概率论二维连续型随机变量.ppt

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1、概率论二维连续型随机变量现在学习的是第1页，共20页n引例引例 如图如图,向面积为向面积为S S的区域的区域G G内随机投掷一内随机投掷一根大头针根大头针,设大头针落在设大头针落在G G内任意区域内任意区域D D的概率的概率与这个区域与这个区域D D的面积的面积成正比成正比，试求其落点坐标，试求其落点坐标(X,Y)(X,Y)在面积为在面积为S SD D的区域的区域D D内的概率内的概率.n解解:依题意，可得依题意，可得(,),(,)1DPX YDkSPX YGkS11,kSkS即即(,)DSPX YDS一、二维连续型随机变量一、二维连续型随机变量现在学习的是第2页，共20页n根据二重积分性质可

2、知根据二重积分性质可知:n若取若取n则对任意区域则对任意区域D D有有11(,)SDDDSPX YDdxdydxdySS1(,)(,)0 x yGf x yS其其它它(,)(,)DPX YDf x y dxdy因此，可以用函数因此，可以用函数 f(x,y)描述描述(X,Y)(X,Y)的概率分布。的概率分布。现在学习的是第3页，共20页n 设设(X,Y)(X,Y)是二维随机变量是二维随机变量,如果存在非负如果存在非负二元函数二元函数 f(x,y),使得对于平面上的任意区使得对于平面上的任意区域域D,D,都有都有n则称则称(X,Y)(X,Y)为二维连续型随机变量；为二维连续型随机变量；n函数函数

3、f(x,y)称为称为(X,Y)(X,Y)的联合概率密度；的联合概率密度；n并且记为并且记为(,)(,)DPX YDf x y dxdy(,)(,)X Yf x y现在学习的是第4页，共20页定义定义6 有有，使使得得对对任任意意非非负负可可积积的的二二元元函函数数如如果果存存在在）的的分分布布函函数数为为设设（yxyxfyxFYX,),(),(,(,)(,)(,).X Yf x yX Y则则称称为为二二维维连连续续型型随随机机变变量量，称称为为的的（简简称称联联合合概概率率密密度度概概密密度度）率率(,)(,)yxF x yf u v dudv 现在学习的是第5页，共20页(,)0;f x y

4、 性性质质1 1(,)1;f x y dxdy 性性质质2 2(,4)DxOyX YD设设是是平平面面上上的的区区域域，的的取取值值 性性质质 落落入入内内的的概概率率为为 DdxdyyxfDYXP),(),(3(,)(,)f x yx y性性质质若若在在点点处处连连续续，则则有有).,(),(2yxfyxyxF 注意与一维的比较!现在学习的是第6页，共20页(,)2X Y例例设设4 4-二二维维随随机机变变量量的的密密度度函函数数为为(1)(,)1,f x y dxdy 解解：由由性性质质可可得得 1010kxydydx,01,01,(,)0,kxyxyf x y 其其它它.1)3(;)2(

5、;)1(YXPYXPk常常数数求求 100122dxykx 102dxkx4k 1.4 k现在学习的是第7页，共20页)2(YXP xy 1xy 10dx xxydy0421 1)3(YXP 10dx xxydy10412112()2346 1202(1)xxdx 1210042xyxdx 12302(2)xxxdx 现在学习的是第8页，共20页边边缘缘分分布布函函数数)(xXPxFX ,YxXP(,)xduf u v dv (,)xf u v dv du 其密度函数为其密度函数为是连续型随机变量，且是连续型随机变量，且X()()(,)(,)XXfxFxfv dvfy dyxx Y同同理理，也

6、也是是连连续续型型随随机机变变量量，且且其其密密度度函函数数为为()(,)Yfyf xdyx ()(,);()(,).XYfxX YYYyXXf关关于于 的的边边缘缘概概率率密密度度关关于于 的的边边缘缘概概称称为为率率密密度度为为二、边缘概率密度二、边缘概率密度现在学习的是第9页，共20页(,)X Y设设二二维维随随机机变变量量的的密密例例度度函函数数为为(1)(,)1f x y dxdy 解解：由由得得(2),01,0,(,)0,cyxxyxf x y 其其它它.)2(;)1(两个边缘密度两个边缘密度常数常数求求c 1022)2(dxxxc245c 1.524 cxy 10dx xdyxc

7、y0)2(13402234cxx 现在学习的是第10页，共20页 其它其它010)()2(xxfX dyyxfxfX),()(其它其它,0,0,10,5)2(24),(xyxxyyxf xdyxy0)2(524 其其它它010)2(5122xxx现在学习的是第11页，共20页 其它其它010)(yyfY dxyxfyfY),()(其它其它,0,0,10,5)2(24),(xyxxyyxf 1)2(524ydxxy 10)2223(5242yyyy其它其它0现在学习的是第12页，共20页(,)X Y设设二二维维随随机机变变量量的的练练习习密密度度函函数数为为 其它其它,0,6),(2xyxyxf

8、).(,)(yfxfYX求边缘概率密度求边缘概率密度2xy xy dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(其它其它010)(62xxx 其它其它010)(6yyy现在学习的是第13页，共20页三、常用二维连续型随机变量三、常用二维连续型随机变量二维均匀分布二维均匀分布.1率率密密度度）具具有有概概若若二二维维随随机机变变量量（的的区区域域，是是平平面面上上面面积积为为设设YXAG,其它其它0),(1),(GyxAyxf上上服服从从二二维维均均匀匀分分布布。）在在则则称称（GYX,GA1xyzO现在学习的是第14页，共20页都都有有任任一一平平面面区区域域则则对对于于上上服服从从二二

9、维维均均匀匀分分布布，）在在若若（,DGYX DdxdyyxfDYXP),(),(GDdxdyA1AAGD 的的公公共共部部分分的的面面积积。与与是是其其中中，GDAGD 现在学习的是第15页，共20页22)3(,1X Yxy 设设服服从从平平面面圆圆域域上上例例的的均均匀匀分分布布，其其它它解解：011),()1(22yxyxf.)3()2(;),)(1(YXPYX 两个边缘密度；两个边缘密度；的概率密度的概率密度求求 dyyxfxfX),()(其其它它011x1 1 22111xxdy 现在学习的是第16页，共20页)(xfX 其其它它011122xx)(yfY同理同理 其其它它01112

10、2yy 则则设设,),()3(yxyxD ),(DYXPYXP AAGD 2 21 1 1现在学习的是第17页，共20页二维正态分布二维正态分布.2的的密密度度函函数数为为若若随随机机变变量量),(YX 221121),(yxf)()(2)()1(2122222112112 yyxxe态态分分布布，记记作作的的二二维维正正服服从从参参数数为为则则称称，均均为为常常数数，且且式式中中，,),(,100,2121212121YX ).,(),(222121 NYX现在学习的是第18页，共20页的的，即即边边缘缘概概率率密密度度仍仍是是正正态态布布的的两两个个可可以以证证明明，二二维维正正态态分分的联合分布的。的联合分布的。机变量机变量一般是不能确定二维随一般是不能确定二维随的边缘分布，的边缘分布，和和关于关于注：上述结果表明，由注：上述结果表明，由),(YXYX)(e21)(21212)(1 xxfxX )(e21)(22222)(2 yyfyY 现在学习的是第19页，共20页作业作业nP7980：2，5现在学习的是第20页，共20页