方向导数与梯度课件.ppt

《方向导数与梯度课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《方向导数与梯度课件.ppt（34页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、关于方向导数与梯度第1页，此课件共34页哦一、方向导数的定义 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题),(yxfz 引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),().(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 oyxlP xyP第2页，此课件共34页哦|PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且,z 考虑考虑当 沿着 趋于 时，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf 是否存在？的的方方向向导导数数沿沿方方向向则则称称这这极极

2、限限为为函函数数在在点点在在，时时，如如果果此此比比的的极极限限存存趋趋于于沿沿着着当当之之比比值值，两两点点间间的的距距离离与与函函数数的的增增量量定定义义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),(第3页，此课件共34页哦记为.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点P沿沿着着x轴轴正正向向0,11 e、y轴轴正正向向1,02 e的的方方向向导导数数分分别别为为yxff,；沿着沿着x轴负向、轴负向、y轴负向的方向导数是轴负向的方向导数是 yxff ,.方向导数的几何意义 ),(),(lim),(0000000yxfyyxxfly

3、xfx 第4页，此课件共34页哦 yyyxxx 00过直线 作平行于 z 轴的平面 与曲面 z=f(x,y)所交的曲线记为 C C上上考考察察在在 对对应应的的方方向向与与lPP0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示C 的割线向量 的的交交角角的的正正切切值值与与lPP0即的的斜斜率率关关于于lPP0时时当当0),(),(0000yxyyxx 即割线转化为切线第5页，此课件共34页哦上式极限存在就意味着当点),(00yyxx ),(00yx趋于点 曲线C在点 P0 有唯一的切线它关于 方向的斜率l就是方向导数),(00yxlf LCM0TP0PMl第6页，此课件共34页哦证明由于函数可

4、微，则增量可表示为)(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 两边同除以,得到第7页，此课件共34页哦 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向导数 lf ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf cossin例例 1 1 求求函函数数yxez2 在在点点)0,1(P处处沿沿从从点点 )0,1(P到到点点)1,2(Q的的方方向向的的方方向向导导数数.第8页，此课件共34页哦解这这里里方方向向l即即为为1,1 PQ,;1)0,1(2)0,1(yexz,22)0,1(2)0,1(yxeyz所所求求方方向向导导数数 lz)4sin(2)4cos(.22 第9

5、页，此课件共34页哦解由方向导数的计算公式知 sin)1,1(cos)1,1()1,1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1,1()1,1(xyyx sincos),4sin(2 故（1）当当4 时时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2;（3）当当43 和和47 时时，方向导数等于方向导数等于 0.第10页，此课件共34页哦推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxP沿着方向沿着方向 L的方向导数的方向导数，可定义，可定义为为,),(),(lim0 z

6、yxfzzyyxxflf （其中其中222)()()(zyx ）设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z 同同理理：当当函函数数在在此此点点可可微微时时，那那末末函函数数在在该该点点沿沿任任意意方方向向 L 的的方方向向导导数数都都存存在在，且且有有.coscoscos zfyfxflf 第11页，此课件共34页哦解令,632),(222 zyxzyxF,44 PPxxF,66 PPyyF,22 PPzzF故 zyxFFFn ,2,6,4,142264222 n方向余弦为,142cos ,143cos .141cos 第12页，此课件共34页哦PPyxzxx

7、u22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 故PPzuyuxunu)coscoscos(.711 第13页，此课件共34页哦二、梯度的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P定定义义 设设函函数数),(yxfz 在在平平面面区区域域 D 内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，则则对对于于每每一一点点DyxP),(，都都可可定定出出一一个个向向量量jyfixf ，这这向向量量称称为为函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP的的梯梯度度，记记为为 ),(yxgradfjyfixf .设设jie s

8、incos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量，由由方方向向导导数数公公式式知知第14页，此课件共34页哦sin,cos,yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos|),(|yxgradf 其其中中),(,eyxgradf 当当1),(cos(eyxgradf时时，lf 有最大值有最大值.函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22|),(|yfxfyxgradf.gradfgradf P第1

9、5页，此课件共34页哦当当xf 不不为为零零时时，x轴轴到到梯梯度度的的转转角角的的正正切切为为xfyf tan),(yxfz 在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得cz ,),(czyxfz所得曲线在xoy面上投影如图oyx1),(cyxf2),(cyxfPcyxf),(),(yxgradf梯度为等高线上的法向量等高线第16页，此课件共34页哦等高线的画法第17页，此课件共34页哦例如,图图形形及及其其等等高高线线图图形形函函数数xyzsin 第18页，此课件共34页哦等高线图举例等高线图举例-2-1012-2-101200.511.52-2-1012-2-1012-2-101222122

10、)2(yxeyxz-2-1012-2-1012这是利用数学软件Mathematica 绘制的曲面及其等高线图,带阴影的等高线图中,亮度越大对应曲面上点的位置越高等高线图带阴影的等高线图第19页，此课件共34页哦梯度与等高线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),(第20页，此课件共34页哦此时 f(x

11、,y)沿该法线方向的方向导数为2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故应从数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。第21页，此课件共34页哦梯度的概念可以推广到三元函数 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最

12、大值.第22页，此课件共34页哦类似地类似地,设曲面设曲面czyxf),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.第23页，此课件共34页哦例例 4 4 求求函函数数 yxzyxu2332222 在在点点)2,1,1(处处的的梯梯度度，并并问问在在 哪哪些些

13、点点处处梯梯度度为为零零？解由梯度计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故.1225)2,1,1(kjigradu 在在)0,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.第24页，此课件共34页哦例5 求函数)(12222byaxz 沿曲线12222 byax在点)2,2(ba处的内法线方向的方向导数解一用方向导数计算公式 即要求出从 x 轴正向沿逆时针转到内法线方向的转角在12222 byax两边对x 求导02222 dxdybyax第25页，此课件共34页哦解得yaxbdxdy22 abdxdyM 0（切线斜率）故法线斜率为ba tan内法线方向

14、的方向余弦为22cosbab 22cosbaa 而由)(12222byaxz 得222,2byyzaxxz byzaxzMM2,200 第26页，此课件共34页哦 coscosyzxzlz )(2()(22222baabbaba )(2122baab 解二用梯度梯度是这样一个向量，其方向与取得最大方向导数的方向一致，它的模等于方向导数的最大值,即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度来看，f(x,y)在点 P 的梯度 第27页，此课件共34页哦方向与过点P 的等高线 f(x,y)=C 在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线)(1),(2222byaxyxf

15、z 等高线为f(x,y)=C 即Cbyax 12222212111CCCC 若若椭圆122221Cbyax 222221Cbyax 大于椭圆因此12222 byax在点)2,2(ba处的内法线恰好是梯度方向第28页，此课件共34页哦故22)()(|yzxzgradzlz Pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 方向导数存在偏导数存在 可微第29页，此课件共34页哦三、小结1、方向导数的概念（注意方向导数与一般所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系.),(最最快快的的方方向向在在这这点点增增长长梯梯度度的的方方向向

16、就就是是函函数数yxf思考题讨论函数讨论函数22),(yxyxfz 在在)0,0(点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？第30页，此课件共34页哦思考题解答xfxfxzx )0,0()0,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0(yz yyy|lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数,)0,0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.第31页，此课件共34页哦

17、练 习 题一、一、填空题填空题:1 1、函数函数22yxz 在点在点)2,1(处沿从点处沿从点)2,1(到点到点 )32,2(的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 ,则则)0,0,0(gradf_._.3 3、已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、称向量场称向量场a为有势场为有势场,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.第32页，此课件共34页哦三三、设设vu,都都是是zyx,的的函函数数,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连续续,证证明明:ugradvvgraduuvgrad )(四四、求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模?二二、求求函函数数)(12222byaxz 在在点点)2,2(ba处处沿沿曲曲线线 12222 byax在在这这点点的的内内法法线线方方向向的的方方向向导导数数.第33页，此课件共34页哦感谢大家观看第34页，此课件共34页哦