第三节相似矩阵与方阵的对角化课件.ppt

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1、第三节相似矩阵与方阵的对角化第1页，此课件共30页哦一、相似矩阵与相似变换的概念一、相似矩阵与相似变换的概念.,.,9.411的的相相似似变变换换矩矩阵阵变变成成称称为为把把可可逆逆矩矩阵阵进进行行相相似似变变换换称称为为对对行行运运算算进进对对相相似似与与或或说说矩矩阵阵的的相相似似矩矩阵阵是是则则称称使使若若有有可可逆逆矩矩阵阵阶阶矩矩阵阵都都是是设设定定义义BAPAAPPABAABBAPPPnBA 第2页，此课件共30页哦1.等价关系等价关系相似矩阵与相似变换的性质相似矩阵与相似变换的性质.本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与

2、与相相似似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3(第3页，此课件共30页哦证明证明相似相似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA BAPPP 1,使使得得可可逆逆阵阵.,4.4的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn第4页，此课件共30页哦推论推论 若若n阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵 n 21.,21个个特特征征值值的的即即是是则则相相似似nAn 定理定理4.5若若n阶方阵阶方阵A与与B相似，则相似，则A与与B的秩相同，的秩相同，即即)()

3、(BRAR第5页，此课件共30页哦.,1对对角角化化这这就就称称为为把把方方阵阵为为对对角角阵阵使使若若可可找找到到可可逆逆矩矩阵阵阶阶方方阵阵对对AAPPPAn 二、利用相似变换将方阵二、利用相似变换将方阵对角化对角化的的充充分分必必要要条条件件是是能能对对角角化化即即与与对对角角矩矩阵阵相相似似阶阶矩矩阵阵定定理理)(6.4AAn.个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有nA第6页，此课件共30页哦说明说明推论推论 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似nAAn如果如果 的特征方程有重根，此时不一定有的特征方程有重根，此时不一定

4、有 个线性无关的特征向量，从而矩阵个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能不一定能对角化，但如果能找到对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，还是能对角化还是能对角化AAnnA第7页，此课件共30页哦例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1(722 0 242422221.7,2321 得得第8页，此课件共30页哦 得得方方程程组组代代入入将将,02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.110,1022

5、1 第9页，此课件共30页哦 ,0,73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2,2,13T ,0211210102 由于由于.,321线线性性无无关关所所以以 .,3 化化可可对对角角因因而而个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量有有即即AA,同理同理第10页，此课件共30页哦 201335212EA 31 201335212)2(A.1321 的特征值为的特征值为所以所以A ,01 xEA 代代入入把把解之得基础解系解之得基础解系,)1,1 ,1(T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A第11页，此课件共30页哦 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能

6、对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 .2,1321 的的全全部部特特征征值值为为所所以以A第12页，此课件共30页哦 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系,0121 .1002 第13页，此课件共30页哦 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将,02 3 xEA .1 ,1 ,13 T.,321线线性性无无关关由由于于 110101102,321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以所以 可对角化可对角化.A

7、第14页，此课件共30页哦注意注意 ,213 P若令若令111 012 100.1 APP则则有有00 00002 11即矩阵即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应要相互对应P第15页，此课件共30页哦定理定理4.74.7实对称矩阵的特征值为实数实对称矩阵的特征值为实数.说明说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说：本节所提到的对称矩阵，除非特别说明，均指明，均指实对称矩阵实对称矩阵一个一个n阶方阵具备什么条件才能对角化阶方阵具备什么条件才能对角化,这是一个较复杂的这是一个较复杂的问题问题,我们不作一般性讨论我们不作一般性讨论,仅讨论仅讨论A为实对称阵

8、的情形。为实对称阵的情形。三、实对称矩阵的相似对角化三、实对称矩阵的相似对角化 定理定理4.74.7的意义的意义.,0,0)(,以取实向量以取实向量从而对应的特征向量可从而对应的特征向量可系系知必有实的基础解知必有实的基础解由由是实系数方程组是实系数方程组线性方程组线性方程组所以齐次所以齐次为实数为实数的特征值的特征值由于对称矩阵由于对称矩阵 EAxEAAiii 第16页，此课件共30页哦.,)(,9.4个个线线性性无无关关的的特特征征向向量量恰恰有有对对应应特特征征值值从从而而的的秩秩则则矩矩阵阵重重根根的的特特征征方方程程的的是是阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理rrnEAREArAnA

9、 推论推论1n阶实对称矩阵必有阶实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.推论推论2实对称矩阵一定与对角阵相似实对称矩阵一定与对角阵相似.,8.421212121正正交交与与则则若若是是对对应应的的特特征征向向量量的的两两个个特特征征值值是是对对称称矩矩阵阵设设定定理理ppppA 第17页，此课件共30页哦.,4.101素素的的对对角角矩矩阵阵个个特特征征值值为为对对角角元元的的是是以以其其中中使使则则必必有有正正交交矩矩阵阵阶阶对对称称矩矩阵阵为为设设定定理理nAAPPPnA 证明证明,21s 它们的重数依次为它们的重数依次为srrr,21).(21nrrrs 根据定理根据定

10、理4.7（对称矩阵的特征值为实数对称矩阵的特征值为实数）和定理和定理4.9(如上如上)可得：可得：设设 的互不相等的特征值为的互不相等的特征值为A第18页，此课件共30页哦,21知知由由nrrrs 由定理由定理4.8知知对应对应于不同特征值的特征向量正交于不同特征值的特征向量正交，.,),2,1(单位正交的特征向量单位正交的特征向量个个即得即得把它们正交化并单位化把它们正交化并单位化关的实特征向量关的实特征向量个线性无个线性无恰有恰有对应特征值对应特征值rrsiiii PPAPP11.,11个特征值个特征值的的是是恰恰个个个个的对角元素含的对角元素含其中对角矩阵其中对角矩阵nArrss 这样的

11、特征向量共可得这样的特征向量共可得 个个.n故这故这 个单位特征向量两两正交个单位特征向量两两正交.n以它们为列向量构成正交矩阵以它们为列向量构成正交矩阵 ，则，则P第19页，此课件共30页哦根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为对角矩阵，其具体步骤为：为：将特征向量正交化将特征向量正交化;3.将特征向量单位化将特征向量单位化.4.2.;,0的的特特征征向向量量求求出出由由AxEAi 1.;的特征值的特征值求求A第20页，此课件共30页哦解解 20212022EA 214 0.2,1,4321 得得,020212022)1(A 31

12、0130004)2(A例例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ，使使 为对角阵为对角阵.APP1 P(1)第一步第一步 求求 的特征值的特征值A第21页，此课件共30页哦 的特征向量的特征向量求出求出由由第二步第二步AxEAi,0 得得由由对对,04,41 xEA 04202320223232121xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.1221 得得由由对对,0,12 xEA 0202202323121xxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2122 第22页，此课件共30页哦 得得由由对对,02,23 xEA 02202320243232121

13、xxxxxxx解之得基础解系解之得基础解系.2213 第三步第三步 将特征向量正交化将特征向量正交化.,3,321321故故它它们们必必两两两两正正交交的的特特征征向向量量个个不不同同特特征征值值的的是是属属于于由由于于 A第四步第四步 将特征向量单位化将特征向量单位化.3,2,1,iiii 令令第23页，此课件共30页哦,3132321 得得,3231322 .3232313 ,22121212231,321 P作作.200010004 1 APP则则第24页，此课件共30页哦 310130004)2(A 310130004EA ,422 .4,2321 得特征值得特征值 得得基基础础解解系

14、系由由对对,02,21 xEA 1101 得得基基础础解解系系由由对对,04,432 xEA 第25页，此课件共30页哦.110,00132 ,32恰好正交恰好正交与与 .,321两两正交两两正交所以所以 得得令令单位化单位化再将再将3,2,1,321 iiii ,212101 ,0012 .212103 第26页，此课件共30页哦于是得正交矩阵于是得正交矩阵 2102121021010,321 P.400040002 1 APP则则第27页，此课件共30页哦);det()det(,)1(BABA 则则相相似似与与;,)(相相似似与与且且也也可可逆逆则则可可逆逆且且相相似似与与若若112 BA

15、BABA;,)3(为为常常数数相相似似与与则则相相似似与与kkBkABA.)()(,)(,)(相相似似与与则则是是一一多多项项式式而而相相似似与与若若BfAfxfBA4三、小结相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好 的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：的性质，除了课堂内介绍的以外，还有：第28页，此课件共30页哦相似变换相似变换与与相似变换矩阵相似变换矩阵这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种简化对矩阵的各种运算运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对

16、对角矩阵进行运算，从之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算角矩阵的运算相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算，它把是对方阵进行的一种运算，它把A变成，而可逆矩阵变成，而可逆矩阵 称为进行这一变换的称为进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵APP1 P第29页，此课件共30页哦3.对称矩阵的性质：对称矩阵的性质：(1)(1)特征值为实数；特征值为实数；(2)(2)属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；(3)(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；特征向量的个数相等；(4)(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值且对角矩阵对角元素即为特征值4.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；求特征值；(2)找特征向量；找特征向量；(3)将特征向将特征向量单位化；量单位化；(4)最后正交化最后正交化第30页，此课件共30页哦