第二讲随机变量基础课件.ppt

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1、第二讲随机变量基础第1页，此课件共52页哦第一章第一章 随机变量基础随机变量基础1.1 1.1 概率的基本术语概率的基本术语n随机试验随机试验 Random Experimentn随机事件随机事件 Random Eventn基本事件基本事件 Elementary(Simple)Eventn样本空间样本空间 Sample Spacen频率频率 Frequencyn概率概率 Probability第2页，此课件共52页哦投掷骰子出现投掷骰子出现1点点11，2 2，3 3，4 4，5 5，66投掷骰子出现偶数点投掷骰子出现偶数点样本空间样本空间随机事件随机事件基本事件基本事件第3页，此课件共52页哦

2、关于样本空间的注释：关于样本空间的注释：Discrete Sample Space:Toss a die:S=1,2,3,4,5,6连续的样本空间连续的样本空间:,SR or Sa b由多次子试验构成的样本空间由多次子试验构成的样本空间:看下例看下例Toss a coin：S=Head,Tail=H,T第4页，此课件共52页哦IF we toss a coin three times and let the triplet xyz denote the outcome“x on the first toss,y on the second toss,z on the third toss”,t

3、hen the sample space of the experiment isS=HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTTThe event“one head and two tails”is defined byE=HTT,THT,TTH第5页，此课件共52页哦由多次子试验构成的样本空间由多次子试验构成的样本空间可数无穷的样本空间可数无穷的样本空间S=S1 S1 =HH,HT,TH,TT,S1=H,T第6页，此课件共52页哦利用频率估计概率利用频率估计概率n n次重复试验中，事件次重复试验中，事件A A发生的次数为发生的次数为n nA A，比值称为事，比值称为事件件

4、A A发生的频率。频率反映了事件发生的频率。频率反映了事件A A发生的频繁程发生的频繁程度，若事件度，若事件A A发生的可能性大，那么相应的频率也发生的可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。大，反之则较小。nnAPAn lim)(概率概率第7页，此课件共52页哦计算机模拟：计算机模拟：投掷一枚均匀硬币，模拟计算出现正面的概率。投掷一枚均匀硬币，模拟计算出现正面的概率。number=0;for i=1:N%set up simulation for 4 coin toses if rand(1,1)0.5%toss coin with p=0.5 x(i,1)=1;%head else x(

5、i,1)=0;%tail endnumber=number+x(i,1);%count number of headsendP=number/N;第8页，此课件共52页哦1.2 1.2 随机变量的定义随机变量的定义(Definition of a random variable)(Definition of a random variable)设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为S=eS=e，如果对于每一个，如果对于每一个e e S S，有一个实数，有一个实数X(e)X(e)与之对应，这样就得到一个定义与之对应，这样就得到一个定义在在S S上的单值函数上的单值函数X(e)X(e)

6、，称，称X(e)X(e)为随机变量，简记为为随机变量，简记为X X。随机变量是定义在样本空间随机变量是定义在样本空间S S上的单值函数上的单值函数1.1.定义定义第9页，此课件共52页哦Interpretation of random variable:Se()X eReal lineRandom variable is a function that assigns a numerical value to the outcome of the experiment.第10页，此课件共52页哦A coin tossSe11()X eReal line10e22()X eMapping of

7、the outcome of a coin toss into the set of real number1()0eHeadX eeTail第11页，此课件共52页哦A discrete random variable is a random variable that can be take on at most a countable number of possible values根据随机变量取值的不同可以分为：根据随机变量取值的不同可以分为：连续型随机变量连续型随机变量(Continuous random variable)(Continuous random variable)离

8、散型随机变量离散型随机变量(Discrete random variable)(Discrete random variable)第12页，此课件共52页哦2.2.概率分布列概率分布列),.,2,1()(nkpxXPkkXx1x2.xnpkp1p2.pn11nkkpProbability mass function(PMF)()()(1,2,.,)XkkkPxP Xxpkn第13页，此课件共52页哦(0,1)(0,1)分布分布 指示型随机变量指示型随机变量随机变量的可能取值为随机变量的可能取值为0 0和和1 1两个值，两个值，PMFPMF为为10()1XpkPkpkPMF:()XPkk0 11

9、pp第14页，此课件共52页哦(0,1)分布的随机变量；分布的随机变量；指示型随机变量；指示型随机变量；贝努里随机变量；贝努里随机变量；第15页，此课件共52页哦Bernoulli random variableLet A be an event of interest in some experiment,e.g.,a device is not defective.We say that a“success”occurs if A occurs when we perform the experiment.Bernoulli random variable IA is equal to 1

10、 if A occurs and zero otherwise.0if not in A()1if in AAeIee(0)()01IAPP Iep(1)()1IAPP Iep第16页，此课件共52页哦例：信息传输问题（例：信息传输问题（Message Transmissions）Let X be the number of times needs to be transmitted until it arrivers correctly at its destination.Find the probability that X is an a even number.X is a disc

11、rete random variable taking on values from S=1,2,3,.第17页，此课件共52页哦The event X=k occurs if k-1 consecutive erroneous transmissions(failures)followed by a error-free one(success)()(00.01)XPkP XkP11(1)kkppqpX is called the geometric random variable21112 is even(2)1111kXkkP XPkqppqq第18页，此课件共52页哦Example:T

12、ransmission error in a binary communications channel.Let X be the number of errors in n independent transmissions.Find the PMF of x.Find the probability of one or fewer errors0101 1-1-第19页，此课件共52页哦X takes on values in the set 0,1,nIf there is no error,each transmission results in a 0If there is an e

13、rror,each transmission results in a 11P 01P The probability of k errors in n bits transmissions is given as follows()(1)kn kXnPkP Xkk We call X the binomial random variable第20页，此课件共52页哦001111(1)(1)01(1)(1)nnnnnnP Xn 第21页，此课件共52页哦贝努里试验贝努里试验 随机试验只有两种结果。随机试验只有两种结果。产品合格或不合格产品合格或不合格 元件没有失效或失效元件没有失效或失效 信息

14、发送成功或失败信息发送成功或失败 打靶命中或脱靶打靶命中或脱靶 目标检测或漏检目标检测或漏检(),()1P Ap P Aqp 第22页，此课件共52页哦贝努里序列（贝努里序列（Bernoulli Sequence）N N次连续的独立的贝努里试验称为贝努里序列次连续的独立的贝努里试验称为贝努里序列Consecutive independent Bernoulli trials comprise a Bernoulli sequence.贝努里试验贝努里试验-N-N重贝努里试验重贝努里试验(0,1)(0,1)分布分布-二项式分布二项式分布信息传输信息传输第23页，此课件共52页哦泊松分布泊松分布(

15、Poisson distribution)(Poisson distribution)()()!kXePkP Xkk,.1,0k0)(PX第24页，此课件共52页哦1.3 1.3 分布函数和概率密度函数分布函数和概率密度函数Probability Density Function,（PDF）Distribution Function or Cumulative Distribution Function,(CDF)()()F xP Xx()()dF xf xdx1.定义定义第25页，此课件共52页哦2.分布函数的性质（分布函数的性质（Properties of the CDF）分布函数是右连续

16、的不减函数，在负无穷处为零，正分布函数是右连续的不减函数，在负无穷处为零，正无穷处为无穷处为1 1。对于连续型随机变量，取某一特定值的。对于连续型随机变量，取某一特定值的概率是为零的。即概率是为零的。即PX=x=0PX=x=0第26页，此课件共52页哦对于离散型随机变量，分布函数为阶梯函数。对于离散型随机变量，分布函数为阶梯函数。()()()()()kkkkXkkkkxxkF xp U xxPxP x U xxkxkp()F xx第27页，此课件共52页哦概率密度概率密度dxxdFxf)()()0f x 第28页，此课件共52页哦()()()()Xkkkkkf xPkxxpxx对于离散型随机变

17、量，它的概率密度函数是一串对于离散型随机变量，它的概率密度函数是一串 函数之和函数之和。()()()()XkkkkkkF xPx U xxp U xx第29页，此课件共52页哦1x2xkx1p2pkp()F xx1x2xkx1p()f xx2pkp第30页，此课件共52页哦 Check YourselfSuppose X=c,Where c is constantWhich of following is correct?A.()()Xfxxc()()Xfxu xc11()()()22Xfxxxc()()Xfxx B.C.D.E.None of Above第31页，此课件共52页哦 Check

18、 YourselfSuppose X=c,Where c is constantWhich of following is correct?A.()()Xfxxc()()Xfxu xc11()()()22Xfxxxc()()Xfxx B.C.D.E.None of Above第32页，此课件共52页哦3.3.常见概率分布常见概率分布 正态分布（正态分布（NormalNormal），也称高斯（），也称高斯（GaussGauss）分布）分布 222)(exp21)(xxf),(2NX-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)N(0,1)正态分布概率密度

19、正态分布概率密度 221()()exp22xXxFxdx21()exp22xxxdx标准正态分布函数标准正态分布函数第33页，此课件共52页哦瑞利分布（瑞利分布（RayleighRayleigh）瑞利分布概率密度瑞利分布概率密度 2 2 0002exp)(222xxxxxf，02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4第34页，此课件共52页哦指数（指数（ExponentialExponential）分布）分布指数分布概率密度指数分布概率密度 000)(xxexfx，0123456700.511.5()1xF xe 第35页，此课件共52页哦指数分布可以用来表示

20、独立随机事件发生的时间间指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如，旅客进机场的时间间隔，维基（隔，比如，旅客进机场的时间间隔，维基（wikipedia)新条目出现的时间间隔，电话呼叫的时新条目出现的时间间隔，电话呼叫的时间间隔等，间间隔等，是一个率（是一个率（Rate)参数。参数。第36页，此课件共52页哦 对数正态分布（对数正态分布（LogNormalLogNormal）高分辨率雷达杂波分布高分辨率雷达杂波分布01234567891000.10.20.30.40.5对数正态分布概率密度对数正态分布概率密度 为尺度参数为尺度参数 为形状参数为形状参数221()()exp()22ln

21、xf xU xx第37页，此课件共52页哦1.4 1.4 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布 Multiple Random Variables and Distributions Multiple Random Variables and Distributions 1.定义定义Se(),()X e Y exy2R(),()(,)SeX e Y eX YX第38页，此课件共52页哦比如：同时投掷一个比如：同时投掷一个1元硬币和一个元硬币和一个1角硬币，样本空间角硬币，样本空间为为S=HH,TH,TT,HT。HHTHTTHTxy0 01 0()()0 11 1iiiiiiif eTTif

22、 eHTX eY eif eTHif eHH 第39页，此课件共52页哦2.2.二维分布函数和概率密度二维分布函数和概率密度 Bivariate CDF and PDF Bivariate CDF and PDF 二维分布函数图解二维分布函数图解 ,),(yYxXPyxF定义：定义：性质：参看教材性质：参看教材第40页，此课件共52页哦二维概率密度：二维概率密度：yxyxFyxf),(),(20),(yxf xydxdyyxfyxF),(),(dyyxfxfX),()(dxyxfyfY),()(第41页，此课件共52页哦对于二维离散随机变量，对于二维离散随机变量，定义联合概率质量函数（定义联合

23、概率质量函数（Join PMF)(,),XYkmkmPxyP Xx Yy,(,),(,)kmkmXYkmxx yyXYkmxx yyFx yP Xx YyPxy第42页，此课件共52页哦(,)(,)(,)XYXYkmkmfx yPxyxxyy二维概率密度：二维概率密度：第43页，此课件共52页哦3.3.条件分布条件分布(Conditional Distribution)(Conditional Distribution)|)|(|xXyYPxyFXY条件分布函数条件分布函数yxyFxyfXYXY)|()/(|条件概率密度条件概率密度)()|()()|(),(|xfxyfyfyxfyxfXXYY

24、YX)()(),(yfxfyxfYX称随机变量称随机变量X X、Y Y独立独立第44页，此课件共52页哦条件概率质量函数（条件概率质量函数（Conditional PMF):|(|)|,X YkmkmkmmPxyP XxYyP Xx YyP Yy|(,)(|)()XYkmX YkmYmPxyPxyP y|(,)(|)()XYkmX YkmYmPxyPxyP y第45页，此课件共52页哦以随机事件为条件的概率密度以随机事件为条件的概率密度:|)|(AxXPAxFdxAxdFAxf)|()|(第46页，此课件共52页哦几个重要的贝叶斯公式几个重要的贝叶斯公式:全概率公式全概率公式:1()(|)()

25、niiiP BP B A P A0A1A2AiABS贝叶斯公式贝叶斯公式:niiiiiiiiAPABPAPABPBPAPABPBAP1)()|()()|()()()|()|(第47页，此课件共52页哦niiiAPAxFxF1)()|()(概率分布与概率密度的全概率公式概率分布与概率密度的全概率公式:niiiAPAxfxf1)()|()(dxxfxXAPAP)(|)(第48页，此课件共52页哦(|)()(|)()(|)()|()P A x f xP A Xx f xf x AP AP A Xx f x dx第49页，此课件共52页哦Example:Communication Channel wi

26、th Discrete Input and Continuous OutputThe input X to a communication channel is+1 volt or-1 volt.The output Y of the channel is the input plus a noise voltage N that is uniformly distributed in the interval from-2 volts to+2 volts.Find PX=+1,Y0第50页，此课件共52页哦Solution:1,|1(1)P XYyP Yy XP X 1/2 1,3When

27、 the input X=1,the output Y is uniformly distributed in the interval Therefore(1)1|144yyP Yy X 1 111,04 28P XY 第51页，此课件共52页哦本次课小结：本次课小结：（1）概率的基本术语：）概率的基本术语：随机试验随机试验 基本事件基本事件 随机事件随机事件 样本空间，频率与概率样本空间，频率与概率（2）随机变量的定义）随机变量的定义 从样本空间到实轴的映射从样本空间到实轴的映射（3）随机变量的分布）随机变量的分布 PMF CDF PDF 典型随机变量的分布典型随机变量的分布（4）条件分布）条件分布 第52页，此课件共52页哦