第4章随机变量的数字特征1课件.ppt

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1、第4章随机变量的数字特征1第1页，此课件共62页哦第四章 随机变量的数字特征第1讲第2页，此课件共62页哦分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性.但在一些实但在一些实际问题中际问题中,不需要去全面考虑随机变量的变化情况不需要去全面考虑随机变量的变化情况,而只需知道而只需知道随机变量的随机变量的某些特征某些特征,因而并不需要求出它的分布函数因而并不需要求出它的分布函数.例如例如,在评定某一地区的粮食产量的水平时在评定某一地区的粮食产量的水平时,在许多场合只要知在许多场合只要知道该地区的道该地区的平均产量平均产量;又如在研究水稻品种优劣时又如在研究水稻品种

2、优劣时,时常是关心时常是关心稻穗的稻穗的平均稻谷粒数平均稻谷粒数;再如检查一批棉花的质量时再如检查一批棉花的质量时,即需要注即需要注意纤维的意纤维的平均长度平均长度,又需要注意纤维长度与平均长度的又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程偏离程度度.因此因此,与随机变量的与随机变量的有关数值有关数值,能够描述随机变量的能够描述随机变量的重要特重要特征征.第3页，此课件共62页哦 位置参数位置参数:期望、中位数、期望、中位数、众数众数 刻度参数刻度参数:方差、标准方差、协方差方差、标准方差、协方差 用一个数字来表示随机变量取值规律的一个用一个数字来表示随机变量取值规律的一个 数字特征数字特征.第4页，

3、此课件共62页哦1 数学期望第5页，此课件共62页哦例例.一射手进行打靶练习一射手进行打靶练习,规定射入区域规定射入区域e2得得2分分,射入射入区域区域e1得得1分分,脱靶脱靶,即射入区域即射入区域e0,得得0分分.射手一次射射手一次射击得分数击得分数X是一个随机变量是一个随机变量.e0e1e2第6页，此课件共62页哦设设X的分布律为的分布律为 PX=k=pk,k=0,1,2.现在射击现在射击N次次,N是一个很大的数是一个很大的数,也可能是一百也可能是一百,也可能是一万也可能是一万,等等等等.其中得其中得0分的有分的有a0次次,得得1分的有分的有a1次次,得得2分的有分的有a2次次,射击次射击

4、次数有数有：a0+a1+a2=N.射击这射击这N次得分总和为次得分总和为：a0 0+a1 1+a2 2.于是于是平均一次射击的得平均一次射击的得分数为分数为.21020210kkNakNaaae0e1e2第7页，此课件共62页哦这里这里,ak/N是事件是事件X=k的频率的频率.当当N很大时很大时,ak/N将近似为事件将近似为事件X=k的概率的概率pk.就是说就是说,./,202020均值均值或或数学期望数学期望的的为随机变量为随机变量我们称我们称近似等于近似等于术平均术平均的观察值的算的观察值的算随机变量随机变量在试验次数很大时在试验次数很大时XkpkpNkaXkkkkkk .21020210

5、kkNakNaaa第8页，此课件共62页哦定义定义 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为 PX=xk=pkk=1,2,.若级数若级数:1kkkpx绝对收敛绝对收敛,则称此则称此级数的和级数的和为随机变量为随机变量X的的数学期望数学期望,记为记为E(X),或者或者EX (Expectaction).即即)1.1()(1kkkpxXE第9页，此课件共62页哦设设连续型随机变量连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为f(x),若积分若积分 xxxfd)()2.1(d)()(xxxfXE绝对收敛绝对收敛,则称此则称此积分的值积分的值为随机变量为随机变量X的数学期望的数学期望,记为记为

6、E(X),或者或者EX.即即数学期望简称数学期望简称期望期望,又称为又称为均值均值.1kkkpx第10页，此课件共62页哦)1.1()(1 kkkpxXE)2.1(d)()(xxxfXE第11页，此课件共62页哦例例1 甲乙二人打靶甲乙二人打靶,所得分数分别记为所得分数分别记为X1,X2,它们的分布律分别它们的分布律分别为为试评定他们成绩的好坏试评定他们成绩的好坏.解解 计算计算X1,X2的数学期望为的数学期望为E(X1)=0 0+1 0.2+2 0.8=1.8(分分)E(X2)=0 0.6+1 0.3+2 0.1=0.5(分分)很明显乙的成绩远不如甲的成绩很明显乙的成绩远不如甲的成绩.X10

7、12pk00.20.8X2012pk0.60.30.1)1.1()(1 kkkpxXE第12页，此课件共62页哦例例2 有有2个个相互独立相互独立工作的电子装置工作的电子装置,它们的寿命它们的寿命Xk(k=1,2)服从服从同同一一指数分布指数分布,其概率密度为其概率密度为 ,0,0.0,0,e1)(/xxxfx 若将这若将这2个电子装置个电子装置串联联接组成整机串联联接组成整机,求整机寿命求整机寿命(以小时以小时计计)N的数学期望的数学期望.()()dE Xxf xx Fmin(z)=1-1-FX(z)n第13页，此课件共62页哦解解 Xk(k=1,2)的分布函数为的分布函数为 .0,0,0,

8、e1)(/xxxFx 0,00,e1)(1 1)(/22minxxxFxFx 由第三章由第三章5(5.8)式式 Z=min(X1,X2)的分布函数为的分布函数为Fmin(z)=1-1-FX(z)n xttfxFd)()(第14页，此课件共62页哦因而因而N的概率密度为的概率密度为 .0,00,e2)(/2minxxxfx 2/min02()()ded.2xxE Nxfxxx 于是于是 N的数学期望为的数学期望为第15页，此课件共62页哦例例3 按规定按规定,某车站每天某车站每天 8:009:00,9:0010:00 都恰有一辆都恰有一辆客车到站客车到站,但到站的时刻是但到站的时刻是随机的随机的

9、,且两者到站的时间且两者到站的时间相互相互独立独立,其规律为其规律为到站时刻8:109:108:309:308:509:50概率1/63/62/6一旅客一旅客8:20到车站到车站,求他候车时间的数学期望求他候车时间的数学期望.)1.1()(1 kkkpxXE第16页，此课件共62页哦解解 设旅客的候车时间为设旅客的候车时间为X(以分计以分计),X的分布律为的分布律为62616361616162639070503010 kpX.6361)()()(70 BPAPABPXP在上表中在上表中,例如例如 其中其中A为事件为事件“第一班车在第一班车在8:10到站到站”,B为为“第二班车在第二班车在 9:

10、30到站到站.6310 XP第17页，此课件共62页哦候车时间的数学期望为候车时间的数学期望为)(22.2736290363703615062306310)(分分 XE62616361616162639070503010 kpX第18页，此课件共62页哦例例4 某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式某商店对某种家用电器的销售采用先使用后付款的方式,记使记使用寿命为用寿命为X(以年计以年计),规定规定:X 1,一台付款一台付款1500元元;1X 2,一台付款一台付款2000元元;23,一台付款一台付款3000元元.设寿命设寿命X服从指数分布服从指数分布,概率密度为概率密度为 .,e)(

11、/x xx xx xf fx x试求该商店一台试求该商店一台收费收费Y的数学期望的数学期望.k kk kk kp py yy yE E)(Y1500200025003000pk第19页，此课件共62页哦解解 先求出寿命先求出寿命X落在各个时间区间的概率落在各个时间区间的概率,.7408.0ede1013.0779.0eede101320861.0eede10121,0952.0e1de10113.0310/3.02.03210/2.01.02110/1.01010/xXPxXPxXPxXPxxxx x xx xf fx x,e)(/第20页，此课件共62页哦一台收费一台收费Y的分布律为的分布律

12、为Y1500200025003000pk0.0952 0.0861 0.0779 0.7408得得 E(Y)=2732.15即平均一台收费即平均一台收费2732.15元元.1)(kkkpxXE第21页，此课件共62页哦例例5 在一群体中普查某种疾病在一群体中普查某种疾病,为此要抽检为此要抽检N个人的血个人的血,可以用两可以用两种方法进行种方法进行.(1)将每个人的血分别去验将每个人的血分别去验,这就需要验这就需要验N次次.(2)按按k个人一组个人一组进行分组进行分组,把从把从k个人抽来的血混合在一起进行个人抽来的血混合在一起进行检验检验,如果这混合血液呈阴性反应如果这混合血液呈阴性反应,就说明

13、就说明k个人的血都呈阴性反个人的血都呈阴性反应应,这样这样k个人的血就只需要验个人的血就只需要验1次次.若呈阳性若呈阳性,则再对这则再对这k个人的个人的血液分别进行化验血液分别进行化验.这样这样,k个人的血总共要化验个人的血总共要化验k+1次次.假设每假设每个人化验呈阳性的概率为个人化验呈阳性的概率为p,且这些人的试验的反应是相互独立的且这些人的试验的反应是相互独立的.试说明当试说明当p较小时较小时,取适当的取适当的k按第二种方法按第二种方法可减少化验的次数可减少化验的次数,并说明并说明k取取什么值时最适宜什么值时最适宜.1)(kkkpxXE第22页，此课件共62页哦解解 各人的血呈阴性反应的

14、概率为各人的血呈阴性反应的概率为q=1 p.因而因而k个人的混合个人的混合血呈阴性反应的概率为血呈阴性反应的概率为qk,以及呈阳性反应的概率为以及呈阳性反应的概率为1 qk.设设以以k个人为一组时个人为一组时,组内每人平均化验次数为组内每人平均化验次数为X,则则X是一随机是一随机变量变量,其分布律为：其分布律为：kkkqqpkkkX111 1)(kkkpxXE方法二方法二第23页，此课件共62页哦X的数学期望为的数学期望为kqqkqkXEkkk11)1(111)(11kNqk N个人平均需化验的次数为个人平均需化验的次数为由此可知由此可知,只要选择只要选择k使使111 kqk则则N个人平均需化

15、验的次数个人平均需化验的次数0,常常数数),求求W的数学期望的数学期望.解解 由由(1.4)式有式有第34页，此课件共62页哦例例9 设随机变量设随机变量(X,Y)的概率密度的概率密度.1),(.,0.1,1,23),(23 XYEYExxyxyxyxf求数学期望求数学期望其它其它 yxyxfyxgZEdd),(),()(第35页，此课件共62页哦解 由(1.5)式得.43d123ln231dln23dlndln123dd1123dd23dd),()(13121213113113113 xxxxxxxxxxyxxyyxxyyxxyyxyfYExxxxxx yxyxfyxgZEdd),(),()

16、(11 xxyx第36页，此课件共62页哦解 由(1.5)式得.53d23ddd),(111341 xxyyxxxyyxfxyXYE第37页，此课件共62页哦例例10 某公司计划开发一种新产品某公司计划开发一种新产品,并要确定产品的产量并要确定产品的产量.评估出售评估出售一件产品可获利一件产品可获利m元元,而积压一件产品导致而积压一件产品导致n元损失元损失.预测预测销售量销售量 Y(件件)服从指数分布服从指数分布,其概率密度为其概率密度为,0.0,0,0,e1)(/yyyfyY问若要问若要获得利润获得利润的数学期望最大的数学期望最大,应应生产多少件产品生产多少件产品 (m,n,均为已知均为已知

17、)?第38页，此课件共62页哦解解 设生产设生产x件件,则获利则获利Q是是x的函数的函数:.,),()(xYmxxYYxnmYxQQ若若.e)()(de1de1)(d)()(/0/0nxnmnmymxyyxnmyyyQfQExxyxyY Q是随机变量是随机变量,是是Y的函数的函数,由(1.5)式得其数学期望为其数学期望为第39页，此课件共62页哦.,)(ln,0e)()(dd.ln,0e)()(dd.e)()()(/22/知这也是最大值知这也是最大值且可且可取极大值取极大值时时故知当故知当而而得得令令QEnmnxnmQExnmnxnnmQExnxnmnmQExxx 第40页，此课件共62页哦)

18、.(2231.4.223120005002000ln10000,2000,500,0,0,0,e100001)(,.ln100001件件取取则则元元元元且有且有若若例如例如 xxnmyyyfnmnxyY 第41页，此课件共62页哦42).()(k kk kk kp px xX XE E)2.1(d)()(xxxfXE).()()(k kk kk kp px xg gY YE E)4.1(d)()()(xxfxgYE).(dd),(),()(y yx xy yx xf fy yx xg gZ ZE E).(),()(j ji ii ij jj ji ip py yx xg gZ ZE E第42页

19、，此课件共62页哦数学期望的几个重要性质数学期望的几个重要性质:(假设所提随机变量的数学期望存在假设所提随机变量的数学期望存在)(1)设设C是常数是常数,则则 E(C)=C.(2)设设X是一个随机变量是一个随机变量,C是常数是常数,则有则有E(CX)=CE(X).(3)设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,则有则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).此性质可推广到此性质可推广到任意有限任意有限个随机变量之和个随机变量之和.*(4)设设X,Y是相互独立是相互独立的随机变量的随机变量,则有则有E(XY)=E(X)E(Y).此性质可推广到此性质可推广到任意有限任意有限个相互独立的随机变量个相互独立的

20、随机变量.注意注意:反之不成立反之不成立!*所有性质都可用式子所有性质都可用式子(1.3)(1.6)证证.第43页，此课件共62页哦 nkkknkkkXEaXaEXE11)()(性质性质3 可推广到可推广到任意有限多个任意有限多个的随机变量的随机变量 nkknkkXEXEXE11)()(性质性质2,3 可推出数学期望可推出数学期望具有线性性具有线性性第44页，此课件共62页哦数学期望的几个重要性质数学期望的几个重要性质:(5)设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,且恒有且恒有 X Y 则有则有 E(X)E(Y).可推导出：设可推导出：设X为一为一非负非负的随机变量的随机变量,则有则有 E(X

21、)0.即：非负的随机变量即：非负的随机变量,其数学期望也一定是非负的其数学期望也一定是非负的.第45页，此课件共62页哦例例11 一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机场开出位旅客自机场开出,旅客有旅客有10个车站可以个车站可以下车下车.如到达一个车站没有旅客下车就不停车如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以以X表示停车的次数表示停车的次数,求求E(X)(设每位旅客在各个车站下车是等可能的设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是并设各旅客是否下车相互独立否下车相互独立).解解 引入随机变量引入随机变量.10,2,1.,1,0 iiiXi站站有有人人下下车车在在第第站站没没有有人

22、人下下车车在在第第易知易知 X=X1+X2+.+X10.现在来求现在来求E(X).*1)(kkkipxXE nkknkkXEXEXE11)()(第46页，此课件共62页哦 按题意按题意,任一旅客在第任一旅客在第i站不下车的概率为站不下车的概率为9/10.,i iX XP PX XP Pi ii ii ii i也就是也就是站有人下车的概率为站有人下车的概率为在第在第站下车的概率为站下车的概率为位旅客都不在第位旅客都不在第因此因此 1)(kkkipxXE第47页，此课件共62页哦由此由此.10,2,1,1091)(20 iXEi).(784.8109110)()()()()(2010211021次

23、次 XEXEXEXXXEXE进而，由进而，由性质性质(3)得得 1)(kkkipxXE第48页，此课件共62页哦例例12 设一电路中电流设一电路中电流I(A)与电阻与电阻R(W W)是两个是两个相互独立相互独立的随机变的随机变量量,其概率密度为其概率密度为.0,30,9)(,0,10,2)(2其它其它rrrhiiig(V)23d9d2d)(d)()()()()(303102rriirrrhiiigREIEIREVE试求电压试求电压V=IR的均值的均值.解解由由性质性质(4)得得 xxxfXEd)()(第49页，此课件共62页哦计算数学期望的方法计算数学期望的方法:(1)定义定义 (1.1)(1

24、.2)(2)函数公式函数公式 (1.3)(1.4)-(1.5)(1.6)(3)性质性质 (1)-(4)第50页，此课件共62页哦)1.1()(1kkkpxXE)2.1(d)()(xxxfXE)3.1()()(1kkkpxgYE)4.1(d)()()(xxfxgYE定义定义函数公式函数公式).(dd),(),()(y yx xy yx xf fy yx xg gZ ZE E).(),()(j ji ii ij jj ji ip py yx xg gZ ZE E第51页，此课件共62页哦数学期望的几个重要性质数学期望的几个重要性质:(1)设设C是常数是常数,则则 E(C)=C.(2)设设X是一个随

25、机变量是一个随机变量,C是常数是常数,则有则有E(CX)=CE(X).(3)设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,则有则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).此性质可推广到此性质可推广到任意有限任意有限个随机变量之和个随机变量之和.*(4)设设X,Y是相互独立是相互独立的随机变量的随机变量,则有则有E(XY)=E(X)E(Y).此性质可推广到此性质可推广到任意有限任意有限个相互独立的随机变量个相互独立的随机变量.(5)设设X,Y是两个随机变量是两个随机变量,且恒有且恒有 X Y 则有则有 E(X)E(Y).第52页，此课件共62页哦53 nkkknkkkXEaXaEXE11)()(性质性质3

26、可推广到可推广到任意有限多个任意有限多个的随机变量的随机变量 nkknkkXEXEXE11)()(性质性质2,3 可推出数学期望可推出数学期望具有线性性具有线性性补充例题补充例题 *第53页，此课件共62页哦2 方 差第54页，此课件共62页哦先从例子说起先从例子说起,一批灯泡的平均寿命是一批灯泡的平均寿命是E(X)=1000(小时小时).仅由这仅由这一指标还不能判定灯泡的质量好坏一指标还不能判定灯泡的质量好坏.也有可能绝大部分灯泡的也有可能绝大部分灯泡的寿命都在寿命都在9501050小时小时;也有可能其中约有一半是高质量的也有可能其中约有一半是高质量的,寿寿命约有命约有1300小时小时,而另

27、一半却是很差的而另一半却是很差的,寿命约为寿命约为700小时小时.为要评定灯泡的质量为要评定灯泡的质量,还需考察灯泡寿命还需考察灯泡寿命X与其均值的与其均值的偏离程度偏离程度,若偏离程度较小若偏离程度较小,表示质量比较稳定表示质量比较稳定.再比如说评定棉花质量时再比如说评定棉花质量时,即即要注意纤维的平均长度要注意纤维的平均长度,还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度还要注意纤维长度与平均长度的偏离程度.第55页，此课件共62页哦由此可见由此可见,研究随机变量与其均值的研究随机变量与其均值的偏离程度偏离程度是十分必要的是十分必要的.用怎用怎样的量去度量这个偏离程度呢样的量去度量这个偏离程度呢?容

28、易看到容易看到E|X E(X)|能度量随机变量与其均值能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度的偏离程度.但由于上式带有绝对但由于上式带有绝对值值,运算不方便运算不方便,为运算方便起见为运算方便起见,通常是用量通常是用量EX E(X)2来度量随机变量来度量随机变量X与其均值与其均值E(X)的偏离程度的的偏离程度的.第56页，此课件共62页哦定义定义 设设X是一个随机变量是一个随机变量,若若EX E(X)2存在存在,则称则称 EX E(X)2为为X的的方差方差,记为记为D(X)或或Var(X),即即D(X)=Var(X)=E X E(X)2 (2.1)在应用上还引入与随机变量在应用上还引入与随机

29、变量X具有具有相同量纲的量相同量纲的量),(,)(XXD记为称为称为标准差标准差或或均方差均方差.E-ExpectationVar-Variance第57页，此课件共62页哦按定义按定义,随机变量随机变量X的方差表达了的方差表达了X的取值与其数学期望的的取值与其数学期望的偏离偏离程度程度.若若X取值比较集中取值比较集中,则则D(X)较小较小,反之反之,若取值比较分散若取值比较分散,则则D(X)较大较大.因此因此,D(X)是刻画是刻画X取值分散程度取值分散程度的一个量的一个量,它是衡量它是衡量X取值分散程度的一个尺度取值分散程度的一个尺度.第58页，此课件共62页哦由定义知由定义知,方差方差 D

30、(X)=E X E(X)2 实际上就是随机变量实际上就是随机变量X的函的函数数:g(X)=X E(X)2 的数学期望的数学期望.于是于是对于离散型随机变量对于离散型随机变量,按按(1.3)式式有有)2.2()()()(12 kkkpXExXgEXD)3.2(d)()()()(2 xxfxExXgEXD其中其中PX=xk=pk,k=1,2,.是是X的分布律的分布律.对于连续型随机变量对于连续型随机变量,按按(1.4)式有式有其中其中f(x)是是X的概率密度的概率密度.第59页，此课件共62页哦随机变量随机变量X的方差可按下列公式计算的方差可按下列公式计算:D(X)=E(X2)E(X)2 (2.4

31、)证证 由数学期望的性质由数学期望的性质(1),(2),(3)得得D(X)=E X E(X)2=E X2 2XE(X)+E(X)2 =E(X2)E2XE(X)+EE(X)2 =E(X2)2E(X)E(X)+E(X)2=E(X2)E(X)2说明说明 1,2,3 P99第60页，此课件共62页哦 E(X2)E(X)2 E(X2)E(X)2 D(X)0 E(X2)=?E(X)E(X)D(X)=E X-E(X)2 =E(X2)-E(X)2第61页，此课件共62页哦在按公式在按公式D(X)=E(X2)E(X)2计算方差时计算方差时,E(X)还是按通常的办法还是按通常的办法计算计算,而关键是计算而关键是计算:E(X2).Y=X2当当X是离散型随机变量时是离散型随机变量时:)1.4.2()(122 kkkpxXE)2.4.2(d)()(22 xxfxXE其中其中PX=xk=pk,k=1,2,.是是X的分布的分布 律律.(2.2)当当X是连续型随机变量时是连续型随机变量时:其中其中f(x)是是X的概率密度的概率密度.(2.3)第62页，此课件共62页哦