非齐次线性方程组精选PPT.ppt

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1、关于非齐次线性方程组9/8/2022(Spring 16ppt)1现在学习的是第1页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)2111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa11121121222212nnmmmnmaaabaaabBaaab称称A、B分别为非齐次方程组的分别为非齐次方程组的系数矩阵系数矩阵和和增广矩阵增广矩阵。定理定理2.11:非齐次线性方程组有解的充要条件是，它的非齐次线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵系数矩阵A的秩的秩与与增广矩阵增广矩阵B的秩相等的秩相等 (R(A)=R(B)现在学习的是第2页，共22页9/8/2022(Spring 16pp

2、t)3例例解方程组解方程组12341234123422231433xxxxxxxxxxxx 解解213124121121211221131053554311305355rrrrB 32121120535500000rr 所以所以R(A)=R(B)=2,即方程组有解即方程组有解.。212125110101211253301110111550000000000rrr 现在学习的是第3页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)4134234343344:1531(,)5xxxxxxx xxxxx 由最后一个行最简形矩阵可得方程组的一般解可取任意数21212511010121125330

3、1110111550000000000rrr 现在学习的是第4页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)5例例解下列线性方程组解下列线性方程组125223232321321321xxxxxxxxx解解 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换施行初等行变换 132 31 215 2 132 1 232 1 215 2 12 31 2rrB 现在学习的是第5页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)613213143322 31 215 2 132 1 232 1 215 2 12 31 215 2115 210 13510 13510 135 00 001rrrrrrr

4、 rB 由上式的最后一个行阶梯形矩阵可知该方程组的系数矩阵的秩由上式的最后一个行阶梯形矩阵可知该方程组的系数矩阵的秩等于，而增广矩阵的秩等于，因此该方程组无解。等于，而增广矩阵的秩等于，因此该方程组无解。现在学习的是第6页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)7性质性质2.4 设设x和和y是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组(2.17)的两个解向量，的两个解向量，则则x-y是是(2.11)所对应的齐次线性方程组的解向量。所对应的齐次线性方程组的解向量。性质性质2.5 设设x是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组(2.17)的一个解向量，的一个解向量，y是是(2.11)所所对应的齐

5、次线性方程组的解向量对应的齐次线性方程组的解向量,则则x+y是是(2.17)的解向量的解向量.性质性质2.6 设设x0是非齐次线性方程组是非齐次线性方程组(2.17)的一个已知解的一个已知解(称称为特解为特解)，则，则(2.17)的任意一个解向量都可以表示为的任意一个解向量都可以表示为x0与与(2.11)的某个解向量的和的某个解向量的和.0Ax Axb(2.17)(2.11)现在学习的是第7页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)80Ax Axb非齐次线性方程组非齐次线性方程组对应的齐次线性方程组对应的齐次线性方程组(2.17)(2.11),(2.11),.12n-r01122

6、n-rn-r012n设是齐次方程组的一个基础解系,是相应的非齐次线性方程组(2.17)的一个特解,则(2.17)的通解为:x定理2.1=kkk其中 k kk2可取任意常数:现在学习的是第8页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)91234134522111131234xxxx解解对增广矩阵实施行的初等变换对增广矩阵实施行的初等变换BAb1345221111312341345205795010141810212rr313rr1134520579500000B322rr齐次方程齐次方程组的基础组的基础解系解系1(1,7,5,0)2(2,9,0,5)123423434525795xx

7、xxxxx(1,1,0,0)特解特解通解通解1 122xkk例例现在学习的是第9页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)101.1.设设,求求的通解的通解 解解 同解方程组为同解方程组为 bAx 基础解系：基础解系：特解：特解：练练 习习通解通解 现在学习的是第10页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)112.2.解：解：现在学习的是第11页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)12现在学习的是第12页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)13现在学习的是第13页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)143.3.

8、现在学习的是第14页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)15现在学习的是第15页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)16作作 业业 P64 2.5(1),(3).2.7现在学习的是第16页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)17 定理定理2.11:2.11:非齐次线性方程组有解的充要条件是，它的系数矩阵A的秩与增广矩阵B的秩相等 (R(A)=R(B)附：附：定理定理2.112.11的证明的证明现在学习的是第17页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)181212212(2.17),(,)(1,2,),(2.16)(2.18)

9、,(2.17),;Tiiiminnninxx T12m1在方程组中,若记:b=(b,b,b)则可以表示为下列向量方程b=x显然 若方程组有解,则向量b就能由向量组线证:性表示明1212112212,:.(,)nnnnnk kkbkkkk kk,若向量b能由向量组线性表示 则存在一组数使得即是向量方程(2.18)的解,也就是方程组(2.17)的反之解向量.以上说明了，原非齐次线性方程组（以上说明了，原非齐次线性方程组（2.17）与向量方程（）与向量方程（2.18）等价）等价.现在学习的是第18页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)1912,n 另一方面,若向量b能由向量组线性表

10、示 那么在增广矩阵B中,最后一列的向量组可以表示为系数矩阵A的列向量组的线性组合,所以,矩阵A与矩阵B的秩相等,即R(A)=R(B).1212121212121212()()0,.,nnrnrnrnR AR Brbbb 若那么向量组与向量组有相同的秩 若是的一个最大无关组,则也是的一个最大无关组,则b可以由线性表示 从而 可以由线反性表示之现在学习的是第19页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)20第二章：向量与线性方程组（小第二章：向量与线性方程组（小 结）结）(1)利用定义判别利用定义判别:是判别向量线性相关性的基本方法，适用于是判别向量线性相关性的基本方法，适用于分量已

11、具体给出的向量组分量已具体给出的向量组,也适用于分量中含有待定参数的向也适用于分量中含有待定参数的向量组量组.向量组线性相关性的判定向量组线性相关性的判定.121212(2),(,),.(),mmmAR Ammn 利用矩阵的秩判别:设有m个n维列向量排成列的形式 记则可用矩阵A的秩判别向量组的线性相关性若mn,则经初等行变换,得时,线性相关.若则可以用行列式判别,|A|=0,线性相关,|A|0线性无关.现在学习的是第20页，共22页9/8/2022(Spring 16ppt)21求向量组与矩阵的秩求向量组与矩阵的秩A.把向量组求秩转化为矩阵求秩把向量组求秩转化为矩阵求秩;B:矩阵的求秩，进行行初等变换矩阵的求秩，进行行初等变换.化成阶梯形矩阵化成阶梯形矩阵.现在学习的是第21页，共22页9/8/2022感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第22页，共22页