特殊函数的不定积分讲稿.ppt
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1、关于特殊函数的不定关于特殊函数的不定积分积分第一页,讲稿共二十九页哦第三节 几种特殊函数的 不定积分一、有理函数的积分二、三角函数有理式的积分三、简单无理函数的积分第二页,讲稿共二十九页哦基本积分法:换元积分法;分部积分法.初等函数求导初等函数积分例如,下列函数积分都不是初等函数,d2xex ,dsinxxx,dsin2xx,dln1xx,1d4 xx,d13 xx)10(dsin122 kxxk直接积分法;在概率论、数论、光学、傅里叶分析等领域有重要应用的积分,都属于“积不出”的范围.第三页,讲稿共二十九页哦有理函数的定义两个多项式的商表示的函数)()(xQxP;都是非负整数都是非负整数、其
2、中其中nm,1010都都是是实实数数及及mnbbbaaa.0,000 ba且且一、有理函数的积分假定分子与分母之间没有公因式,)1(mn 真分式;,)2(mn 假分式.101mmmb xb xb 101nnna xa xa 第四页,讲稿共二十九页哦例1123 xxx112 xxmmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(多项式的积分容易计算.真分式的积分.只讨论:多项式真分式有理函数相除多项式+真分式分解若干部分分式之和第五页,讲稿共二十九页哦 对一般有理真分式的积分,代数学中下述定理起着关键性的作用.定理均均可可表表为为有有限限个个任任何何有有理理真真分分式
3、式)()(xQxP.部分分式的和部分分式的和在在实实数数域域如如果果分分母母多多项项式式)(xQ:上上的的质质因因式式分分解解式式为为,)()()(20 qpxxaxbxQ :)()(可唯一的分解为可唯一的分解为则则xQxP,为正整数为正整数 )04(2 qp第六页,讲稿共二十九页哦)()(xQxP,都是常数都是常数其中诸其中诸iiiNMA,可可由由待待定定系系数数法法确确定定的的式式中中每每个个分分式式叫叫做做)()(xQxP )(1axA部分分式(最简分式).,)()()(20 qpxxaxbxQ )04(2 qp )(2axA ax 1222)(qpxxNxM qpxxNxM2 1 A1
4、)()(2qpxx 11NxM 个常数待定个常数待定 个个常常数数待待定定 2第七页,讲稿共二十九页哦 用此定理有理函数的积分就易计算了.且由下面的例题可看出:有理函数的积分是初等函数.注系数的确定,一般有三种方法:(1)等式两边同次幂系数相等;(2)赋值;(3)求导与赋值结合使用.第八页,讲稿共二十九页哦例 求xxxxd1123 解由多项式除法,有 1123xxx 1dd2xxxx原原式式Cxx arctan22 说明:当被积函数是假分式时,应把它分为一个多项式和一个真分式,分别积分.112 xx假分式第九页,讲稿共二十九页哦 xxxxd6532例 求6532 xxx)3)(2(3 xxx
5、2xA)2()3(3 xBxAx)23()(3BAxBAx ,3)23(,1BABA 65BA6532 xxx解3625 xx3 xB 比较系数 因式分解第十页,讲稿共二十九页哦 xxxxd6532 xxxxd316d215xxxd3625 Cxx 3ln62ln5第十一页,讲稿共二十九页哦2)1(1 xx2,(1)Axx 221(1)(1)A xBxCx 代入特殊值来确定系数CBA,取,0 x1 A取,1 x1BC 取1,x 41ABC 212(1)xxx 2)1(1 xx例求 .)1(12dxxx 解 二次质因式CBx 1,2.BC .11)1(112 xxx第十二页,讲稿共二十九页哦dx
6、xx 2)1(1dxxxx 11)1(112dxxdxxdxx 11)1(1121ln|ln|1|.1xxCx 第十三页,讲稿共二十九页哦注任意有理真分式的不定积分都归纳为下列;d)1(xaxA ;d)()2(xaxAn ;d)3(2 xqpxxBAx其中A,B,a,p,q都为常数,.042 qp并设 几种典型部分分式的积分之和n为大于1的正整数.第十四页,讲稿共二十九页哦类型),(nbaxxR 解决方法作代换去掉根号.),(ecxbaxxR ntt二、简单无理函数的积分第十五页,讲稿共二十九页哦 xxxxd11tttttd)1(2)1(222 1d222tttdtt 11122Cttt 11
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