矢量分析与场论.ppt

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1、矢量分析与场论现在学习的是第1页，共36页现在学习的是第2页，共36页“The beauty of electricity.is that it is under law.”Michael Faraday现在学习的是第3页，共36页电磁力(作用)电磁力（电磁力（Electromagnetism）是自然界四种）是自然界四种基本力（相互作用）之一。基本力（相互作用）之一。其它三种力（相互作用）是：其它三种力（相互作用）是：重力（重力（gravity）强相互作用力（强相互作用力（strong interaction）弱相互作用力（弱相互作用力（weak interaction）现在学习的是第4页，共

2、36页场的含义 空间性空间性：场场是所关注量的空间分布特性，其可以是是所关注量的空间分布特性，其可以是矢量场，也可以是标量场。矢量场，也可以是标量场。时间性时间性：场场不但是空间的函数，往往也是时间的不但是空间的函数，往往也是时间的函数。函数。事件性事件性：当一个事件对另一个空间位置的某个事件：当一个事件对另一个空间位置的某个事件产生影响，称这些事件被产生影响，称这些事件被场场所联系。所联系。现在学习的是第5页，共36页什么是电磁场“电磁场电磁场”（electromagnetism）的研究内容是电荷在静止或）的研究内容是电荷在静止或者运动状态的电磁作用。者运动状态的电磁作用。其研究内容可分为以

3、下三类：其研究内容可分为以下三类：静电场：静止电荷产生的电场；静电场：静止电荷产生的电场；静磁场：稳定运动电荷（直流）产生的磁场静磁场：稳定运动电荷（直流）产生的磁场 动态场：运动电荷（非直流）产生的电磁场。动态场：运动电荷（非直流）产生的电磁场。现在学习的是第6页，共36页课程目标 理解电磁现象的理解电磁现象的物理本质物理本质 掌握电磁场问题的掌握电磁场问题的基本概念和基本分析方基本概念和基本分析方法法 应用所学知识分析解决应用所学知识分析解决典型典型电磁场问题电磁场问题 拓宽知识面，为拓宽知识面，为后续课程后续课程和和其它研究工作其它研究工作打下基础。打下基础。现在学习的是第7页，共36页

4、课程的知识结构Maxwell 方程静电场静磁场动态场电磁场基本定律特殊情形0t电路理论元件尺度远小于电磁波波长现在学习的是第8页，共36页课程简介 复习复习场论、相量等概念；场论、相量等概念；静电场基础（静电场基础（Electrostatics）静磁场基础（静磁场基础（Magnetostatics）电磁场边值问题（电磁场边值问题（Boundary Value Problems）材料的电磁特性及其与电磁场的相互作用机理材料的电磁特性及其与电磁场的相互作用机理 Maxwell方程（方程（Maxwells Equations）现在学习的是第9页，共36页电磁场课程难点？电场和磁场的特点为：电场和磁场

5、的特点为：是三维的空间函数（是三维的空间函数（3D）是空间矢量是空间矢量 不仅是空间的函数，而且是时间的函数不仅是空间的函数，而且是时间的函数 描述场的方程是偏微分方程（描述场的方程是偏微分方程（PDEs）现在学习的是第10页，共36页电磁场课程难点？电磁场问题的求解通常需要较强的抽象思维能力。电磁场问题的求解通常需要较强的抽象思维能力。电磁场问题的求解不仅需要对物理现象有深刻的理电磁场问题的求解不仅需要对物理现象有深刻的理解，同时，还必须熟练掌握数学工具和一定的数学解，同时，还必须熟练掌握数学工具和一定的数学技巧。技巧。现在学习的是第11页，共36页标量场和矢量场标量场的梯度矢量场的通量与散

6、度矢量场的环量与旋度亥姆霍兹定理电磁场的特殊形式第0章 矢量分析下 页返 回Vector Analysis现在学习的是第12页，共36页场在某一空间区域某一空间区域内，某一物理量物理量是该区域内关于空间位位置函数置函数，则在该区域内建立了该物理量的场。场中任一个点都与一个确定的标量或矢量函数值对应。采用标量函数标量函数描述的场即为标量场标量场，采用矢量函数矢量函数描述的场即为矢量场矢量场。0.1 标量场和矢量场Scalar Field and Vector Field下 页上 页返 回现在学习的是第13页，共36页例如，在直角坐标下,空间区域内的某个物理量满足如下两个函数：)2()1(45),

7、(222zyxzyx 标量场zyxxyzzxxyzyxeee222),(A矢量场如温度场、电位场、高度场等；如流速场、电场、涡流场等。下 页上 页返 回现在学习的是第14页，共36页const),(zyxh其方程为:高度场的等高线(1)标量场-等值线(面)形象描绘场分布的工具场线思考在某一高度上沿什么方向高度变化最快？下 页上 页返 回现在学习的是第15页，共36页zAyAxAzyxddd三维场二维场yAxAyxdd图0.1.2 矢量线矢量场-矢量线0d lA其方程为：在直角坐标下：下 页上 页返 回现在学习的是第16页，共36页0.2 标量场的运算梯度 Gradient of Scalar

8、Field 设一个标量函数(x，y，z)，若函数 在点 P 可微，则 在点P 沿任意方向 的方向导数为l)cos,cos,(cos),(zyxl),z,y,x(g)cos,cos,(cosle设 式中 ,分别是任一方向 与 x,y,z 轴的夹角l),cos(|llleggeg则有：当 ，最大0),(lg el下 页上 页返 回现在学习的是第17页，共36页gradzyxzyxeee梯度(gradient)哈密顿算子)z,y,x(式中图0.1.3 等温线分布梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。梯度

9、的意义下 页上 页返 回现在学习的是第18页，共36页例 0.2.1 三维高度场的梯度图0.2.1 三维高度场的梯度高度场的梯度与过该点的等高线垂直；数值等于该点位移的最大变化率；指向地势升高的方向。下 页上 页返 回现在学习的是第19页，共36页例 0.2.2 电位场的梯度图0.2.2 电位场的梯度电位场的梯度与过该点的等位线垂直；数值等于该点的最大方向导数；指向电位增加的方向。下 页上 页返 回现在学习的是第20页，共36页0.3 矢量场的通量与散度0.3.1 通量 (Flux)矢量E 沿有向曲面 S 的面积分SE dS若 S 为闭合曲面 根据通量的大小判断闭合面中源的性质：SSE dFl

10、ux and Divergence of Vector 0(有正源)0(有负源)=0(无源)图0.3.2矢量场通量的性质 下 页上 页返 回图0.3.1 矢量场的通量 现在学习的是第21页，共36页0.3.2 散度 (Divergence)如果包围点 P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式缩小到点 P 时：ASA divdlim10SVV散度(divergence)zAyAxAzyxAAdiv下 页上 页返 回现在学习的是第22页，共36页散度的意义 在矢量场中，若 A=0，称之为有源场，称为(通量)源密度；若矢量场中处处 A=0，称之为无源场。矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；散度代

11、表矢量场的通量源的分布特性。(无源）0 A (正源)A (负源)A图0.3.3 通量的物理意义 下 页上 页返 回现在学习的是第23页，共36页0.3.3 高斯散度定理(Divergence Theorem)SVVSA Adlim10图0.3.4 散度定理 通量元密度 高斯公式VSVASA d d矢量函数的面积分与体积分的相互转换。VSdV Vlimd1nn0VnnAASA 下 页上 页返 回现在学习的是第24页，共36页0.4 矢量场的环量与旋度0.4.1 环量(Circulation)矢量 A 沿空间有向闭合曲线 L 的线积分环量LlA d 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的

12、大小。Circulation and Rotation of Vector Field下 页上 页返 回图0.4.1 环量的计算现在学习的是第25页，共36页水流沿平行于水管轴线方向流动，=0，无涡旋运动。例：流速场图0.4.2 流速场流体做涡旋运动，0，有产生涡旋的源。下 页上 页返 回现在学习的是第26页，共36页0.4.2 旋度 (Rotation)1.环量密度 过点 P 作一微小曲面 S，它的边界曲线记为L，面的法线方向与曲线绕向符合右手定则。当 S 点 P 时，存在极限LSSSl d1limdd0环量密度环量密度是单位面积上的环量。下 页上 页返 回现在学习的是第27页，共36页2.

13、旋度 旋度是一个矢量，其大小等于环量密度的最大值；其方向为最大环量密度的方向AArot 旋度(curl)zyxzyxAAAzyxeeeAn)(ddeA Sne S 的法线方向它与环量密度的关系为在直角坐标下:下 页上 页返 回现在学习的是第28页，共36页3.旋度的物理意义矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。某点旋度的大小是该点环量密度的最大值，其方向是最大环量密度的方向。在矢量场中，若 A=J 0 称之为旋度场（或涡旋场），J 称为旋度源（或涡旋源）。若矢量场处处 A=0，称之为无旋场。下 页上 页返 回现在学习的是第29页，共36页4.斯托克斯定理(Stockes Theorem)矢量

14、函数的线积分与面积分的相互转化。图 0.4.3 斯托克斯定理n)(ddeA SSAeAd)(d)(dnSSA)lAd(dSl斯托克斯定理下 页上 页 在电磁场理论中，高斯定理 和 斯托克斯定理 是两个非常重要的公式。返 回现在学习的是第30页，共36页0.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理：在有限区域内，矢量场矢量场由它的散度、旋度及边界条件惟一地确定。已知：矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件电荷密度电流密度 J 场域边界条件在电磁场中Hymherze Theorem下 页上 页返 回现在学习的是第31页，共36页例 0.5.1 试判断下列各图中矢量场的性质。FF00FF00FF00下

15、 页上 页返 回现在学习的是第32页，共36页0.6 特殊形式的电磁场 如果在经过某一轴线(设为 z 轴）的一族平行平面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（x，y），则称这个场为平行平面场。1.平行平面场Special Forms of Electromagnetic Field如无限长直导线产生的电场。下 页上 页返 回0现在学习的是第33页，共36页 如果在经过某一轴线(设为 z 轴)的一族子午面上，场 F 的分布都相同，即 F=f（r,），则称这个场为轴对称场。2.轴对称场 如螺线管线圈产生的磁场；有限长直带电导线产生的电场。下 页上 页返 回现在学习的是第34页，共36页3.球面对称场 如果在一族同心球面上（设球心在原点），场 F 的分布都相同，即 F=f（r），则称这个场为球面对称场。如点电荷产生的电场；带电球体产生的电场。上 页0返 回现在学习的是第35页，共36页作 业00AzzyyxxAAAzyxeeeA),(1.2.式中：试证明下列各题:上 页返 回现在学习的是第36页，共36页