第三模块坐标系及其变换课件.ppt

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1、第1页，此课件共56页哦课课 题题 一一 第2页，此课件共56页哦 1.理解坐标平移的定义理解坐标平移的定义,领会坐标平移的领会坐标平移的必要性和实际意义必要性和实际意义;2.掌握坐标平移公式掌握坐标平移公式,能够运用坐标平移能够运用坐标平移公式的计算。公式的计算。教学目标教学目标 第3页，此课件共56页哦)19,11(02.015R02.07 R 下图为一个要车削的工件，在为数控机床编制程下图为一个要车削的工件，在为数控机床编制程序时，要从圆弧序时，要从圆弧 过渡到圆弧过渡到圆弧 时，怎时，怎样设计坐标系，才能使所得到的每一段圆弧的方程尽样设计坐标系，才能使所得到的每一段圆弧的方程尽量地简单

2、，从而有利于程序的编制和机械加工呢？量地简单，从而有利于程序的编制和机械加工呢？课题提出课题提出 第4页，此课件共56页哦)19,11(课题分析课题分析 02.07 R选取圆弧选取圆弧 的圆心的圆心O为坐标系的原点为坐标系的原点,能得到能得到该圆弧的方程为该圆弧的方程为 。2227 yx02.015R相应圆弧相应圆弧 的方程为的方程为 22215)19()11(yx若将坐标原点选取在若将坐标原点选取在2O22215)19()11(yx22215 yx第5页，此课件共56页哦OXY),(baCabRR区别二圆的位置及其方程的繁简程度区别二圆的位置及其方程的繁简程度。222)()(:RbyaxC2

3、22:RyxO第6页，此课件共56页哦一、定义一、定义 不改变坐标轴的方向和长度单位，只把坐标系的原点平移到某一个定点，使其变成一个新的坐标系，叫做坐标系坐标系的平移变换的平移变换，简称为坐标平移坐标平移。XYOXYO相关知识相关知识 第7页，此课件共56页哦XOYYOX),(),(yxyxP),(00yx二、坐标平移公式二、坐标平移公式 平面上任意一点平面上任意一点P在坐标系在坐标系XOY中的坐标是中的坐标是(x,y)，在坐标系，在坐标系 中的坐标是中的坐标是YOX),(yx),(00yxO设设 点在坐标系点在坐标系XOY中的坐标为中的坐标为yyyxxx0000yyyxxx平移变换公式平移变

4、换公式是 或 第8页，此课件共56页哦XY0c-12XOY例例 平移坐标轴，化简圆的方程。平移坐标轴，化简圆的方程。解：已知圆的方程为解：已知圆的方程为 4)2()1(22yx把原来坐标系平移，变换为以把原来坐标系平移，变换为以)2,1(O为原点的新坐标系为原点的新坐标系 根据坐标平移公式：根据坐标平移公式：21yyxx方程化简为方程化简为 422yx第9页，此课件共56页哦课课 题题 二二第10页，此课件共56页哦 1.理解极坐标的概念理解极坐标的概念,能够计算点的极坐标能够计算点的极坐标以及求曲线的极坐标方程以及求曲线的极坐标方程;2.理解极坐标与直角坐标的关系理解极坐标与直角坐标的关系,

5、掌握点的掌握点的极坐标与直角坐标的互化公式极坐标与直角坐标的互化公式;教学目标教学目标 3.理解参数方程的概念理解参数方程的概念,能够建立曲线的参能够建立曲线的参数方程数方程;4.能够运用极坐标或参数方程的相关知识能够运用极坐标或参数方程的相关知识解决实际问题。解决实际问题。第11页，此课件共56页哦 上图为机械传动中常见的阿基米德螺线，又称为等速螺线。它是由一个动点M沿着一条射线l做等速直线运动（速度为v），同时这条射线又绕着它的端点O做等角速旋转运动（角速度为 ）所形成的轨迹.课题提出课题提出 试求该轨迹方程？试求该轨迹方程？第12页，此课件共56页哦课题分析课题分析 动点动点M在运动时在

6、运动时,它和原点的连线与它和原点的连线与x轴所成的夹角轴所成的夹角以及它与原点的距离都是时刻变化着的以及它与原点的距离都是时刻变化着的.因此在我们所因此在我们所熟悉的直角坐标系中，其运动方程即等速螺线的方程式难熟悉的直角坐标系中，其运动方程即等速螺线的方程式难以表达以表达.第13页，此课件共56页哦一、极坐标的概念一、极坐标的概念 在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。选定一个选定一个长度单位长度单位和和角度单角度单位位及及它的正方向它的正方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系

7、极坐标系。XO相关知识相关知识 第14页，此课件共56页哦极坐标系内一点的极坐标的规定：极坐标系内一点的极坐标的规定：XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用，用 表示线段表示线段OM的长度，用的长度，用 表示从表示从OX到到OM 的角度，的角度，叫叫做点做点M的的极径极径，叫做点叫做点M的的极极角角，有序数对，有序数对（，）就叫做就叫做M的极坐标。的极坐标。强调强调：表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到极点到极点O的距离；的距离；表示从表示从OX到到OM的角度，即以的角度，即以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。第15页，此课件共56页哦练

8、习：说出下图中各点的极坐标。练习：说出下图中各点的极坐标。ABCDEFGOX46535342第16页，此课件共56页哦二、曲线的极坐标方程二、曲线的极坐标方程 与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点P的坐标与之间的关系，然后列出方程f(,)=0，再化简并说明。例例 求过极点，倾角为求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。的射线的极坐标方程。4 oM X4 分析：分析：(0)4 如图，所求的射线上任如图，所求的射线上任一一点的极角都是点的极角都是 ，其极，其极径可以取任意的非负数。故径可以取任意的非负数。故所求直线的极坐标方程为所求直线的极坐标方程为4 第17页，此课件共5

9、6页哦 例例 求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直于极轴的直线，且垂直于极轴的直线L的极的极坐标方程。坐标方程。解解 如图，设点如图，设点(,)M 为直线为直线L上除点上除点A外的任意一点，连外的任意一点，连接接OMo X AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。第18页，此课件共56页哦tvt0根据所求曲线即等速螺线的定义根据所求曲线即等速螺线的定义 整理可得等速螺线的极坐标方程整理可得等速螺线的极坐标方程 v0建立极坐标系建立极坐标系)0,(00M初始位置初始位置 求等速螺线的极坐标方程求等速螺

10、线的极坐标方程 第19页，此课件共56页哦在机械传动中，利用凸轮将旋转运动变为直线运动，凸轮的轮廓曲线就是等速螺线。第20页，此课件共56页哦OXY 在直角坐标系中在直角坐标系中,以原点作以原点作为极点为极点,X轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴,并并且两种坐标系中取相同的长度单且两种坐标系中取相同的长度单位。位。设点设点M的极坐标为的极坐标为(,)23122）（313tan点点M的直角坐标为的直角坐标为)3,1()3,1(M三、极坐标与直角坐标的关系三、极坐标与直角坐标的关系 设点设点M的直角坐标是的直角坐标是(x,y)，极坐标是，极坐标是(,)sincosyxxyyxtan22的大小由点

11、的大小由点(x,y)所所在的象限确定。在的象限确定。第21页，此课件共56页哦例例 将点将点M 的极坐标化成直角坐标。的极坐标化成直角坐标。)32,5(2532cos5x23532sin5y所以所以,点点M的直角坐标为的直角坐标为)235,25(解解:例例 将点将点M 的直角坐标化成极坐标。的直角坐标化成极坐标。)1,3(21)3(22）（3331tan因为点在第三象限因为点在第三象限,所以所以67解解:所以所以,点点M的极坐标为的极坐标为)67,2(第22页，此课件共56页哦四、参数方程四、参数方程tvt0由等速螺线的方程由等速螺线的方程 其中其中t把两个变量联系在一起。把两个变量联系在一起

12、。定义：在坐标平面内，如果一条曲线定义：在坐标平面内，如果一条曲线F(x,y)=0上上任意一点任意一点(x,y)的坐标都可以表示为某一个变量的函的坐标都可以表示为某一个变量的函数，即数，即)()(tytx该方程组为曲线称为曲线该方程组为曲线称为曲线F(x,y)=0的参数方程的参数方程 第23页，此课件共56页哦渐开线),(K 将一直线沿着一个半径r为的圆周作相切滚动，则此直线上任意一点 的轨迹就称为该圆圆的渐开线的渐开线，该圆称为渐开线的基圆基圆。),(K第24页，此课件共56页哦 渐开线的一个重要性质：该曲线上的任一点M到基圆的切线MB恰是渐开线在M点处的法线。在机械制造中，大多数齿轮的轮廓

13、线为圆的渐开线，采用这种齿形的齿轮，具有加工较为简单，磨损少，传动平稳等特点。costanr为参数 渐开线的参数方程为第25页，此课件共56页哦课课 题题 三三 第26页，此课件共56页哦 掌握圆的切线方程、直线与圆弧以及圆弧掌握圆的切线方程、直线与圆弧以及圆弧与圆弧相切的切点坐标的计算公式和计算方与圆弧相切的切点坐标的计算公式和计算方法。法。教学目标教学目标 第27页，此课件共56页哦 在下图所示的数控加工零件图样中，在下图所示的数控加工零件图样中，A、B、C各点都各点都是该零件轮廓上的基点，试求这些点的坐标。是该零件轮廓上的基点，试求这些点的坐标。ABC课题提出课题提出 第28页，此课件共

14、56页哦 图样中的图样中的B、C是一个圆与两条直线相切的切点问题是一个圆与两条直线相切的切点问题。课题分析课题分析 ABC 在工程技术和机械加工，特别是在数控加工中，在工程技术和机械加工，特别是在数控加工中，有些圆弧的位置和联接点往往在零件图样上不加标注有些圆弧的位置和联接点往往在零件图样上不加标注，这时就需要我们用坐标的方法来计算。，这时就需要我们用坐标的方法来计算。第29页，此课件共56页哦d用用r 表示圆的半径，表示圆的半径，d 表示圆心到直线的距离，则表示圆心到直线的距离，则（1）直线和圆相交）直线和圆相交dr（2）直线和圆相切）直线和圆相切d=r（3）直线和圆相离）直线和圆相离dr

15、r直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 相关知识相关知识 第30页，此课件共56页哦YXO思考思考1.1.圆的切线有哪些性质？圆的切线有哪些性质？2.求切线方程的关键是什么？求切线方程的关键是什么？3.切线的斜率一定存在吗？切线的斜率一定存在吗？),(00yxM 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一点，求经过圆上一点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxM一、求圆上一点的切线方程一、求圆上一点的切线方程 第31页，此课件共56页哦YXO分析：利用平面向量知识分析：利用平面向量知识.OM MP=0 x0 x+y0 y=r2设设P（x,y)是切线上不同于是切线上不同于M的

16、任的任意一点意一点,则则当当P与与M重合时，重合时，P的坐标仍满足上面方程。的坐标仍满足上面方程。P(x,y),(00yxM MPOM 已知圆的方程是已知圆的方程是 ，求经过圆上一，求经过圆上一点点 的切线的方程。的切线的方程。222ryx),(00yxM第32页，此课件共56页哦),(00yxP),(111yxPX0Y自圆自圆 外一点外一点 向圆作切线并求向圆作切线并求切点切点P 的坐标。的坐标。),(111yxP222Ryx),(00yxP过过 点向圆作切线，切点是点向圆作切线，切点是 1P则切线方程为则切线方程为 200Ryyxx2202021010RyxRyyxx解方程组 mmxyym

17、myxx11110110),(00yxP得 为 Ryxm2121其中二、求圆外一点向圆作切线所得切点的坐标二、求圆外一点向圆作切线所得切点的坐标第33页，此课件共56页哦三、求直线与椭圆相切的切点坐标三、求直线与椭圆相切的切点坐标 如图所示，直线段如图所示，直线段AB与与标准椭圆相切于点标准椭圆相切于点B，试求切，试求切点点B的坐标。的坐标。bxy30tan 分析分析 建立如图所示的直角坐标系，建立如图所示的直角坐标系，可设可设AB的直线方程为的直线方程为 由于直线由于直线AB与椭圆相切，利用一元二次方程只与椭圆相切，利用一元二次方程只有一个解的条件，可求出有一个解的条件，可求出b，然后求出切

18、点。，然后求出切点。第34页，此课件共56页哦解解 建立坐标系如图建立坐标系如图 由于由于00)767.344347.1(4)554.1(22bb解得解得 537.21b73.162554.1bx故切点故切点B的坐标为的坐标为)88.11,73.16(88.11537.2173.16577.0y11625577.02222yxbxy 联立联立0767.344374.1554.122bbxx 得得第35页，此课件共56页哦四、求两圆内切的切点坐标四、求两圆内切的切点坐标 211221211221rryryryrrxrxrxPP第36页，此课件共56页哦五、求两圆外切的切点坐标五、求两圆外切的切点

19、坐标 211221211221rryryryrrxrxrxPP第37页，此课件共56页哦 练习：下图所示的是某数控加工零件的图样，现要加工型面，试求其中 的圆心位置。05.030R第38页，此课件共56页哦课课 题题 四四 第39页，此课件共56页哦 1.理解空间直角坐标系的概念理解空间直角坐标系的概念;2.掌握空间两点间距离的公式；掌握空间两点间距离的公式；教学目标教学目标 3.理解空间曲面方程的概念，能够求出空理解空间曲面方程的概念，能够求出空间动点的轨迹方程；间动点的轨迹方程；4.了解几种常见曲面的曲面方程。了解几种常见曲面的曲面方程。第40页，此课件共56页哦课题提出课题提出 在大型的

20、热力电厂，我们经常可以看到形状如在大型的热力电厂，我们经常可以看到形状如图所示的高大冷却塔，图所示的高大冷却塔，它的曲面是根据什么建造出它的曲面是根据什么建造出来的呢？来的呢？第41页，此课件共56页哦课题分析课题分析 事实上，冷却塔的表面可以视为是由空间的一条事实上，冷却塔的表面可以视为是由空间的一条曲线曲线C：01yz绕着它的中轴（绕着它的中轴（Z轴）旋转而形成的旋转曲面。轴）旋转而形成的旋转曲面。第42页，此课件共56页哦X横轴横轴Y纵轴纵轴Z 竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合三个坐标轴的正方向符合右手系。右手系。一、空间直角坐标系一、空间直角坐标

21、系相关知识相关知识第43页，此课件共56页哦XYoZxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系把空间隔离成了八个部分空间直角坐标系把空间隔离成了八个部分第44页，此课件共56页哦空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0,0,0(O),(zyxM XYZo)0,0,(xP)0,0(yQ),0,0(zR)0,(yxA),0(zyB),(zoxC坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R坐标面上的点坐标面上的点,A,B,C第45页，此课件共56页哦XYZo 1MPNQR 2M?21 MMd,222212NMPNPMd 空间两点间的距离空间两点间的距离第46页，此课

22、件共56页哦,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd 21221221221zzyyxxMM空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxM)0,0,0(OOMd 222zyxXYZo 1MPNQR 2M第47页，此课件共56页哦解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM,6)23()12()75(222 213MM,6)31()23()54(222 32MM,13MM 原结论成立原结论成立。第48页，此课件共56页哦 如果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系有下述

23、关系:(1)曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F(x,y,z)=0 叫做叫做曲面曲面 S 的方程的方程,曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F(x,y,z)=0 的的图形图形。(2)不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,0),(zyxF二、曲面方程的定义二、曲面方程的定义ZYXoS第49页，此课件共56页哦求到两定点求到两定点A(1,2,3)和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的222)3()2()1(zyx07262zyx化简得即说明说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.例例显然在此平面上的点的坐标都满足此

24、方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程。222)4()1()2(zyx解解 设轨迹上的动点为,),(zyxM,BMAM 则轨迹轨迹方程。方程。第50页，此课件共56页哦故所求方程为),(zyxM),(0000zyxM方程。特别,当M0在原点时,球面方程为解解 设轨迹上动点为RMM0即依题意距离为 R 的轨迹XYZoM0M222yxRz表示上(下)球面。Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例例 求动点到定点第51页，此课件共56页哦XYZol 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面。表示抛物柱面抛物柱面,母线平

25、行于 Z 轴;准线为XOY 面上的抛物线。xy22CC 叫做准线准线,l 叫做母线母线。三、几种常见曲面的曲面方程三、几种常见曲面的曲面方程1.柱面柱面第52页，此课件共56页哦XYZo 表示母线平行于 Z 轴的椭圆柱面椭圆柱面。12222byaxXYZo 表示母线平行于Z 轴的平面平面。0 yx(且 Z 轴在平面上)第53页，此课件共56页哦XYZ例例 分析方程表示怎样的曲面。的坐标也满足方程222Ryx解解在 XOY面上，表示圆C,222Ryx222Ryx 沿曲线C平行于Z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆圆柱面。柱面。其上所有点的坐标都满足此方程,故在空间222Ryx过此点作平行 Z 轴的

26、直线 l,对任意 z,表示圆柱面圆柱面oC在圆C上任取一点,)0,(1yxMlM1M),(zyxM点第54页，此课件共56页哦 一条平面曲线绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面。该定直线称为旋转轴。旋转轴。例如例如:2.旋转曲面旋转曲面第55页，此课件共56页哦故旋转曲面方程为,),(zyxM当绕 Z 轴旋转时,0),(11zyf,),0(111CzyM若点给定YOZ 面上曲线 C:),0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz则有0),(22zyxf则有该点转到0),(zyfoZYXC 建立YOZ面上曲线C 绕 Z 轴旋转所成曲面的方程:第56页，此课件共56页哦