矩阵的运算与处理.ppt

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1、现在学习的是第1页，共19页矩阵 A 中，位于第 i 行、第 j列的元素可表示为 A(i,j)u i 与 j 即是此元素的下标（Subscript）或索引（Index）MATLAB 中，所有矩阵的内部表示法都是以列为主的一维向量u A(i,j)和 A(i+(j-1)*m)是完全一样的m为矩阵A的列数我们可以使用一维或二维下标来存取矩阵现在学习的是第2页，共19页现在学习的是第3页，共19页可以使用矩阵下标来进行矩阵的索引（Indexing）A(4:5,2:3)-取出矩阵 A 的 第四、五 行与 二、三 列所形成的部份矩阵A(9 14;10 15)-用一维下标的方式来达到同样目的用冒号（:）,取

2、出一整列或一整行A(:,5)-取出矩阵 A 的第五个列用 end 这个保留字来代表某一维度的最大值A(:,end)-矩阵 A 的最后一个列可以直接删除矩阵的某一整个行或列A(2,:)=删除A矩阵的第二行A(:,2 4 5)=-删除 A 矩阵的第二、四、五列现在学习的是第4页，共19页 可依次把矩阵 A 和其倒数并排起来，得到新矩阵 BB=A 1./A-1./A 是矩阵 A 每个元素的倒数用 diag 指令取出矩阵的对角线各元素d=diag(B)-取出矩阵 B 的对角线元素用 reshape 指令来改变一个矩阵的维度C=reshape(B,2,8)-将矩阵 B 排成 28 的新矩阵 C注意!MA

3、TLAB 会先将矩阵 B 排成一个行向量（即 MATLAB 内部的矩阵表示法），再将此行向量塞成 28 的新矩阵现在学习的是第5页，共19页 产生各种特殊用途矩阵的好用指令:指令说明zeros(m,n)产生维度为 mn，构成元素全为 0 的矩阵ones(m,n)产生维度为 mn，构成元素全为 1 的矩阵eye(n)产生维度为 nn，对角线的各元素全为 1，其它各元素全为 0 的单位矩阵pascal(m,n)产生维度为 mn 的 Pascal 矩阵vander(m,n)产生维度为 mn 的 Vandermonde 矩阵hilb(n)产生维度为 nn 的 Hilbert 矩阵rand(m,n)产生

4、 0,1 均匀分布的随机数矩阵，其维度为 mnrandn(m,n)产生 =0,=1 的正规分布随机数矩阵，其维度为 mnmagic(n)产生维度为 nn 的魔方阵，其各个直行、横列及两对角线的元素和都相等现在学习的是第6页，共19页 hilb(n)指令可以产生 nn 的 Hilbert 矩阵 Hilbert 矩阵的特性:当矩阵变大时，其反矩阵会接近 Singular（即矩阵的行列式会接近于 0）Hilbert 矩阵常被用来评估各种反矩阵计算方法的稳定性 magic(n)可以产生一个 nn 的魔方阵（Magic Matrix），其各个列、行及两对角线的元素值总和都相等11jiji,H现在学习的是

5、第7页，共19页rand 指令及 randn 指令则常用于产生随机数矩阵 范例9-11:matrix11.mx1=rand(10000,1);x2=randn(10000,1);subplot(2,1,1);hist(x1,40);title(均匀分布均匀分布);subplot(2,1,2);hist(x2,40);title(高斯分布高斯分布);现在学习的是第8页，共19页矩阵的加减与一般纯量（Scalar）的加减类似相加或相减的矩阵必需具有相同的维度范例9-12:matrix12.mC=13 37 58 24矩阵与纯量可以直接进行加减，MATLAB 会直接将加减应用到每一个元素 A=1 2

6、 3 2 1+5A=6 7 8 7 6A=12 34 56 20;B=1 3 2 4;C=A+B现在学习的是第9页，共19页纯量对矩阵的乘或除，可比照一般写法 A=123,442;C=A/3 B=2*A C=B=41.0000 147.3333 246 884欲进行矩阵相乘，必需确认第一个矩阵的列数目（Column Dimension）必需等于第二个矩阵的行数目（Row Dimension）范例9-13:matrix12.mC=3 4 5 6 8 10 矩阵的除法，常藉由反矩阵或解线性方程式来达成A=1;2;B=3,4,5;C=A*B现在学习的是第10页，共19页 矩阵的次方运算，可由来达成，

7、但矩阵必需是方阵，其次方运算才有意义范例9-14:matrix14.mB=91 67 67 67 91 67 67 67 91 在*，/及之前加上一个句点，MATLAB 将会执行矩阵内元素对元素（Element-by-element）的运算 A=magic(3);B=A2A=12;45;B=2;3;C=A.*B%注意*前面的句点D=A./B%注意/前面的句点E=A.2%注意前面的句点现在学习的是第11页，共19页 复数矩阵 z，其共轭转置矩阵（Conjugate Transpose）可表示成矩阵 z范例9-16:conjTranspose01.mw=1.0000-1.0000i 3.0000

8、2.0000 1.0000-2.0000i 想得到任何矩阵 z 的转置（Transpose），则可表示成矩阵 z.范例9-17:transpose01.mw=1.0000+1.0000i 3.0000 2.0000 1.0000+2.0000i 若 z 为实数，则 z 和 z.的结果是一样的i=sqrt(-1);%单位虚数z=1+i,2;3,1+2i;w=z%共轭转置（注意 z 后面的单引号）i=sqrt(-1);%单位虚数z=1+i,2;3,1+2i;w=z.%单纯转置（注意 z 后面的句点及单引号）现在学习的是第12页，共19页 一个向量 a 的 p-norm 可以定义为 p=2 时，此即

9、为向量 a 的长度，或称欧氏长度（Euclidean Length）欲求一向量的 p-norm，可使用 norm 指令 norm(x,p)范例9-18:normVector01.m1,/1paappiipa=3 4;x=norm(a,1)%x=7y=norm(a,2)%y=5z=norm(a,inf)%z=4iiiiaanormaanormmaxinf),()1,(现在学习的是第13页，共19页 一个矩阵 A 的 p-norm 可以定义如下：norm 指令亦可用于计算矩阵的 p-norm 范例9-19:normMatrix01.m MATLAB 有相当完整的数学函数,三角函数还有计算向量元素统

10、计量的函数ppxpxAxAmaxA=1 2 3;4 5 6;7 8 9;norm(A,2)%ans=16.8481现在学习的是第14页，共19页sort 指令可对向量元素进行排序（Sorting）范例9-20:sort01.msorted=1 3 4 5 8index=4 1 5 2 3sorted 是排序后的向量，index 则是每个排序后的元素在原向量 x 的位置x(index)即等于 sorted 向量 如何使用 sort 指令加上前例中的 sorted 及 index 来求得原先的向量 x？x=3 5 8 1 4;sorted,index=sort(x)%对矩阵 x 的元素进行排序现在

11、学习的是第15页，共19页找出一矩阵最大元素的位置范例9-21:max01.mcolMax=23 24 25 21 22colMaxIndex=2 1 5 4 3colMax 代表每一列的最大值，colMaxIndex 则是每一列出现最大值的位置求得 x 的最大元素的位置 Max value=x(5,3)=25x 的最大元素即是 maxValue，发生位置为 colMaxIndex(maxIndex),maxIndex=5,3若只要找出一矩阵 x 的最大值，可输入 max(max)或是 max(x(：)x=magic(5);colMax,colMaxIndex=max(x)x=magic(5)

12、;colMax,colMaxIndex=max(x);maxValue,maxIndex=max(colMax);fprintf(Max value=x(%d,%d)=%dn,colMaxIndex(maxIndex),maxIndex,maxValue);现在学习的是第16页，共19页一般矩阵的内部数据型态都是 double（双精准浮点数），但在 MATLAB 5.3 版之后，也支持不同长度的整数与浮点数数据态 指令说明uint8转换成带正负号、8 位的整数，其值域为-128,127uint16转换成带正负号、16 位的整数，其值域为-32768,32767uint32转换成带正负号、32

13、位的整数，其值域为-231,231-1int8转换成不带正负号、8 位的整数，其值域为 0,255int16转换成不带正负号、16 位的整数，其值域为 0,65535int32转换成不带正负号、32 位的整数，其值域为 0,232-1single转换成 single（单精准浮点数），占用 32 位（4 bytes）double转换成double（双精准浮点数），占用 64 位（8 bytes）char转换成字符或字符串，每个字符占用（16 位）（2 bytes）现在学习的是第17页，共19页我们要节省内存空间，可以依矩阵元素值的范围，选用不同的数据来储存范例9-23:datatype01.mN

14、ame Size Bytes Class x16 10 x10 200 uint16 array x32 10 x10 400 uint32 array x8 10 x10 100 uint8 array x_double 10 x10 800 double array x_single 10 x10 400 single arrayGrand total is 500 elements using 1900 bytesuint8 来储存变量所占的空间只有 double 的八分之一!clear all%清除所有工作空间的变量x_double=magic(10);x_single=single(

15、x_double);x32=uint32(x_double);x16=uint16(x_double);x8=uint8(x_double);whos现在学习的是第18页，共19页整数数据型态的范围有限，若超过此范围，则超出部分将会被裁掉 uint8(300)%uint8 的最大值为的最大值为 255ans=255 int8(-500)%int8 的最小值为的最小值为-128ans=-128整数数据型态可以比较大小，但不可直接进行数学运算 uint8(20)=20%可比较大小ans=1 uint8(20)-20%无法进行数学运算无法进行数学运算?Error using=-Function-not defined for variables of class uint8.若要进行数学运算，需先用 double 指令将之转成双精准浮点数才能进行现在学习的是第19页，共19页