2022年指数函数、对数函数与幂函数知识精讲实用 .pdf

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1、1 指数函数、对数函数与幂函数一.知识点归纳1.根式的运算性质：当 n 为任意正整数时，（na）n=a当 n 为奇数时，nna=a；当 n 为偶数时，nna=|a|=)0()0(aaaa。根式的基本性质：nmnpmpaa，（a0）。2.分数指数幂的运算性质：)()(),()(),(QnbaabQnmaaQnmaaannnmnnmnmnm3.)10(aaayx且的图象和性质：a1 0a0 时，y1，当 x0 时，0y0 时，0y1 当 x1（6）x 轴为渐近线4.指数式与对数式的互化：lo gbaaNNb。5.重要公式：01loga，1logaa。对数恒等式NaNalog。6.对数的运算法则如果

2、0,1,0,0aaNM，有log()loglogaaaM NMNlo glo glo gaaaMMNNlo glo gnmaamMMn7.对数换底公式：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -2 aNNmmalogloglog（a 0，a 1，m 0，m 1，N0）。8.两个常用的推论：1loglogabba，1logloglogacbcba。bmnbanamloglog（a，b 0且均不为1）。9.对数函数的性质：a1 0a0（转化法）（3）af（x）=bg（x）f（x）logma=g（x）logmb（取对数法）（4）logaf（x）=logbg（x）loga

3、f（x）=logag（x）/logab（换底法）12.指数不等式与对数不等式的类型：（1）af（x）b讨论 a 是否大于 1（2）af（x）ag（x）讨论 a 是否大于1。（3）af（x）bg（x）f（x）logmag（x）logmb（取对数法m1）（4）logaf（x）logbg（x）logaf（x）logag（x）/logab（换底法）13.y=xa（其中 a 为常数），当 a0 时图象过点（0，0）与（1，1）；在),0上是增函数;当 a0 时，图象过点（1，1），在),0上是减函数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -3 练习题一选择题与图像之间关系

4、是（）关于原点对称关于轴对称关于直线对称关于轴对称函数的图像在（）第二象限第一和第二象限第一象限第一和第三象限若函数在区间上是减函数，则（）已知函数，则下列关系中正确的是（）当时，当时，当时，当时，设函数，且，则（）B对满足的任意两个非零实数，下列不等式恒成立的是（）在区间上为增函数的是（）已知，则（）或设，则（）0，这三个数之间大小顺序是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -4【典型例题】例 1 计算：（1）121316324(124223)27162(8)；（2）2(lg 2)lg 2lg 50lg 25；（3）3948(log2log2)(log3l

5、og3)。例 2 已知11223xx，求22332223xxxx的值。例 3 已知35abc，且112ab，求c的值。例 4 设1x，1y，且2 log2 log30 xyyx，求224Txy的最小值。例 5 设a、b、c为正数，且满足222abc。（1）求证：22lo g(1)lo g(1)1bcacab（2）若4log(1)1bca，82lo g()3abc，求a、b、c的值。例 6（1）若21aba，则lo gbba，lo gba，lo gab从小到大依次为；（2）若235xyz，且x，y，z都是正数，则2x，3 y，5 z从小到大依次为；（3）设0 x，且1xxab（0a，0b），则a

6、与b的大小关系是（）A.1ba B.1ab C.1ba D.1ab（4）（全国 2理 4）以下四个数中的最大者是（A）（ln2）2（B）ln（ln2）（C）ln2（D）ln2（5）（山东理4）设11,1,32a，则使函数axy的定义域为R且为奇函数的所有 a 值为（A）1,3（B）1,1（C）1,3（D）1,1,3例 7 已知函数f（x）53131 xx，g（x）53131 xx，（1）证明 f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间。（2）分别计算f（4）5f（2）g（2），f（9）5f（3）g（3）的值，由此概括出涉及函数 f（x）和 g（x）的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加

7、以证明。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -5 例 8 已知函数2()1xxfxax(1)a，求证：（1）函数()fx在(1,)上为增函数；（2）方程()0fx没有负数根。练习部分1.已知集合,16,9,4,1P，若Pa，Pb，则Pba，则运算可能是（）（A）加法（B）减法（C）除法（D）乘法2.已 知 集 合 1,2,3 A，1,0,1B，则 满 足 条 件(3)(1)(2)fff的 映 射:fAB的个数是（）（A）2 （B）4 （C）5 （D）7 3.某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上

8、升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了。下面大致上能反映出小鹏这一天（0时 24 时）体温的变化情况的图是（）4.定义两种运算：ab22ab，2()abab，则函数2()(2)2xfxx为（）（A）奇函数（B）偶函数（C）奇 函数且为偶函数（D）非奇函数且非偶函数5.偶函 数()log|afxxb在(,0)上单调递增，则(1)fa与(2)fb的大小关系是（）（A）(1)(2)fafb（B）(1)(2)fafb（C）(1)(2)fafb（D）(1)(2)fafb6.如图，指出函数y=ax;y=bx;y=cx;y=dx的图象，则a，b，c，d 的大小关系是A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd

9、 D.ab1dlogy30，则下列不等式恒成立的是（）A.3/1xy 1/3 B.yx)31(3xy C.x1)31(31y8.已知函数 f（x）=lg（axbx）（a，b 为常数，a1b0），若 x（1，+）时，f（x）0恒成立，则（）A.a b 1 B.a b1 C.a b 1 D.a=b+1 9.如图是对数函数y=logax 的图象，已知 a取值3，4/3，3/5，1/10，则相应于，的a 值依次是10.已知 y=loga（2ax）在 0，1 上是 x 的减函数，则a 的取值范围是11.已知函数,),(DxxfyRy，且正数 C为常数对于任意的Dx1，存在一个Dx2，使Cxfxf21，则

10、称函数)(xfy在 D上的均值为C。试依据上述定义，写出一个均值为的函数的例子：_ 12.设函数 f（x）=lg34a21xx，其中 aR，如果当 x（，1）时，f（x）有意义，求 a 的取值范围。13.a为何值时，关于x 的方程 2lgx lg（x1）=lga 无解？有一解？有两解？14.已知定义域为 0，1 的函数 f（x）同时满足：（1）对于任意x0，1，总有 f（x）0；（2）f（1）=1（3）若01x，02x，121xx，则有)()()(2121xfxfxxf（）试求f（0）的值；（）试求函数f（x）的最大值；（）试证明：满足上述条件的函数f（x）对一切实数x，都有 f（x）2x。1

11、5.设a、b为常数，FxbxaxfxfM;sincos)(|)(：把平面上任意一点（a，b）映射为函数.sincosxbxa（1）证明：不存在两个不同点对应于同一个函数；（2）证明：当M)x(f0时，Mtxfxf)()(01，这里 t 为常数；（3）对于属于M的一个固定值)(0 xf，得),(01RttxfM，在映射 F 的作用下，M1作为象，求其原象，并说明它是什么图象？名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -7 试题答案1.D2.D3.C4.A5.D 6.B 7.D 8.A 9.3，4/3，3/5，1/10，10.（1，2）11.9)(xf，xexf9)(，

12、xaxfsin9)(（10a）12.a3/4 13.0a4 时，方程有两解14.3.75，600，450 15.（I）令021xx，依条件（3）可得 f（0+0）f（0）+f（0），即 f（0）0 又由条件（1）得 f（0）0，则 f（0）=0（）任取1021xx，可知1,0(12xx，则)()()()(1121122xfxxfxxxfxf，即0)()()(1212xxfxfxf，故)()(12xfxf于是当 0 x1 时，有 f（x）f（1）=1 因此，当 x=1 时，f（x）有最大值为1，（）证明：研究当1,21(x时，f（x）12x 当21,0(x时，首先，f（2x）f（x）+f（x）=

13、2f（x），)2(21)(xfxf显然，当21,21(2x时，21)1(21)212(21)21()(fffxf成立假设当21,21(1kkx时，有kxf21)(成立，其中k1，2，那么当21,21(12kkx时，111212121)21(21)212(21)21()(kkkkkfffxf名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -8 可知对于21,21(1nnx，总有nxf21)(，其中 n=1，2，而对于任意21,0(x，存在正整数n，使得21,21(1nnx，此时xxfn221)(，当 x=0 时，f（0）=02x综上可知，满足条件的函数f（x），对 x0，1

14、，总有 f（x）2x 成立16.（1）假设有两个不同的点（a，b），（c，d）对应同一函数，即xbxabaFsincos),(与xdxcdcFsincos),(相同，即xdxcxbxasincossincos对一切实数x 均成立特别令 x=0，得 a=c；令2x，得 b=d 这与（a，b），（c，d）是两个不同点矛盾，假设不成立故不存在两个不同点对应同一函数（2）当Mxf)(0时，可得常数a0，b0，使xbxaxfsincos)(000)()(01txfxf)sin()cos(00txbtxaxtatbxtbtasin)sincos(cos)sincos(0000由于tba,00为常数，设nm

15、ntatbmtbta,sincos,sincos0000则是常数从而Mxnxmxfsincos)(1（3）设Mxf)(0，由此得xnxmtxfsincos)(0（tbtamsincos00其中，tatbnsincos00）在映射 F 下，)(0txf的原象是（m，n），则 M1的原象是,sincos,sincos|),(0000Rttatbntbtamnm消去 t 得202022banm，即在映射F下，M1的原象|),(202022banmnm是以原点为圆心，2020ba为半径的圆1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D D D D C C B B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -