无穷限反常积分课件.ppt

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1、第1页，此课件共44页哦10.210.2无界函数的无界函数的瑕积分瑕积分)第十章第十章 反反 常常 积积 分分(广义积分广义积分)第2页，此课件共44页哦 引引 例例一、无穷积分的一、无穷积分的概念概念二、无穷积分的二、无穷积分的性质性质 三三、无穷积分无穷积分与数项级数的关系与数项级数的关系四、四、无穷积分无穷积分收敛性判别法收敛性判别法第3页，此课件共44页哦 引例：引例：问题：21,1yxxx求曲线轴及直线，右边所围成的“开口曲边梯形”的面积。0 xy1b21yx即这是积分区间为即这是积分区间为1，+）的积分。）的积分。解：解：由于这个图形不是封闭的曲边梯形由于这个图形不是封闭的曲边梯形

2、,而而在在x轴的正方轴的正方 向是开口的，向是开口的，第4页，此课件共44页哦b1211111xbdxxb 显然当显然当b改变时，改变时，曲边梯形的面积也随之改变，曲边梯形的面积也随之改变，b121111limlim=lim(1)1xbbbbdxxb即则所求曲边梯形的面积为则所求曲边梯形的面积为1.1.b 故时，1,bA 故则曲边梯形 的面积为第5页，此课件共44页哦一、无穷积分的概念一、无穷积分的概念.定义定义:设函数 f(x)在区间a,+)上连续,任取b a,如果极限存在,则称此极限为函数 f(x)在无穷区间a,+)上的广义广义积分积分,记作 即,)(adxxfbabadxxfdxxf)(

3、lim)(1)bablimfxdx（）第6页，此课件共44页哦这时记号 不再表示数值了。adxxf)(adxxf)(例如：bbdxxdxx020211lim11bbx0arctanlimbbarctanlim2oyxb211xy1这时也称广义积分 收敛;若上述极限不存在,就称广义积分 发散,adxxf)(第7页，此课件共44页哦 类似地,设函数 f(x)在区间(,b上连续,取a 1时，1(),)1ppf xxax当且时，();()aaf x dxf x dx绝对收敛收敛 即dx+af(x)从某值起保持定号,f(x)发散.第29页，此课件共44页哦()limli.m()1pxxpf xxf xl

4、x若,),faa A设 定义在，且在任何有限区间上可积，,(0)();alif x dx 则当时，p1收敛()(),0.1apliif x dx 当时发散，4.极限形式极限形式:第30页，此课件共44页哦例例4：.1sin12的收敛性判定dxxxx解解：，因为23211sinxxxx21sin.1xdxxx所以积分绝对收敛参考函数参考函数第31页，此课件共44页哦例例5：.1的收敛性判断dxexx解解：因为对于 固定的，由柯西判别法的极限形式知，+22x+xlimlim=0exxxxx e（），该积分收敛.第32页，此课件共44页哦解解：加加.讨论讨论 的收敛性，的收敛性，20sin1xdxx

5、22sin1,0,)11xxxx由 于20112dxx且收 敛，根据比较判别法根据比较判别法.绝 对 收 敛20sin1xdxx第33页，此课件共44页哦例例6：.ln2的敛散性讨论积分xxdx1limlnpxxxx;,110积分收敛时即及上述极限值为p11,;p上述极限值为+及即时 积分发散.|lnlnln,122积分发散时xxxdx解解：故故.1,1时发散当时收敛该积分当1limlnpxxx0,pp由柯西判别法极限形式第34页，此课件共44页哦第二中值定理第二中值定理（作用相当于级数中的阿贝尔变换）（作用相当于级数中的阿贝尔变换）fxab设（）在，上可积，gxab（）在，上单调，ab则在，

6、上存在，使得bbaafxgxdx=gafxdx+gbfxdx（）（）（）（）（）（）+afxgxdx关于形如（）（）的无穷积分敛散性有阿贝尔判别法有阿贝尔判别法判判别法与别法与狄利克雷判别法狄利克雷判别法两种判别法证明需要用如下中值定理两种判别法证明需要用如下中值定理第35页，此课件共44页哦特别地特别地gxga0若（）单调增加，且（），bbafxgxdx=gbfxdx（）（）（）（）有；则，使gxgb0若（）单调减少，且（），baafxgxdx=gafxdx.（）（）（）（）则有，使利用第二中值定理可以证明利用第二中值定理可以证明A-判别法和判别法和D-判别法判别法第36页，此课件共44页哦

7、*.阿贝尔判别法阿贝尔判别法f xa 若（）在，上可积，.收敛）（）（则积分dxxgxfa了解内容了解内容g x（）单调有界，第37页，此课件共44页哦例例8：证明：证明：+1sinx arctanxdx01x证明：积分（）收敛.+1sinxdxx收敛，arctanx1+在，单调有界，由由A-判别法知，所讨论级数收敛判别法知，所讨论级数收敛.第38页，此课件共44页哦*.狄利克雷判别法狄利克雷判别法了解内容了解内容(),)g xa 在上，0 x 当时单调趋于，()()af x g x dx则收敛.,)a 在上有界：()()AaF xf x dx若afxdxAK即（），第39页，此课件共44页哦

8、例例7：+1sinxdx.x证明：积分收敛，但非绝对收敛证明：证明：1sinxdx=cos-cos12AA，10 x+x又（）且单调，+1sinx-dx.xD由判别法知收敛先证明此积分收敛先证明此积分收敛第40页，此课件共44页哦2sinxsin x=1cos2x-xx2x2x，+1cos2xx.dx-2D由判别知收敛法11cos2xdx=sin2-sin212AA（，10 x+2x 又（单调）+1dx2x由于发散，+1sinxdx.x发散再证明此积分收敛非绝对收敛再证明此积分收敛非绝对收敛第41页，此课件共44页哦例例9：证明：证明：+2200sinx dxcosx dx.证明：积分和都收敛+220sinx dxt=x对积分作代换，+2001sintsinx dx=dt2t，00sintdt2AA，110+0 t+tt 且在，内单调，（），+0sint-dttD由判别法，得收敛，+20sinx dx.也收敛第42页，此课件共44页哦+20cosx dx同样可得收敛.+0+fxdxlimfx=0.x 若（）收敛，未必有（）作业：作业：p 64.2（单）（单）8（双）（双）此例同时表明一个重要事实：第43页，此课件共44页哦感谢大家观看感谢大家观看第44页，此课件共44页哦