第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换课件.ppt

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1、第一章线性方程组的消元法和矩阵的初等变换第1页，此课件共26页哦引例（物资调运问题）由各产地 到各用户 的距离为 （千米）ijCjBiA该产品每年有两个用户 其用量分别为45和25，单位为吨；12,B B有三个生产同一产品的工厂123,A A A其年产量分别为40、20和10，单位为吨；1,2,3;1,2,ij如下表所示假设每吨货物每千米的运费为1（元），问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？第2页，此课件共26页哦 Cij A1 A2 A3 B1 45 58 92 B2 58 72 36表第3页，此课件共26页哦A1A2A3B1B21x2x3x4x5x6x工厂用户解：第4页，此课件共26页哦

2、14253640,(1)20,(2)10.(3)xxxxxx3个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等，所以：1.对产地来讲，产品全部调出，因而有第5页，此课件共26页哦12345645,(4)25.(5)xxxxxx123456455892587236.(6)Sxxxxxx2.对用户来讲，调配的产品刚好为其所需，因而有：3.考虑总运费S：第6页，此课件共26页哦（1）（5）每个方程都是线性方程，几个线性方程联立在一起，称之为线性方程组.因此方程（1）（5）构成6个未知数5个方程的线性方程组.不少实际问题可以化为线性方程组的问题.这样的方程组所包含的未知数的个数不只是一个两个，而是更多.因此，为

3、了解决这类问题需要讨论含有个n个未知数m个方程的线性方程组.第7页，此课件共26页哦11 11221121 1222221 122(7)nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xa xa xb形式如下：第8页，此课件共26页哦它是第 个方程中第 个未知量 的系数；ijjxija(1,2,;1,2,)im jn这里为已知数ib(1,2,)im也是已知数i称为第 个方程的常数项当线性方程组（7）的常数项均为零时，则我们称它为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组第9页，此课件共26页哦所谓方程组（7）的一个解解就是指 个数n1122,nnxxx12n组成的有序数组方程组

4、（7）的解的全体称为它的解集合解集合解方程组解方程组实际上是找出它的全部解;如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为是同解的同解的.当12,nx xx分别用12,n 代入后，（7）中每个方程都成为恒等式.第10页，此课件共26页哦111122122212nnmmmnaaaaaaaaa定义定义1 1由 个数mn(1,2,;1,2,)im jnijamn排成的 行 列的数表mnmn称为 行 列的矩阵,简称 矩阵为表示它是一个整体，总是加一个圆括弧（或方括弧），并用大写黑体字母表示它.A=第11页，此课件共26页哦当 时，称 为 阶矩阵或 阶方阵mnAnnijm nAaijAa有时也写成 或 ija

5、Aij数 称为矩阵 的第 行第 列的元素元素实矩阵实矩阵：元素全是实数的矩阵复矩阵复矩阵：元素是复数的矩阵本书中的矩阵如不特别说明，都是指实矩阵.记作nA第12页，此课件共26页哦12nAaaa12,nAa aa12mbbBb行矩阵（行向量）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵或列矩阵（列向量）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵第13页，此课件共26页哦转置矩阵转置矩阵：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，记作：矩阵相等矩阵相等：如果 是同型矩阵，,ijijAaBb(1,2,;1,2,)ijijab im jn那么就称矩阵 与矩阵 相等，记作 ABAB零矩阵零矩阵：元素都是零的矩阵，记作 ，0同

6、型矩阵同型矩阵：两个矩阵的行数列数都相等并且它们对应的元素相等，即TAA或注意不同型的零矩阵是不相等的注意不同型的零矩阵是不相等的.第14页，此课件共26页哦111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa系数矩阵系数矩阵：线性方程组（7）的未知量的系数所确定的矩阵第15页，此课件共26页哦11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab增广矩阵增广矩阵：而（7）所对应的矩阵B线性方程组（7）由其增广矩阵唯一确定.称为增广矩阵.第16页，此课件共26页哦例例1 1 解线性方程组（消元法消元法）123123132314254(8)226xxxxxxxx解解：第二个方程

7、减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成1232323231425xxxxxxx第17页，此课件共26页哦将上面的第二个方程与第三个方程互换，即得1232323231542xxxxxxx将第三个方程减去第二个方程的4倍，得1232332315318xxxxxx 第18页，此课件共26页哦将第三个方程两边乘 ，得131232332315(9)6xxxxxx 将第一个方程减去第三个方程的3倍，第二个方程加上第三个方程，得122321916xxxx 第19页，此课件共26页哦将第一个方程加上第二个方程,得12321816xxx 将第一个方程两边乘 得12123916xxx 即：1239

8、1(10)6xxx 第20页，此课件共26页哦 上面解方程的过程，从（8）到（9）叫消元过程，从（9）到（10）叫回代过程 从整个消元过程可以看到，它实际上是对方程组进行了以下3种变换：（）交换两个方程的次序；（）用一个非零的常数乘以某个方程（）把一个方程的适当倍数加到另一个方程.定义定义2 2 上述三种变换均称为线性方程组的初等变换初等变换.第21页，此课件共26页哦（对调第 两行，记作 ）；,i jijrr上述变换过程中，实际上只是对方程组的系数和常数项进行运算，未知量并未参与运算.因此，例如例1中，对方程组的变换完全可以转换成对其增广矩阵的变换.定义定义3 3 下面的三种变换称为矩阵的初

9、等行变换初等行变换（）对调矩阵的两行k（）以非零常数 乘矩阵某一行的各元素（第 行乘 ，记作 ）；kirki（）把某一行所有的元素的 倍加到另一行 对应的元素上去k（第 行的 倍加到第 行上，记作 ）ijijrkrk第22页，此课件共26页哦把定义中的“行”变成“列”，即得矩阵的初初等列变换等列变换的定义（所用记号是把“”换成“”）.rc初等行变换初等列变换初等变换初等变换第23页，此课件共26页哦就称矩阵 与矩阵 等价，记作 .ABBA（）自反性 .AA（）对称性 若 ，则 ABBA（）传递性 若，ABBC则.AC定义定义4AB如果矩阵 经过有限次初等变换变成矩阵矩阵之间的等价具有下列性质：第24页，此课件共26页哦213 142542026B21312rrrr 12131412115B23rr 22131115412B线性方程组的同解变换，也就是方程组增广矩阵的初等行变换.对于例,其一一对照过程如下第25页，此课件共26页哦324rr 321311150318B33r 4213111516B13233rrrr 52101901010016B第26页，此课件共26页哦