2022年上海高考试题汇编-立体几何 .pdf

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1、近五年上海高考试卷汇编立体几何知识点 1：平面的判定（2015 理 19）如图，在长方体1111ABCDA B C D 中，11,2,AAABADEF、分别是ABBC、的中点，证明11ACFE、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小答案：arcsin知识点 2：异面直线的判定（2018 春 14）如图，在直三棱柱111ABA BCC 的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（）（A）1（B）2（C）3（D）4答案C知识点：异面直线的夹角（2012 理 19）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 底面ABCD，E是PC的中点，已知2AB，22AD，

2、2PA，求：（1）三角形PCD的面积（2）异面直线BC与AE所成的角的大小名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 14 页 -答案：（1）23；（2）4（2012 文 19）如图，在三棱锥PABC中，PA 底面ABC，D是PC的中点，已知2BAC，2AB，2 3AC，2PA，求：（1）三棱锥PABC的体积（2）异面直线BC与AD所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）答案：（1）4 33；（2）3arccos4（2013 文 10）已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图若直线OA与BC所成角的大小为6，则lr

3、答案：3（2016 理 19）将边长为1 的正方形11AAOO（及其内部）绕的1OO旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23，11A B 长为3，其中1B与C在平面11AAOO的同侧。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 14 页 -（1）求三棱锥1 1 1C OAB的体积；（2）求异面直线1BC与1AA所成的角的大小。答案：312；4（2018 秋 17）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO，OA、OB是底面半径，且90AOB，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB所成的角的大小.答案：（1）8 33

4、V；（2）arctan17 关键点：方法一：建立空间直角坐标系（首选）；方法二；平移法知识点 4：线面角（2017 秋考 17）如图，直三棱柱111CBAABC中，2,4,5,901BCABBBABC；OMPBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 14 页 -（1）求三棱柱111CBAABCV的体积；（2）若M是棱AC中点，求MB1与平面ABC所成角的大小；答案：（1）20V；（2）5arctan；（2015 理 19）如图，在长方体1111ABCDA B C D 中，11,2,AAABADEF、分别是ABBC、的中点，证明11ACFE、四点共面，并求直线1CD 与平

5、面11AC FE 所成的角的大小答案：arcsin知识点 5：垂直问题（2012 理 19）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA 底面ABCD，E是PC的中点，已知2AB，22AD，2PA，求：（1）三角形PCD的面积（2）异面直线BC与AE所成的角的大小答案：（1）23；（2）4知识点 6：平行问题（2013 理 19）如图，在长方体ABCDA B C D中，2AB，1AD，1AA 证明直线BC平行于平面D AC，并求直线BC到平面D AC的距离名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 14 页 -证明：略知识点：直线到平面的距离（2013 理 19）如图

6、，在长方体ABCDA B C D中，2AB，1AD，1AA 证明直线BC平行于平面D AC，并求直线BC到平面D AC的距离答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为(1,0,1)A、(1,2,1)B、(0,2,1)C、(0,2,0)C、(0,0,0)D.设平面D AC的法向量为(,)nu v wr，则nDAruuuur，nD Cruuuur.因为(1,0,1)D Auu u u r，(0,2,1)D Cuu uu r，0nDAruuuur，0nDCruuuur，所以020uwvw，解得2uv，2wv.取1v，得平面D AC 的一个法向量(2,1,2)nr.因为(1,0,1)BCu u u

7、 u r，所以0nBCruuuu r，所以nBCruuuu r.又BC不在平面D AC内，所以直线BC与平面D AC平行.由(1,0,0)CBuu u r，得点B到平面D AC的距离2222 1 1 0(20)2321(2)n CBdnr uu u ru u r，所以直线BC到平面D AC的距离为23知识点 8：棱柱（2015 理 4）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则a答案：4知识点 9：棱锥（2010 理 12）如图所示，在边长为4 的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于点O，剪去AOBV，将剩余部分沿,OCOD 折叠，使,OA OB 重合，则以(),A B,C D O

8、为顶点的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 14 页 -四面体的体积是答案：823（2014 理 19 文 19）底面边长为2 的正三棱锥PABC，其表面展开图是123PP P，如图，求123PP P 的各边长及此三棱锥的体积V答案：在123P P P中，13P AP A，23P CPC，所以AC是中位线，故1224PPAC.同理，234P P，314P P.所以123P P P是等边三角形，各边长均为4.设 Q 是ABC的中心，则PQ平面ABC，所以233AQ，22263PQAPAQ.从而，12 233ABCVSPQ（2010 春 10）各棱长为1 的正四棱锥的体积

9、V答案：62（2018 秋 15）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）A.4 B.8 C.12 D.16名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 14 页 -答案：D关键点：底面矩形是下图的四种情形，每种情形都有四种垂直于底面的侧棱，故个数为16，（2018 春 7）如图，在长方形1111BABCACDD 中，13,4,5ABBCAA，O是11AC 的中点，则三棱锥11AAOB 的体积为 _答案：5知识点 10：圆柱（2012 文 5

10、）一个高为2 的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为答案：6（2013 文 10）已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A、B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图若直线OA与BC所成角的大小为6，则lr名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 14 页 -答案：3知识点 11：圆锥（2009 文 8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是答案：83（2015 理 6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为_答案：3（2014 理 6 文 7）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线

11、与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）答案：1arccos3（2012 理 8）若一 个圆锥 的侧 面展开 图是面 积为2的 半圆 面，则该圆锥的 体积为答案：33（2011 春 20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥形（如图）,现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积（精确到0.01）答案：设圆锥的底面半径为r，高为h.由题意，圆锥的侧面扇形的周长为121045cm，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 14 页 -圆锥底面周长为2 rcm，则24r，2

12、rcm.圆锥的高为22102964 6 cm，圆锥的侧面扇形的面积为11410202S2cm，半球的面积为2214282S.该蛋筒冰激凌的表面积122887.96SSS2cm；圆锥的体积为21116246633V3cm，半球的体积为3214162233V3cm，所以该蛋筒冰激凌的体积为12166157.803VVV3cm.因此该蛋筒冰激凌的表面积约为287.96cm，体积约为357.80cm.（2018 秋 17）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO，OA、OB是底面半径，且90AOB，M为线段AB的中点，如图，求异面直线PM与OB

13、所成的角的大小.答案：（1）8 33V；（2）arctan17 OMPBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 14 页 -知识点 12：球（2017 秋 4）已知球的体积为36，则该球主视图的面积等于_答案：9（2009 理 8）已知三个球的半径1R，2R，3R满足32132RRR，则它们的表面积1S，2S，3S满足的等量关系是答案：12323SSS知识点 13：祖暅原理（2013理13）在xOy平 面 上，将 两 个 半 圆 弧22(1)1(1)xyx和22(3)1(3)xyx、两条直线1y和1y围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分记D绕y轴旋转一周而成的几何体为过

14、(0,)(|1)yy作的水平截面，所得截面面积为2418y试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为答案：2216知识点 14：空间向量（2017 秋 7）如图，以长方体1111DCBAABCD的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DBuu uu r的坐标为)2,3,4(，则1ACuuuu r的坐标为 _ 答案：4,3,2名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 14 页 -45知识点 15：三视图（2011 文7）若一个圆锥的主视图是边长为3，3，2 的三角形，则该圆锥的侧面积为答案：3（2014 文 8）在长方体中

15、割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于答案：24（2009 年高考文16）如图,已知三棱锥的底面是直角,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是()ABCD答案：B知识点 16：截面问题（2017 春 15）过正方体中心的截面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（）A、三角形B、长方形C、对角线不相等的菱形D、六边形答案：A知识点 17：球面距离（2010 春 21）已知地球半径约为6371 千米上海的位置约为东经121、北纬 31，大连的位置约为东经121、北纬 39，里斯本的位置约为西经10、北纬 39（1）若飞

16、机以平均速度720 千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时？（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到01 小时）（2）求大连与里斯本之间的球面距离（结果精确到1 千米）答案：（1）1.2 小时；（2）约为 10009 千米434434名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 14 页 -知识点 18：和数列相关（2012 理 6）有一列正方体，棱长组成以1 为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,.,.nV VV，则12lim(.)nnVVV答案：87知识点 19：补形法（2011 春 13）有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如

17、图），AB与CD所成角的大小是答案：3提示：补充图形为正方体（2010 春 13）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S2cm答案：2600O大连上海北南极赤里斯本名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 14 页 -知识点 20：和圆锥曲线相结合（2014 春 24）如图，在底面半径和高均为1 的圆锥中，ABCD、是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点.已知过CD与E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点与圆锥顶点P的距离为（）A、1 B、32C、62D、1

18、04答案：D（2012 理 14）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，2BC，若2ADc，且2ABBDACCDa，其 中,a c为 常 数，则 四面 体ABCD的 体 积 的 最 大 值是答案：22213cac题型：三棱锥的体积计算与椭圆试一试：已知在半径为2 的球面上有ABCD、四点，若2ABCD，则四面体ABCD的体积的最大值为_ 答案：433选题理由：本题为四面体中，已知对棱的长为,a b，对棱的夹角为，对棱的距离为h，体积为1sin6Vabh的典型题40c50c80c名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 14 页 -（2018 春 19）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1 所示，图 2 是投影出的抛物线的平面图，图3 是一个射灯的直观图，在图2 与图 3 中，点O、A、B在抛物线上，OC是抛物线的对称轴，OCAB于C，3AB米，4.5OC米（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图 3 中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到001）图 1 图 2 图 3答案：（1）14；（2）9.59名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 14 页 -