2022年2022年集合与常用逻辑用语 2.pdf

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1、专题 1函数与导数、不等式集合与常用逻辑用语是数学的基础与工具性内容,是学习其他数学知识的基础,函数是整个高中数学的主线,导数是研究函数性质的重要工具,函数的单调性是函数最重要的性质之一,它与不等式联系非常密切高考对集合的考查主要是集合的含义、集合的关系和运算,并且以集合的运算为主,试题往往与不等式的解集、函数的定义域、平面上的点集等相互交汇对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结词和量词,并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主,对含有量词的命题的否定也是一个值得注意的考点从近两年的高考可以看出,每年对集合与常用逻辑用语的考查有23 题,重点考查集合运算,充要条件、命题真假的判断,

2、考题的难度不大,但涉及的知识面较广,试题多以小题形式出现高考对函数、导数、不等式的考查更是重中之重,重点考查函数的图象与性质,不等式的性质与解法从江苏近三年对本专题内容考查的试题来看，填空题难度以中高档为主，大题位置靠后，主要起压轴功能，导数很少单独考大题，一般只考查基本运算，2010 年最后一题虽然是函数与导数综合，但导数在题中还是体现其工具性作用近三年江苏函数试题很少与其他知识交汇，试题关注对函数问题中的通性通法的考查，这种导向已在江苏高中数学教学中产生了较大的影响预测 2011 年关于函数与导数的命题趋势是：考查函数的性质主要从两个层次上进行，一是对函数的性质如单调性、奇偶性等概念较为单

3、一的再现，其主要载体是指数函数、对数函数及简单的复合函数，多为基础题；二是考查函数性质的综合运用，此类问题对恒等变形、等价转化的能力有一定的要求，函数与方程、分类讨论、数形结合的思想方法通常会有所体现，多为中档题，甚至是难题对导数的相关知识考查，知识载体主要是三次函数、三角函数主要题型：利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题；考查以函数为载体的实际应用题，主要是首先建立所求量的目标函数，再利用导数进行求解；函数综合推理题第 1 讲集合与常用逻辑用语一瞄准高考1集合的基本概念(1)集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性(2)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法(3)子集、真子集、空集、集合

4、相等的概念2集合的基本运算(1)交集：ABx|xA,且 xB(2)并集：ABx|xA,或 xB(3)补集：?UAx|xU,且 x?A3四种命题及其关系两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系；一个命题的逆命题与它的否命题同真同假4充要条件用集合的关系理解充分、必要条件：设命题p 对应集合A，命题 q 对应集合B，则p?q 等价于A?B，p?q 等价于AB.5简单的逻辑联结词逻辑联结词有“且”,“或”,“非”等.用逻辑联结词“且”,“或”把命题p 和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作“pq”,“pq”；对一个命题p全盘否定,就得到一个新命题

5、,记作“p”.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -6.全称量词与存在量词(1)全称命题p：?xM,p(x),它的否定 p：?x0M,p(x0)(2)特称命题p：?x0M,p(x0),它的否定 p：?xM,p(x)二解析高考题型一集合的运算例 1 设全集是实数集R,Ax|2x27x30,B x|x2a0(1)当 a 4 时,分别求 AB 和 AB；(2)若(?RA)BB,求实数 a 的取值范围【思维启迪】(1)化简集合A、B,利用数轴求AB 和 AB.(2)由(?RA)BB,转化为B?RA,进而确定 a 的关系式求解解(1)由 2x27x30,得12 x3,A

6、 x|12x3 当 a 4时,解 x240,得 2x2,Bx|2x2 AB x|12x2,A Bx|2x3(2)?RAx|x3,当(?RA)BB 时,B?RA.当 B时,即 a0 时,满足 B?RA；当 B时,即 a0 时,B x|axa,要使 B?RA,须a12,解得14a0.综上可得,实数 a 的取值范围是a14.【探究提高】(1)有关集合的交、并、补的运算,应先求各集合中的元素,利用韦恩图或数轴去解决(2)注意转化关系：(?RA)BB?B?RA,类似地ABB?A?B.(3)B?RA的转化,应注意对B进行讨论,B为空集或B为非空集合,遗漏B是易错点,要特别注意【变式 1】(2010 浙江)

7、设 P x|x4,Qx|x24,则 PQ=.解析Qx|2x2,QP=x|2x0；命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的否定是“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”；若 ac2bc2,则 a0),且 p 是q 的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围【思维启迪】先化简两不等式,再利用 p 是q 的必要不充分条件,求得 m 的取值范围解由 x28x200,得 2x10,由 x22x1m20(m0),得 1mx1m.p是 q 的必要不充分条件,q 是 p 的必要不充分条件,即 p 是 q 的充分不必要条件名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -即 p?q 但 q

8、?p.x|2 x10 是x|1mx1m 的真子集,1m2，1m 10，解得 m9.实数 m 的取值范围为 m|m9【探究提高】(1)本题还可以由p、q 求得p、q,再进而求解；(2)一个命题与它的逆否命题是等价命题,故常将p 是q 的必要不充分条件,等价转化为q 是 p 的必要不充分条件【变式 2】已知命题p：2x29x a0,命题 q：x24x30，x26x80，且p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围解解 q 得：2x3,p是 q 的充分条件,p?q 即 q?p.设函数 f(x)2x29xa,则命题 p 为“f(x)0”,选 C.【探究提高】本题的难点在于理解为什么“对任意的xR,

9、x3x210”的否定是“存在xR,x3x210”,对这个难点需要正确理解“命题的否定”的含义,命题的否定是指“否定这个命题所得出的结论”,那么命题“对任意的xR,x3x210”是指对所有的实数不等式x3x210 都成立,要否定这个结论,只要找到一个实数x 使不等式x3x210 不成立即可,即存在 x 使 x3x210.【变式 3】(2010 辽宁)已知 a0,函数 f(x)ax2bxc.若 x0满足关于 x的方程 2axb0,则下 列选 项 的 命 题 中?x R,f(x)f(x0);?xR,f(x)f(x0);?xR,f(x)f(x0);?xR,f(x)f(x0).其中为假命题的是.解析x0

10、满足方程 2axb0.2ax0b0,x0b2a.函数 f(x)=ax2+bx+c 的最小值为 f(x0)=f(b2a).a0,f(x)f(x0)对?x R 恒成立,假命题为.三感悟高考1解答集合有关问题时,正确理解集合的意义,准确地化简集合是关键,其次要注意元素的互异性,空集是任何集合的子集等问题,对于复杂问题,要借助数轴和韦恩图加以解决,尤其注意转化和化归、数形结合等数学思想的运用2充分、必要、充要、既非充分也非必要条件的判断必须坚持“双向”的原则,也可转化为等价命题来判断3解决有关逻辑题时,细微之处要谨慎,稍有不慎就会出错,要树立简化意识、逆否命题意识、特例反驳意识四备战高考1.若 集 合

11、M (x,y)|x y 0,xR,yR),N (x,y)|x2 y2 1,xR,yR,则MN.【解析】M 表示直线x y 0 上的点的集合,N 表示坐标单位圆上的点的集合,由方程名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -组x y0，x2 y21解得x22，y22或x22，y22.22，22，22，222.集合 A0,2,a2,B 1,a,若 AB 1,则 a 的值为.【解析】根据已知,只能 a2 1,根据集合元素的性质得a1,故 a 1.3.“m14”是“一元二次方程x2x m 0”有实数解的充分非必要条件.【解析】若一元二次方程x2xm0 有实数解,则 14m0

12、,因此 m14.故“m1.命题q：“?xR,x22ax2a0”,方程有解,4a24(2a)0,a2a20,a1或 a 2.5.已知集合S x|x2x0,Tx|x2(2a 1)xa2a0(aR),若 STR,则实数 a 的取值范围是.解析S x|x 2x0 x|0 x0,且b2a0,且 0,求得 m1,p：m(,1)q：4(m2)24(3m10)0?2m3.由 pq 为真,pq 为假知,p、q 一真一假当 p真 q 假时,m1，m 2或m3，即 m 2；当 p 假 q 真时,m 1，2m3，即 1 m3.m 的取值范围是m 2,或 1 m3.9.已知命题p：方程 a2x2ax20 在1,1上有解

13、；命题q：只有一个实数x 满足不等式 x22ax2a0,若命题“p 或 q”是假命题,求 a 的取值范围解若 p 或 q 是假命题,则 p 和 q 都是假命题,由题意知 a0.若 p 正确,a2x2ax2(ax2)(ax1)0 的解为1a或2a,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -若方程在 1,1上有解,只需满足 11a 1,即 a(,11,)；若 q 正确,即只有一个实数x 满足 x22ax2a0,则有 0,即 a0 或 a2.由 p、q 均假得1a0(1,2)若 a2,则 yax2x12,4,即 B12,4,AB(1,4)(2)由 Ax|x2 x 20 (1,2),知当 a1 时,B1a,a2,若 AB12,2,则必有1a12，a22，解得 a2.或1a12,a2 此时B12,2,AB12,2,符合题意,故 a2 为所求当 0a 1时,Ba2,1a,若 AB12,2,则必有 a212,a22,此时 B12,2,AB12,2,不符合题意,舍去综上可知a 2.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -