习的是第19页，共100页设设 （旧的旧的）与）与 新的新的）是是 n 维线性空间维线性空间 V 的两组基底，它们之间的关系为的两组基底，它们之间的关系为12,n

17、 12,n 11221212,1,2,iiininiinniaaaaaina 基变换与坐标变换基变换与坐标变换现在学习的是第20页，共100页 1112121222121212,nnnnnnnnaaaaaaaaa 将上式将上式矩阵化矩阵化可以得到下面的关系式：可以得到下面的关系式：称称 n 阶方阵阶方阵111212122212nnnnnnaaaaaaPaaa是由旧的基底到新的基底的是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵过渡矩阵(可逆可逆)，那么上式可以写成，那么上式可以写成1212,nnP 现在学习的是第21页，共100页任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么

18、我们有，那么我们有V12,Tnx xx12,Tny yy1122nnxyxyPxy该式被称为该式被称为坐标变换公式坐标变换公式。nnxxx2121,nnyyy2121,nnyyyP2121,于是有：于是有：现在学习的是第22页，共100页12340110,11111111,011012341011,0000111 1,101 1与向量组与向量组例例1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组2 2R为其两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的过渡矩的过渡矩阵，并求向量阵，并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解解：容易计算出下面的矩阵表达式：容易计算出下面的矩阵表达式

19、1234A1234,1234,现在学习的是第23页，共100页1234123421103331110333,12103331211333向量向量A在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为12347412,3333xxxx利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得A在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为11122334421103331111013331211033341211333yxyxyxyx现在学习的是第24页，共100页定义定义 设设 V 为数域为数域 F上的一个上的一个 n 维线性空间，维线性空间，W为为V的的一个非空子集合，如果对于任意的一个非空子集合，如果对于任意的 以及

20、任意的以及任意的 都有都有那么我们称那么我们称 为为 的一个的一个子空间子空间。例例1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它必有，它必有两个两个平凡的子空间平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间，即由单个零向量构成的子空间 ,W,k lFklWVWV 0以及线性空间以及线性空间 本身本身.V线性空间的子空间线性空间的子空间现在学习的是第25页，共100页例例2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称其为的一个子空间，我们称其为齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组。当齐次线性方程组

21、 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。例例3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合 m nAR0AX nnR0AX 12,s nV121122,sssispankkkkF 现在学习的是第26页，共100页构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限生成子的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。的维数即为向量组的维数即为向量组 的秩，的秩，的最大无

22、关组为基底。的最大无关组为基底。例例4 实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间 中全体中全体上三角上三角矩阵集合矩阵集合，全体，全体下三角下三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体对称对称矩阵集合，全体矩阵集合，全体反对称反对称矩阵矩阵集合分别都构成集合分别都构成 的子空间，的子空间，V12,s 12,s 12,sspan n nRn nR12,s 现在学习的是第27页，共100页子空间的交与和子空间的交与和v两个子空间的交两个子空间的交:v两个子空间的和两个子空间的和:v子空间交与和的性质子空间交与和的性质若若V1和和V2都是都是V的子空间，则的子空间，则V1V2和和V1+V2也是也是V的子空间的

23、子空间.V1V2=V2V1，V1+V2=V2+V1(V1V2)V3=V1(V2V3)，(V1+V2)+V3=V1+(V2+V3)dimV1+dimV2=dim(V1+V2)+dim(V1V2)两个子空间的两个子空间的直和直和:若若V=V1+V2，且，且V1V2=，则称，则称V为为V1与与V2的的直和。直和。1212:&VVVV 1212:,VVzxy x V y V 现在学习的是第28页，共100页线性变换线性变换v定义：设定义：设V是数域是数域F上的线性空间，上的线性空间，T:V V 为为V上的映射，则称上的映射，则称T为线性空间为线性空间V上的一个变换或算子。若变换满足：对上的一个变换或算

24、子。若变换满足：对任意的任意的k,lFF和和,V V，有，有)()()(TlTklkT则称则称T为线性变换或线性算子。为线性变换或线性算子。线性变换的基本性质：线性变换的基本性质：（1）T(0)=0；（2）T(-x)=-T(x)；（3）线性相关的向量组的象任然是线性相关的。）线性相关的向量组的象任然是线性相关的。现在学习的是第29页，共100页线性变换的例子线性变换的例子v例例1：R2空间上的如下变换空间上的如下变换 为线性变换（该变换还是正交变换）。为线性变换（该变换还是正交变换）。v例例2：设：设Pn为次数不超过为次数不超过n的多项式构成的集合，则求导运算：的多项式构成的集合，则求导运算：

25、(f(t)=f(t)为为Pn到到Pn的线性变换。的线性变换。v例例3：V为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：为平方可积复函数构成的空间，则傅里叶变换：为为V上的线性变换。上的线性变换。dtetffFtj)()(2121cossinsincosxxyy现在学习的是第30页，共100页线性变换的值域和核线性变换的值域和核vV上的线性变换上的线性变换T的值域和核定义如下：的值域和核定义如下：R(T)=Tx|xVN(T)=x|Tx=0,xVv定理：线性空间定理：线性空间V的线性变换的线性变换T的值域和核都是的值域和核都是V的线性子空间，的线性子空间，分别称为分别称为T的象空间和核空间。的象空间和

26、核空间。v定义：线性变换定义：线性变换T的象空间维数的象空间维数dimR(T)称为称为T的秩，核空间维的秩，核空间维数数dim(N(T)称为称为T的亏。的亏。v可以证明，若可以证明，若V维数为维数为n，T的秩为的秩为r，则，则T的亏为的亏为n-r。例：实数域例：实数域 R上的不超过上的不超过n次多项式的全体次多项式的全体Pn中为线性空间，求中为线性空间，求导运算的象空间为导运算的象空间为Pn-1，核空间为，核空间为R。现在学习的是第31页，共100页线性变换的运算线性变换的运算v零变换零变换T0：T0 x=0v变换的加法：定义变换的加法：定义(T1+T2)x=T1x+T2xv负变换：定义负变换

27、：定义(-T)x=-(Tx)v数乘：定义数乘：定义(kT)x=k(Tx)v定理：定理：V上所有变换构成的集合在以上加法运算和数乘运算下构上所有变换构成的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。成线性空间。v单位变换单位变换Te：Tex=xv变换的乘法：定义变换的乘法：定义(T1T2)x=T1(T2x)v逆变换：若逆变换：若T为一一对应，则可定义逆变换为一一对应，则可定义逆变换T-1。v定理：定理：V上所有线性变换构成的集合在以上加法和乘法运算下构上所有线性变换构成的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环成一个环，且是非交换环(环比数域条件弱环比数域条件弱)。现在学习的是第32页

28、，共100页线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示v以下讨论均假设线性空间为以下讨论均假设线性空间为F上的有限维空间，并以上标表示维数，如上的有限维空间，并以上标表示维数，如Vn、Wm等。等。v设映射设映射T为为Vn上的线性变换，上的线性变换，为空间的基底，则为空间的基底，则 可以用该基底线性表示，即可以用该基底线性表示，即,21n,21nTTTnnnnnnnnnnaaaTaaaTaaaT22112222112212211111 写成矩阵形式写成矩阵形式nnnnnnnnaaaaaaaaaTTT2122221112112121,现在学习的是第33页，共100页v对对Vn中的任意元素中的任意元素x，

29、设，设x和和Tx的基底表示如下的基底表示如下nnxxxx2211 于是有：于是有：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaa2121222211121121,nnyyyTx2211nnTxTxTxTx2211nnxxxTTT2121,得到：得到：nnnnnnnnxxxaaaaaaaaayyy2121222211121121现在学习的是第34页，共100页v对对Vn上的线性变换上的线性变换T，在基底，在基底 下可以用矩阵来表示：下可以用矩阵来表示：,21nnnnnnnaaaaaaaaaAT212222111211v定理：设定理：设Vn上的变换上的变换T在基底在基底 下对应的矩阵为下对应的矩阵为A，

30、则，则R(T)=rank(A)N(T)=n-rank(A)（由（由AX=0立即得到）立即得到）v单位变换对应单位矩阵单位变换对应单位矩阵v零变换对应零矩阵零变换对应零矩阵v逆变换对应逆矩阵逆变换对应逆矩阵,21n现在学习的是第35页，共100页v设设Vn上的线性变换上的线性变换T在两组基底在两组基底 和和 下对应的矩阵分下对应的矩阵分别为别为A和和B，两个基底之间的过度矩阵为，两个基底之间的过度矩阵为P，即：，即：,21n 于是于是,21nATTTnn,2121BTTTnn,2121Pnn,2121PTTTTTTnn,2121APn,21APPn121,即得即得APPB1v结论：相似矩阵表示相

31、同的线性变换结论：相似矩阵表示相同的线性变换现在学习的是第36页，共100页矩阵的运算矩阵的运算v零矩阵（对应零变换）零矩阵（对应零变换）v矩阵加法（对应线性变换的加法）矩阵加法（对应线性变换的加法）v负矩阵（对应负线性变换）负矩阵（对应负线性变换）v数乘（对应线性变换的数乘）数乘（对应线性变换的数乘）v定理：所有定理：所有nm阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线阶矩阵的集合在以上加法运算和数乘运算下构成线性空间。性空间。v单位阵（对应单位变换）单位阵（对应单位变换）v矩阵的乘法（对应变换的乘法）矩阵的乘法（对应变换的乘法）v逆矩阵（对应逆变换）逆矩阵（对应逆变换）v定理：所有定理：所

32、有n阶方阵的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且阶方阵的集合在以上加法和乘法运算下构成一个环，且是非交换环是非交换环(环比数域条件弱环比数域条件弱)。现在学习的是第37页，共100页定义定义 设设T是数域是数域F上的线性空间上的线性空间V的一个线性变换，如果对于数域的一个线性变换，如果对于数域F中的某个元素中的某个元素0，存在一个非零向量，存在一个非零向量，使得，使得 那么称那么称0为为T的一个的一个特征值特征值，而，而称为称为 T 属于特征值属于特征值0的一个的一个特征特征向量向量。取定取定V的一组基底的一组基底 ，设，设T在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是A，向，向量量在这组基下的坐

33、标是在这组基下的坐标是 ，那么我们有，那么我们有线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量0T,21nTnxxxX,21XAXTnn),(),(21021即得即得XAXT00现在学习的是第38页，共100页求解特征值与特征向量求解特征值与特征向量v选定线性空间的一个基底，求线性变换选定线性空间的一个基底，求线性变换T在此基底在此基底下对应的矩阵下对应的矩阵A；v求解矩阵求解矩阵A的特征多项式的特征多项式 的所有的所有根；根；v求出矩阵求出矩阵A的每一个特征值对应的特征向量；的每一个特征值对应的特征向量；v以以A的特征向量为坐标求出对应的特征向量。的特征向量为坐标求出对应的特征向量。)

34、det()(AI 现在学习的是第39页，共100页例例1 设设V是数域是数域F上的上的3维维线性空间，线性空间，T是是V上的一个线性上的一个线性变换，变换，T在在V的一个基的一个基 下的矩阵是下的矩阵是求求T的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解解：求：求T的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向的特征值等价于求对应矩阵的特征值和特征向量。量。123,222214241A 现在学习的是第40页，共100页所以所以A的特征值是的特征值是 3(二重二重)与与-6。对于特征值对于特征值 3，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：2222214241(3)(

35、6)IA(3)0IA X210,201TT现在学习的是第41页，共100页从而从而T的属于的属于 3 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是T属于属于 3的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 k1k20。对于特征值对于特征值-6，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：1122132,2 1 12212,kkk kK(6)0IA X122T现在学习的是第42页，共100页从而从而 T 的属于的属于-6 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 T 的属于的属于-6 的全部特征向量的全部特征向量这里这里 k 为数域为数

36、域 F 中任意非零数。中任意非零数。3123223,kkK现在学习的是第43页，共100页特征值与特征向量的相关性质特征值与特征向量的相关性质v特征子空间：线性变换特征子空间：线性变换T属于特征值属于特征值0的特征向量生成的子空间，记的特征向量生成的子空间，记为为 ，其中的非零向量为特征向量。，其中的非零向量为特征向量。v属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。vTr(AB)=Tr(BA)（方阵的对角线之和称为矩阵的迹）。（方阵的对角线之和称为矩阵的迹）。v相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。相似矩阵具有相同的迹、行列式和秩。v相似矩阵有相同的特征多项式和特征

37、值。相似矩阵有相同的特征多项式和特征值。v矩阵矩阵A是其特征多项式的零点，即设是其特征多项式的零点，即设 ，则则0V)det()(AI oIcAcAcAAnnnn111)(现在学习的是第44页，共100页矩阵的相似标准形矩阵的相似标准形vn阶矩阵阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是A有有n个线性无关的特征向量；个线性无关的特征向量；v实对称矩阵的特征值都为实数，且与对角矩阵相似；实对称矩阵的特征值都为实数，且与对角矩阵相似；v任何复矩阵与一任何复矩阵与一Jordan矩阵相似；矩阵相似；nnnPPPPPPA212121,sJJJAPP211kkkkJ11现在学习的是第45

38、页，共100页矩阵可对角化的判定矩阵可对角化的判定v推论：矩阵推论：矩阵A可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是A的特征的特征值的代数重数等于几何重数。值的代数重数等于几何重数。注：特征值的代数重数是指该特征值作为特征多项式的根注：特征值的代数重数是指该特征值作为特征多项式的根的重数。的重数。几何重数是指特征子空间的维数。即对每个特征值几何重数是指特征子空间的维数。即对每个特征值k k,对对应的特征子空间为应的特征子空间为的解空间，其维数称为几何维数。的解空间，其维数称为几何维数。0XAIk)(现在学习的是第46页，共100页例例1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化

39、？解解：先求出先求出A的特征值的特征值311201112A231121112(1)(2)IA于是于是A的特征值为的特征值为1=1，2=2（代数重数（代数重数=2）。）。由于由于1=1是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑我们考虑2=2现在学习的是第47页，共100页于是于是 即特征子空间的维数为即特征子空间的维数为1，从而，从而不可以相似对角化不可以相似对角化。2111111221001110000IA 222()2,()1RIAqnRIA现在学习的是第48页，共100页定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 x 的

40、多项式的多项式那么我们称那么我们称 为为 A 的的矩阵多项式矩阵多项式。设设 A 为一个为一个 n 阶矩阵，阶矩阵，J 为其为其Jordan标准形，则标准形，则于是有于是有 1110()nnnnf xa xaxa xa1110()nnnnf Aa AaAa Aa In nAC111211122diag(,)diag(),(),()rrrAPJPPJ JJPPJJJP1110()nnnnf Aa AaAa Aa I现在学习的是第49页，共100页IaPJPaPJPaPJPannnn01111)()()(10111)(PIaJaJaJaPnnnn1)(PJPf121)(,),(),(PJfJfJf

41、Pdiagr我们称上面的表达式为我们称上面的表达式为矩阵矩阵多项式多项式f(J)的的Jordan表示。其中表示。其中1()(1,2,)1iiiiiiiddJir现在学习的是第50页，共100页111111()iiiidk dkkikikikkiiikkikid dccJc(1)1()()()(1)!()()()()iiidiiiiiiiid dfffdff Jff现在学习的是第51页，共100页例例 已知多项式已知多项式与矩阵与矩阵43()21f xxxx308316205A求求 f(A)。解：解：首先求出矩阵首先求出矩阵 A 的的Jordan标准形标准形 J 及其相似变换矩阵及其相似变换矩阵

42、P100011001J041130020P130121002102P那么有那么有现在学习的是第52页，共100页1()()3012041(1)0011300(1)(1)00202000(1)102(1)4(1)08(1)3(1)(1)6(1)2(1)0(1)4(1)f APf J Pfffffffffffff350722715418037 现在学习的是第53页，共100页定义：定义：已知已知 和关于变量和关于变量 x 的多项式的多项式如果如果 f(x)满足满足 ，那么称该多项式为矩阵，那么称该多项式为矩阵 A 的一个的一个零化多项零化多项式式。1110()nnnnf xa xaxa xan n

43、AC()n nf AO现在学习的是第54页，共100页定理：定理：已知已知 ，为其特征多项式为其特征多项式,则有则有我们称此定理为我们称此定理为Hamilton-Cayley定理定理。定义：定义：已知已知 ，在，在 A 的零化多项式中，次数最低且首项系数为的零化多项式中，次数最低且首项系数为1的零化多项式称为的零化多项式称为 A 的的最小多项式最小多项式，通常记为，通常记为最小多项式的性质：最小多项式的性质：已知已知 ，那么，那么（1）矩阵）矩阵 A 的最小多项式是唯一的。的最小多项式是唯一的。（2）矩阵的任何一个零化多项式均能被）矩阵的任何一个零化多项式均能被 整除。整除。（3）相似矩阵有相

44、同的最小多项式。）相似矩阵有相同的最小多项式。n nAC()f()n nf AO()mn nACn nAC()m现在学习的是第55页，共100页如何求一个矩阵的最小多项式如何求一个矩阵的最小多项式?首先我们考虑首先我们考虑Jordan标准形矩阵的标准形矩阵的最小多项式。最小多项式。例例1：已知一个已知一个Jordan块块11iiiiiiddJ求其最小多项式。求其最小多项式。解：解：注意到其特征多项式为注意到其特征多项式为 ,则由上面的定理可知其最小多项式则由上面的定理可知其最小多项式 一定具有如下形状，其中一定具有如下形状，其中 。但是当。但是当 时时()()idif()m()()kim1ik

45、d现在学习的是第56页，共100页ikd()()001000010000iikiiiddm JJIO现在学习的是第57页，共100页因此有因此有 .例例2：已知对角块矩阵已知对角块矩阵 ,而而 分别为子块分别为子块的最小多项式，则的最小多项式，则 的最小多项式为的最小多项式为即为即为 的最小公倍数。的最小公倍数。()()idim12=diag(,)rAA AA12(),(),()rmmm12,rA AAA12(),(),()rmmm12(),(),()rmmm例例3：求下列矩阵的最小多项式求下列矩阵的最小多项式308(1)316205A232(2)1822143B现在学习的是第58页，共100

46、页100011001J解：解：（1）首先求出其）首先求出其Jordan标准形为标准形为所以其最小多项式为所以其最小多项式为 。（2）此矩阵的）此矩阵的Jordan标准形为标准形为2(1)126(3)103114C 31000300(4)00300005D现在学习的是第59页，共100页100031003J从而其最小多项式为从而其最小多项式为 。（3）该矩阵的）该矩阵的Jordan标准形为标准形为2(1)(3)100011001J现在学习的是第60页，共100页故其最小多项式为故其最小多项式为 。（4）此矩阵本身就是一个）此矩阵本身就是一个Jordan标准形，所以标准形，所以其最小多项式其最小多

47、项式2(1)2(5)(3)现在学习的是第61页，共100页Euclid空间（欧氏空间）空间（欧氏空间）v线性空间内积的定义线性空间内积的定义：设设V是实数域是实数域R上的上的n维线性空间，对于维线性空间，对于V中的中的任意两个向量任意两个向量、,按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为与称为与与与的的内积内积，记为，记为(,)，并且要求内积满足下列运算条件：，并且要求内积满足下列运算条件：(1)(,)(,)(2)(,)(,)(3)(,)(,)(,)(4)(,)0kk 我们称带有这样内积的线性空间为我们称带有这样内积的线性空间为Euclid空间空间(欧

48、氏空间欧氏空间)。当且仅当当且仅当=0时内积为零时内积为零现在学习的是第62页，共100页例例1 在在Rn中，对于中，对于规定规定容易验证容易验证(,)是是Rn上的一个内积，从而上的一个内积，从而 Rn成为一个欧氏空间成为一个欧氏空间。如果规定。如果规定1212(,),(,)nnx xxy yy11122(,)nnx yx yx y 21122(,)2nnx yx ynx y 容易验证容易验证(,)2也是也是Rn上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Rn又成为另外又成为另外一个欧氏空间。一个欧氏空间。现在学习的是第63页，共100页例例2 在在mn维线性空间维线性空间Rmn中，规定中，规定容易

49、验证这是容易验证这是Rmn上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Rmn对于这个内对于这个内积成为一个欧氏空间。积成为一个欧氏空间。例例3 在连续函数构成的线性空间在连续函数构成的线性空间 Ca,b中，规定中，规定(,):()TA BTr AB容易验证容易验证(f,g)是是 Ca,b 上的一个内积，这样上的一个内积，这样 Ca,b对于对于这个内积成为一个欧氏空间。这个内积成为一个欧氏空间。(,):()()baf gf x g x dx现在学习的是第64页，共100页1111(1)(,)(,)(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)(4)(,)(,)ttiiiiiittiiiiiikkkkkk

50、Euclid空间的性质空间的性质现在学习的是第65页，共100页有限维线性欧氏空间有限维线性欧氏空间v设实数域上有限维线性空间设实数域上有限维线性空间V的基底为的基底为 ，设向量，设向量x与与y在在此基底下的表达式如下此基底下的表达式如下,21nnnxxxx2211nnyyyy2211 则则x与与y的内积可以表示如下的内积可以表示如下),(),(11njjjniiiyxyxninjjijiyx11),(),(jiija令现在学习的是第66页，共100页nnnnnnnnyyyaaaaaaaaaxxx2121222211121121 取取即即A为实对称矩阵，而且为实对称矩阵，而且(x,x)0表明表