空间问题的基本理论纯黑.ppt

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1、现在学习的是第1页，共31页7.1 平衡微分方程(differential equations of equilibrium)基本思路 过弹体内任意一点P截取一微小的正平行六面体(单元体)，并把内应力连同体积力(外力)一起作用在该单元体上，考虑其平衡，列出其力的平衡条件，这样就可导出内应力分量与体积力分量之间的微分关系式平衡微分方程。现在学习的是第2页，共31页yzxxxxxxxdxxxyxydxxxzxzddyyyyyyzzdyyyxyxdyyyzyzzxzyyyyzyxxxxzxy现在学习的是第3页，共31页方程推导 图示单元体受力情况属于空间一般力系，由X=0，Y=0，Z=0，mx=0，

2、my=0，mz=0，可得000ZzyxYzyxXzyxzyzxzyzyxyzxyxxNevier方程(7-1)以及zyyzzxxzxyyx,现在学习的是第4页，共31页7.2 物体内任一点的应力状态yzxoPABCnYnZnXnyzxyzyxzyzxxyxz 当平面ABC趋近P点时，平面ABC上的应力就成为该斜面上的应力。令n的方向余弦为zyzxznyzyxynxzxyxnnmlZnmlYnmlXT,nmln得斜面上的应力为(7-2)现在学习的是第5页，共31页若将斜面ABC上的应力按沿法线和切线方向分解，则成为xyzxyzzyxnnnnlmnlmnnmlnZmYlX222222222222n

3、nnnnnnZYXp(7-3)现在学习的是第6页，共31页以上各式用矩阵可以写成nmlZYXzyzxzyzyxyxzxyxnnn或者np)(ijnnn)(Tijnnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxn,(7-2a)(7-3a)现在学习的是第7页，共31页zyzxzyzyxyxzxyxij其中称为一点处的应力张量(stress tensor)。它是对称于主对角线的，即为对称张量。应力张量实质上是该点三个互相垂直微面上应力分量关系总的特征。应力张量是反映该点应力状态的特征力学量。现在学习的是第8页，共31页 当上述斜面ABC是弹性体的边界面时，(7-2)则成为弹性体的边界条件(7-4)Znm

4、lYnmlXnmlzyzxzyzyxyxzxyx现在学习的是第9页，共31页7.3主应力、主方向的确定应力张量也可以把它看成应力矩阵。而对于矩阵，按线性代数理论，它存在特征矩阵和特征方程，特征矩阵为 Iijij 0det32213IIIfijI(7-6)zyzxzyzyxyxzxyxij特征方程为(7-5)现在学习的是第10页，共31页其中I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、二、三不变量，是与应力张量对应的行列式的一、二、三阶主子式之和，即为zyzxzyzyxyxzxyxxzxzxzzyzyzyyxyxyxzyxIII321现在学习的是第11页，共31页例题 已知物体某点的应力分量为x=5

5、0a，y=80a，z=-70a，xy=-20a，yz=60a，zx=0。试计算主应力值，并求出主方向。解：首先求出应力不变量为33221432000910060aIaIaIzyzxzyzyxyxzxyxxzxzxzzyzyzyyxyxyxzyx现在学习的是第12页，共31页04320009100603223aaa得特征值为aaa288.107,0728.44,361.91321相应的方向余弦为0.1478-0.2810-0.9483-,0.30440.89930.3140-,0.94100.3350-0474.0333222111nmlnmlnml现在学习的是第13页，共31页7.4 几何方程

6、 物理方程Geometrical equations&Physical equationsxwzuzvywxvyuzwyvxuzxyzxyzyx,(7-7)Cauchy方程现在学习的是第14页，共31页记为张量形式则有)(21,ijjiijuu(7-7)其中脚标中的逗号表示对坐标的微分。现在学习的是第15页，共31页体积应变(volume strain)设有微小正平行六面体，起棱边长为x、y、z，变形前体积为xyz，变形后体积成为)()(zzyyxxzyx其单位体积的体积改变也就是所谓体积应变为()()()(1)(1)(1)1xyzxyzxyzyzzxxyxyzxxyyzzx y z 现在学习

7、的是第16页，共31页kkzzyyxxzyx332211忽略二阶以上微量，则有此即为体积应变。现在学习的是第17页，共31页xyxyzxzxyzyzyxzzxzyyzyxxEEE1,1,1111(7-8)Lam形式广义虎克定律现在学习的是第18页，共31页ijijijEE1(7-8)其中写成张量形式则有kkzyx321jijiij01Kronecker-现在学习的是第19页，共31页Young-Poisson形式xyxyzxzxyzyzzzyyxxEEEEEE12,12,12211211211现在学习的是第20页，共31页ijijij2(7-9)其中写成张量形式则有kkzyx321)1(2,)

8、21)(1(EGELam弹性常数现在学习的是第21页，共31页弹性空间问题位移解法 将Cauchy方程代入物理方程，得到用位移分量表示的应力分量，而后用此应力分量代入Navier方程即可。)3,2,1(0)(2,iXuiiiu)3,2,1(0)(,iXuuikkikik现在学习的是第22页，共31页2222222zyx0)(0)(0)(222ZwzYvyXux而解析形式为其中Laplace微分算子在直角坐标系下的形式为现在学习的是第23页，共31页弹性空间问题应力解法 将(7.8)代入变形协调条件，整理后得到zxxzxzzyyzyzyxxyxyxzzxyzzyxyxx2222222222222

9、22222222222222)1(2)1()1(2)1()1(2)1(现在学习的是第24页，共31页现在学习的是第25页，共31页 对于空间问题，共有15个未知函数：6个应力分量x，y，z，yz=zy，zx=xz，xy=yx6个应变分量x，y，z，yz，zx，xy3个位移分量u，v，w 要求出这15个未知函数，需要满足15个基本方程，即3个平衡方程，6个几何方程和6个物理方程。现在学习的是第26页，共31页现在学习的是第27页，共31页)3,2,1(,iSjiij3,32,21,1,jjjjjjjiijSSSS现在学习的是第28页，共31页)3,2,1(iSiji332211jjjijiSSSS)3,2,1(,iSjiij哑指标现在学习的是第29页，共31页333300030003kkzyzxzyzkkyxyxzxykkxkkkkkkzyzxzyzyxyxzxyxij现在学习的是第30页，共31页现在学习的是第31页，共31页