求不定积分的几种基本方法讲稿.ppt
《求不定积分的几种基本方法讲稿.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《求不定积分的几种基本方法讲稿.ppt(36页珍藏版)》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。
1、关于求不定积分的几种基本方法第一页,讲稿共三十六页哦31sinsin.3xxC ()d(),f uuF uC一般地,如果()F u是()f u的一个原函数,则而如果u又是另一个变量x的函数,ux且 x可微,那么根据复合函数的微分法,有 ddd.Fxfxxfxxx由此得 ddfxxxfxx =d.FxFxC第二页,讲稿共三十六页哦 (),F u是具有原函数()f u ux dddg xxfxxxfxx d()duxfxxxf uu于是有如下定理:定理定理1 设可导,则有换元公式().uxF uC(5-2)由此可见,一般地,如果积分 dg xx不能直接利用利用基本积分公式计算,而其被积表达式 dg
2、 xx能表示为的形式,且()df uu较易计算,那么可令,ux第三页,讲稿共三十六页哦 g x d()d.uxfxxf uu代入后有2cos2 d.x x ddg xxfxxx这样就得到了的原函数.这种积分称为第一类换元法第一类换元法.由于在积分过程中,先要从被积表达式中凑出一个积分因子 dd,xxx因此第一类换元法也称为凑微分法凑微分法.例例2 求解解 2cos2 dcos22dx xxxx第四页,讲稿共三十六页哦 cosdsin.uuuC2ux再以代入,即得1d.23xx例例3 求 解解 被积函数 123x可看成 1u与 23ux构成的复合 函数,虽没有 2u这个因子,但我们可以凑出这个因
3、子:111112(23)23223223xxxx,如果令 23ux便有 2cos2 dsin2.x xxC第五页,讲稿共三十六页哦 ,111d(23)d232 23xxxxx11lnln 23.22uCxC一般地,对于积分()df axbx总可以作变量代换 uaxb,把它化为 1()d()d()f axbxf axbaxba111 1d(23)d2 232xuxu()1()d.uxf uua第六页,讲稿共三十六页哦,22211d1(1)d2x xxxxx3211d23u uuC例例4 求 21d.x xx解解 令 21,ux则2211d(1)2xx3221(1).3xC第七页,讲稿共三十六页哦
4、 ,例例5 求 2d.xxex解解 令 2ux,则 d2 d ux x,有 2211d(2)dd22 xxuxexexxeu凑微分与换元的目的是为了便于利用基本积分公式在比较熟悉换元法后就可以略去设中间变量和换元的步骤211.22 uxeCeC第八页,讲稿共三十六页哦例例7 求 例例6 求 221dxax解解 2222d()1ddarcsin.1()1()xxxaxCaxxaxaaa).0(a221d.xax解解 2222111dd1()xxxaxaa2111d()arctan.1()xxCxaaaaa第九页,讲稿共三十六页哦解解 1d()1d()22axaxaaxaax11lnln22axa
5、xCaa例例8 求 221d(0).x aax221111d()d2xxaxaaxax1ln.2axCaax第十页,讲稿共三十六页哦例例9 求 tan d.x x解解 sindcostan ddcoscos xxx xxxx类似地可得 cot dln sin.x xxCln cos.xC第十一页,讲稿共三十六页哦例例10 求 2sind.x x解解 21cos2sindd2xx xx11sin2.24xxC11cos2 d(2)24xxx第十二页,讲稿共三十六页哦例例11 求 csc d.x x解解 21sincsc dddsinsinxx xxxxx类似地可得211cosdsin2.24x
6、xxxC2dcos11 coslncos-121 cosxxCxxln tan.2xC第十三页,讲稿共三十六页哦类似地可得sec dln sectan.x xxxC例例12 求 d.xexx解解 d2d2.xxxexexeCx例例13 求 4secd.x x解解 422secdsecdtan(1tan)dtanx xxxxx31tantan.3xxC第十四页,讲稿共三十六页哦第一类换元法有如下几种常见的凑微分形式:1dd();xaxba11dd(1);1 xxx(1)(2)(3)(4)1dd ln;xxx1dd;lnxxaxaa(5)(6)(7)(8)sin ddcos;x xxcos dds
7、in;x xx2secddtan;x xx2cscddcot;x xx21ddarcsin;1xxx21ddarctan.1xxx(9)(10)第十五页,讲稿共三十六页哦二二、第二类换元法第二类换元法 第一类换元法是通过变量代换()ux,将积分()()dfxxx化为积分()df uu第二类换元法是通过变量代换()xt,将积分()df xx化为积分()()d.fttt在求出后一个积分后,再以()xt反函数 1()tx代回去,这样换元积分公式可表示为:1()()d()()dtxf xxfttt上述公式的成立是需要一定条件的,首先等式右边的不定积分要存在,即被积函数 的第十六页,讲稿共三十六页哦()
8、()ftt有原函数;其次,()xt的反函数 1()tx要存在.我们有下面的定理 定理定理2 设函数()f x连续,()xt单调、可导,并且()0t,则有换元公式1()()d()()dtxf xxfttt(5-3)下面举例说明公式(5-3)的应用 第十七页,讲稿共三十六页哦例例14 求 3d.11xx解解 遇到根式中是一次多项式时,可先通过适当的换元将被积函数有理化,然后再积分 令 31 xt,则 321,d3 dxtxtt,故 223d3 d1 13d1111 xttttttx23333(1)313ln 11.2 xxxC213(1)d3(ln 1)12 tttttCt第十八页,讲稿共三十六页
9、哦例例15 求 1d.1exx解解 令 1 ext,则 222ln(1),dd1txtxtt,则有2d12d11xxtte22d(0).axx a例例16 求 解解 为使被积函数有理化利用三角公式 22sincos1tt令 sin,(,),2 2 xat t 则它是 t的单调可导函数,具有反函数arcsinxta,且 22cos,dcos d,axatxat t11 e1lnln.11 e1xxtCCt第十九页,讲稿共三十六页哦因而2222dcoscos dcosdaxxat at tat t2221(sin2)sin cos2222aaattCtttC2221arcsin.22axx axC
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 不定积分 基本 方法 讲稿
限制150内