2022年排列组合解题技巧归纳总结 .pdf

《2022年排列组合解题技巧归纳总结 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年排列组合解题技巧归纳总结 .pdf（5页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1 排列组合解题技巧归纳总结教学内容1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类办法，在第 1 类办法中有1m种不同的方法，在第2 类办法中有2m种不同的方法，在第n类办法中有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmmL种不同的方法2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n个步骤，做第 1 步有1m种不同的方法，做第 2 步有2m种不同的方法，做第n步有nm种不同的方法，那么完成这件事共有：12nNmmmL种不同的方法3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完

2、成整个事件解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113

3、434288C C A练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例 2.7 人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A种不同的排法练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略例 3.一个晚会的节目有4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目

4、不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？C14A34C13名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -2 解:分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有55A 种，第二步将 4 舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A种练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例 4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对

5、于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/AA(空位法)设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1 种坐法，则共有47A 种方法。思考:可以先让甲乙丙就坐吗?（插入法)先排甲乙丙三个人,共有 1 种排法,再把其余 4 四人依次插入共有方法练习题:10 人身高各不相等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？510C五.重排问题求幂策略例 5.把 6 名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:

6、把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7 种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1.某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42 2.某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题线排策略例 6.8 人围桌而坐,共有多少种坐法?解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A 并从此位置把圆形展成直线其余7 人共有（8-1）！种排法即 7！HFDCAABCDEABEGHGF练习题：6 颗颜色

7、不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七.多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8 人排前后两排,相当于 8 人坐 8 把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A 种,再排后 4个位置上的特殊元素丙有14A 种,其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有55A 种,则共有215445A A A种练习题：有两排座位，前排11 个座位，后排 12 个座位，现安排2人就座规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这2 人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略例 8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒

8、内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -3 解:第一步从 5 个球中选出 2个组成复合元共有25C 种方法.再把 4 个元素(包含一个复合元素)装入4 个不同的盒内有44A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有2454C A练习题：一个班有6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1 人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例 9.用 1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,在两个奇数之间,这样的五位数有多少

9、个？解：把,当作一个小集团与排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A种排法，由分步计数原理共有222222A A A种排法.练习题：.计划展出10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,幅油画,幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2.5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A种十.元素相同问题隔板策略例 10.有 10个运动员名额，分给7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为 10 个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成个空隙。在个空档中选个位置插个

10、隔板，可把名额分成份，对应地分给个班级，每一种插板方法对应一种分法共有69C种分法。一班二班三班四班五班六班七班练习题：1.10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？49C2.100 xyzw求这个方程组的自然数解的组数3103C十一.正难则反总体淘汰策略例 11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10 的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5 个偶数 5个奇数,所取的三个数含有3 个偶数的取法有35C,只含有 1 个偶数的取法有1255C C,和为偶数的取法共有1235

11、55C CC。再淘汰和小于 10 的偶数共 9 种，符合条件的取法共有1235559C CC练习题：我们班里有43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略例 12.6 本不同的书平均分成3 堆,每堆 2 本共有多少分法？解:分三步取书得222642C C C种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记 6 本书为 ABCDEF，若第一步 取AB,第 二 步 取CD,第 三 步 取EF 该 分 法 记 为(AB,CD,EF),则222642C C C中 还 有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD

12、,AB),(EF,AB,CD)共有33A 种取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有22236423/C C CA种分法。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -4 练习题：1 将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队,有多少分法？（544213842/C C CA）2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人,另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法（1540）3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数为_（22224

13、262/90C C AA）十三.合理分类与分步策略例 13.在一次演唱会上共10名演员,其中 8人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌 2 人伴舞的节目,有多少选派方法解：10 演员中有 5 人只会唱歌，2 人只会跳舞 3 人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的 5 人中没有人选上唱歌人员共有2233C C种,只会唱的 5 人中只有 1 人选上唱歌人员112534C C C种,只会唱的 5 人中只有 2 人选上唱歌人员有2255C C种，由分类计数原理共有22112223353455C CC C CC C种。练习题：1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座

14、谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34 2.3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人,2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船,这 3 人共有多少乘船方法.（27）本题还有如下分类标准：*以 3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准*以 3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准*以只会跳舞的 2 人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四.构造模型策略例 14.马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的2 盏,求

15、满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 个不亮的灯有35C种练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）十五.实际操作穷举策略例 15.设有编号 1,2,3,4,5的五个球和编号 1,2,3,4,5的五个盒子,现将 5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法解：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有25C 种还剩下 3 球 3 盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下 3,4,5 号球,3,4,5 号盒 3 号球装 4 号盒时，

16、则 4,5 号球有只有 1 种装法，同理 3 号球装 5号盒时,4,5 号球有也只有 1种装法,由分步计数原理有252C 种练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？(9)2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法有 72 种十六.分解与合成策略例 16.30030 能被多少个不同的偶数整除分析：先把 30030 分解成质因数的乘积形式30030=235 7 1113 依题意可知偶因数必先取2,再从其余 5 个因数中任取若干个组成乘积，所有的偶因数为：1234555555CCCC

17、C名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -5 练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线解：我们先从 8 个顶点中任取 4 个顶点构成四体共有体共481258C,每个四面体有3 对异面直线,正方体中的 8个顶点可连成 3 58174对异面直线十七.化归策略例 17.25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？解：将这个问题退化成9 人排成 33 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有 1 人从其中的一行中选取1 人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从

18、 33 方队中选 3 人的方法有111321C C C种。再从 55 方阵选出 33 方阵便可解决问题.从 55 方队中选取3 行 3 列有3355C C选法所以从55 方阵选不在同一行也不在同一列的3 人有3311155321C C C C C选法。练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到 B的最短路径有多少种？(3735C)BA十八.数字排序问题查字典策略例 18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:297221122334455AAAAAN练习:用 0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将

19、这些数字从小到大排列起来,第 71个数是 3140 十九.树图策略例 193人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式有 _ 10N练习:分别编有 1，2，3，4，5 号码的人与椅，其中 i 号人不坐 i 号椅（54321,i）的不同坐法有多少种？44N二十.复杂分类问题表格策略例 20有红、黄、兰色的球各5 只,分别标有 A、B、C、D、E五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法解:二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.例 21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有 .分析：因同一学生可以同时夺得n 项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7 家“店”，五项冠军看作 5 名“客”，每个“客”有7 种住宿法，由乘法原理得75种.红1 1 1 2 2 3 黄1 2 3 1 2 1 兰3 2 1 2 1 1 取法1415CC2415CC3415CC1325CC2325CC1235CC名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -