2022年抽象函数常见题型解法宝典 .pdf

《2022年抽象函数常见题型解法宝典 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年抽象函数常见题型解法宝典 .pdf（10页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、高考专项复习-抽象函数常见题型及解法整理：吴小军第 1 页 共 10 页抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。常见的特殊模型:特殊模型抽象函数比例函

2、数 f(x)=kx(k 0)y)=f(x)+f(y)函数f(x)=xn)=f(x)f(y)或)y(f)x(f)yx(f 数函数f(x)=ax(a0 且 a 1)y)=f(x)f(y)y(f)x(f)yx(f或数函数f(x)=logax(a0 且 a 1)=f(x)+f(y)y(f)x(f)yx(f或、余弦函数f(x)=sinx f(x)=cosx T)=f(x)切函数f(x)=tanx)y(f)x(f1)y(f)x(f)yx(f切函数f(x)=cotx)y(f)x(f)y(f)x(f1)yx(f目录：一.定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题名师资料总结-

3、精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -高考专项复习-抽象函数常见题型及解法整理：吴小军第 2 页 共 10 页七、周期性与对称性问题一.定义域问题-多为简单函数与复合函数的定义域互求。例 1.若函数 y=f（x）的定义域是 2，2，则函数 y=f（x+1）+f（x1）的定义域为。解：f(x)的定义域是2,2，意思是凡被 f 作用的对象都在2,2中。二、求值问题-抽象函数的性质是用 条件恒等式 给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;例 3.对任意实数 x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1)0,则 f(

4、2001)=_.解析:这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：,)1(2)()1(,1,2fnfnfynx得令令 x=0,y=1,得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2,令 x=y=0,得：f(0)=0,f(1)=21,.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n故即 R 上的奇函数y=f(x)有反函数y=f-1(x),由 y=f(x+1)与 y=f-1(x+2)互为反函数，则f(2009)=.解析：由于求的是f(2009)，可由 y=f-1(x+2)求其反函数 y=f(x)-2,所以 f(x+1)=f(x)-2，又f(0)=0,通过递推可得 f(20

5、09)=-4918.三、值域问题例 4.设函数 f(x)定义于实数集上，对于任意实数 x、y，f(x+y)=f(x)f(y)总成立，且存在21xx,使得)()(21xfxf，求函数 f(x)的值域。解：令 x=y=0，有 f(0)=0 或 f(0)=1。若 f(0)=0，则 f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数21xx，使得)()(21xfxf成立矛盾，故f(0)0，必有 f(0)=1。由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数 x、y 均成立，因此，0)2()(2xfxf,又因为若 f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与 f(0)0

6、矛盾,所以 f(x)0.11 x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -高考专项复习-抽象函数常见题型及解法整理：吴小军第 3 页 共 10 页四、解析式问题（换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法，例 5.已知 f(1+sinx)=2+sinx+cos2x,求 f(x)解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1(0 u 2),则 f(u)=-u2+3u+1(0 u 2)故 f(x)=-x2+3x+1(0u 2)小结：换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法.例 6、设对满足 x 0,x 1 的所有实数 x，函数 f(x)

7、满足,xxxfxf11,求 f(x)的解析式。解:(1)1),x0(xx1)x1x(f)x(f且,12)11()1(:x1-xxxxfxxfx得代换用（2）:)1(x-11得中的代换再以x.12)()x-11f(xxxf（3）1)x0(xx2x21xx)x(f:2)2()3()1(223且得由小结：通过解方程组的方法可求表达式。怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。例 7.已知 f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求 f(x).解:易知f(x)是二次多项式，设f(x

8、)=ax2+bx+c(a 0)，代入比较系数得:a=1,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.小结：如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。例9、已知)(xf是定义在 R上的偶函数，且)21()23(xfxf恒成立，当3,2x时，xxf)(，则当)0,2(x时，函数)(xf的解析式为（D）A2xB4xC12xD13x解：易知 T=2，当)1,2(x时,3,24x,)(4)4(xfxxf;当)0,1(x时3,22x,)()(2)2(xfxfxxf.故选 D。小结：利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到已知区间，利用已知区间的表达式名师资料总结-精品资料欢迎

9、下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -高考专项复习-抽象函数常见题型及解法整理：吴小军第 4 页 共 10 页求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。五、单调性问题（抽象函数的单调性多用定义法解决）例 10.设函数 f(x)对任意实数 x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0,且 f(1)=-2,求f(x)在-3，3上的最大值和最小值.解析:由单调性的定义步骤设x1x2,则 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0,f(x2-x1)0）所以 f(x)是 R 上的减函数,故 f(x)在-3,3上的最大值为f(3)=f(1)+

10、f(2)=3f(1)=-6,最小值为f(-3),令 x=y=0,得 f(0)=0,令 y=-x,得 f(-x)+f(x)=f(0)=0,即 f(x)为奇函数.f(-3)=-f(3)=6.例 11、已知偶函数f(x)的定义域是x 0 的一切实数，对定义域内的任意x1,x2都有1212()()()f xxf xf x，且当1x时()0,(2)1f xf，证明:（1）f(x)在(0,+)上是增函数；（2）解不等式2(21)2fx解：（1）设210 xx，则221111()()()()xf xf xf xf xx221111()()()()xxfxffxfxx210 xx，211xx，21()xfx0

11、，即21()()0f xf x，21()()f xf x()f x在(0,)上是增函数（2）(2)1f，(4)(2)(2)2fff，()f x是偶函数不等式2(21)2fx可化为2(|21|)(4)fxf，又 函 数 在(0,)上 是 增 函 数，0 2|21|4x，解 得：10102|222xxx且例 12、定义在 R+上的函数 f(x)满足:对任意实数 m,f(xm)=mf(x);f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数 x,y 都成立;(2)证明 f(x)是 R+上的单调增函数;(3)若 f(x)+f(x-3)2,求 x 的取值范围.名师资料总结-精品资料欢迎下

12、载-名师精心整理-第 4 页，共 10 页 -高考专项复习-抽象函数常见题型及解法整理：吴小军第 5 页 共 10 页解:(1)令 x=2m,y=2n,其中 m,n 为实数,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n.又 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y),2x,2xnm,xx0:)2(n2m121且使可令设证明0nm)2(f)nm()2(f)xx(f)x(f)x(f)1(nm2121得由故 f(x1)f(x2),即 f(x)是 R+上的增函数.(3)由 f(x)+f(x-3)2 及 f(x)的性质,

13、得 fx(x-3)2f(2)=f(2)，解得3x 4.六、奇偶性问题例 13.（1）已知函数 f(x)(x 0 的实数)对任意不等于零的实数x、y 都有 f(xy)=f(x)+f(y)，试判断函数 f(x)的奇偶性。解析：函数具备奇偶性的前提是定义域关于原点对称，再考虑f(-x)与 f(x)的关系：取 y=-1 有 f(-x)=f(x)+f(-1),取x=y=-1 有f(1)=2f(-1)，取 x=y=1 有f(1)=0.所以 f(-x)=f(x),即 f(x)为偶函数。（2）已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是（D）A.x=1 B.x=2 C.x=21D.x=

14、21解析：f(2x+1)关于 x=0 对称,则 f(x)关于 x=1 对称,故 f(2x)关于 2x=1 对称.例 15：设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又)123()12(22aafaaf。求实数a的取值范围。解析：又偶函数的性质知道：)(xf在),0(上减，而0122aa，01232aa，所以由)123()12(22aafaaf得1231222aaaa，解得30a。例 16：定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)=log23 且对任意x，y R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)(1)求证f(x)为奇函数；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页

15、，共 10 页 -高考专项复习-抽象函数常见题型及解法整理：吴小军第 6 页 共 10 页(2)若f(k 3x)+f(3x-9x-2)0 对任意x R恒成立，求实数k的取值范围(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y R)-令 y=-x，代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)，令 x=y=0，代入式，得 f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0即 f(-x)=-f(x)对任意 x R 成立，f(x)是奇函数(2)解：f(3)=log230，即 f(3)f(0)，又 f(x)在 R 上是单调函数，所以f(x)在 R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数 f

16、(k 3x)-f(3x-9x-2)=f(-3x+9x+2)，k 3x-3x+9x+2，32 x-(1+k)3x+20 对任意 x R 成立令 t=3x0，即 t2-(1+k)t+2 0 对任意 t0 恒成立221()(1)2,2101(0)20,20,100,()02(1)80122令其对称轴当即时，符合题意；1+k当时2对任意恒成立解得-1kfttk txkkfktftkk故：31 2 2(3)(392)0时，xxkf kf对任意 x R 恒成立。说明：问题(2)的上述解法是根据函数的性质f(x)是奇函数且在 x R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t2-(1+k)t+2 对于任意

17、 t0 恒成立对二次函数f(t)进行研究求解本题还有更简捷的解法：分离系数由k 3x-3x+9x+2 得,1221323,1323xxxxuk而要使对xR不等式231.3xxk恒成立，只需 k 0，恒有f(x+T)=f(x)，则在区间 0，2T上，方程f(x)=0 根的个数最小值为（）C A.3 个B.4 个C.5 个D.6 个名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -高考专项复习-抽象函数常见题型及解法整理：吴小军第 10 页 共 10 页解：f(0)=0 x1=0，又f(2T)=f(T)=f(0)=0 x2=T，x3=2T.又因为22TxfTxf令x=0 得222TfTfTf,232TfTf=0.(本题易错选为A)例 20 f(x)满足 f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若 f(a)=-f(2000)，a 5，9且 f(x)在5，9上单调,求 a 的值。解：f(x)=-f(6-x)f(x)关于（3，0）对称又 f(x)=f(2-x)f(x)关于 x=1 对称 T=8 f(2000)=f(0)又 f(a)=-f(2000)f(a)=-f(0)又 f(x)=-f(6-x)f(0)=-f(6)f(a)=f(6)a=6 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -