2022年2022年金融时间序列分析 2.pdf

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1、1 第 1节 有 关 单 位 过 程 的极 限 分 布对 单 位 根 过 程 这 种 非 平 稳 序 列 的 分 析，传 统 分 析 方 法 失 效，需 寻 找 新 的 处 理方 法。这 些 新 的 分 析 方 法 都 是 建 立 在 维 纳 过 程（布 朗 运 动）和 泛 函 中 心 极 限 定理 之 上 的。一、维 纳 过 程维 纳 过 程(Wiener Process)也 称 为 布 朗 运 动 过 程(Brownian Motion Process)，是 现 代 时 间 序 列 经 济 计 量 分 析 中 的 基 本 概 念 之 一。设)(tW是 定 义 在闭 区 间 0，1 上 一

2、连 续 变 化 的 随 机 过 程，若 该 过 程 满 足：(a)W(0)=0；(b)对 闭 区 间 0，1 上 任 意 一 组 分 割1021kttt，)(tW的 变化 量：12312,kktWtWtWtWtWtW为 相 互 独 立 的 随 机 变 量；(c)对 任 意10ts，有),0()()(stNsWtW(5.2.1)则 称)(tW为 标 准 维 纳 过 程（或 标 准 布 朗 运 动 过 程）。从 定 义 我 们 可 以 看 出，标 准 维 纳 过 程 是 一 个 具 有 正 态 独 立 增 量 的 过 程。由定 义 显 然 有：),0()0()()(tNWtWtW(5.2.2)1,

3、0()1(NW即 标 准 维 纳 过 程)(tW在 任 意 时 刻 t 服 从 正 态 分 布。将 标 准 维 纳 过 程 推 广，可 得 到 一 般 维 纳 过 程 的 概 念。令)()(tWtB称)(tB是方 差 为2的 维 纳 过 程。显 然，)(tB满足 标 准 维 纳 过 程 定 义 中 的 前 两 个 条件，第 三 个 条 件 则 变 为：对 任 意10ts，有)(,0()()(2stNsBtB根 据 上 式，显 然 有),0()0()()(2tNBtBtB(5.2.3),0()1(2NB利 用 标 准 维 纳 过 程 还 可 以 构 造 其 它 的 连 续 随 机 过 程，例 如

4、，对 于2tWtY，在 任 意 时 刻 t，有 分 布：)1()(2ttY更 为 重 要 的 是：维 纳 过 程 所 具 有 的 良 好 性 质 以 及 它 相 当 广 泛 的 适 用 性，使得 它 在 概 率 极 限 定 理，随 机 积 分 和 随 机 微 分 方 程 等 许 多 理 论 研 究 和 实 际 应 用 中扮 演 着 十 分 重 要 的 角 色。二、有 关 随 机游 动 的 极限 分 布1、泛 函 中 心 极 限 定 理名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 29 页 -2 泛 函 中 心 极 限 定 理 是 对 一 般 中 心 极 限 定 理 的 推 广，

5、它 是 研 究 非 平 稳 时 间 序列 过 程 的 重 要 工 具。在 给 出 泛 函 中 心 极 限 定 理 之 前，我 们 先 回 顾 一 下 概 率 论 与数 理 统 计 中 研 究 平 稳 随 机 变 量 序 列 的 中 心 极 限 定 理：如 果 随 机 变 量 序 列t：,21n独 立 同 分 布，且 有,2,1,)(,)(2tDEtt令NtNN11，则),0()(1)(21NNNNLtN(5.2.4)中 心 极 限 定 理 表 明：独 立 同 分 布 的 随 机 变 量 之 和（或 样 本 均 值）为 正 态 分布。对 于 白 噪 声 序 列t，由 于,2,1,)(,0)(2t

6、DEtt根 据 中 心 极 限 定 理，有),0(1)(21NNNNLtN(5.2.5)下 面，我 们 根 据 白 噪 声 序 列t，构 造 一 新 统 计 量：设 r 为 闭 区间 0，1 上 的 任 一 实数，记rNNr为 不 超 过 rN 的 最 大 整 数，对 于 给 定 白 噪 声 序 列t：N,21，取 其 前rNNr项 构 造 统 计 量：rNtNrX11)(5.2.6)显 然)(rX为 一 样 本 均 值，当 N 固 定，r 在 闭 区 间 0，1 上 变 化 时，)(rX是 定义 在 0，1 上 的 一 个 阶 梯 函 数，其 具 体 表 达 式 为：10/)(/)(/032

7、21121211rrrrNNNrXNNNNNN(5.2.7)将)(rX乘 上N，再 写 成 如 下 形 式：rrNtrrNtNNNNrXN1111由 前 述 中 心 极 限 定 理，有21,01NNLNttrr另 一 方 面，对 于 0，1 上 的 任 意 实 数 r，有rNrNNNNrNlimlim因 此，)(rXN有 如 下 极 限 分 布：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 29 页 -3),0(121rNNrXNLNtr(5.2.8)对 照(5.2.3)式，有),0()()(2rNrWrB这 表 明，)(rXN的 极 限 分 布 与 一 般 维 纳 过 程)(

8、)(tWtB的 分 布 是 一 致 的。将 上 述 结 论 整 理 如 下，就 得 到 泛 函 中 心 极 限 定 理。泛 函 中 心 极 限 定 理：设 序 列t：,21t独 立 同 分 布，且 满 足,2,1,)(,0)(2tDEttr 为 闭 区 间 0，1 上 的 任 一 实 数，给 定 样本N,21，取 其 前rNNr项 构 造 统计 量：rNtNrX11)(那 么，当N时，统 计 量)(rXN有 如 下 极 限：)()(11rWrBNrXNLNtr(5.2.9)在(5.2.9)式 中 令 r=1，有),0()1(1121NWNXNLNt(5.2.10)与(5.2.5)式 对 照 可

9、 以 看 出，一 般 中 心 极 限 定 理 是 泛 函 中 心 极 限 定 理 的 一 个 特例。下 面 给 出 非 平 稳 时 间 序 列 分 析 中 经 常 用 到 的 有 关 随 机 游 动 的 极 限 分 布，所使 用 的 基 本 工 具 就 是 泛 函 中 心 极 限 定 理。2、有 关 随 机 游 动 的 极 限 分 布设 序 列ty遵 从 随 机 游 动 过 程：tttyy1（5.1.4）其 中，t独 立 同 分 布，且22)()(,0)(tttEDE，0y=0。则 以 下 极 限 成 立：（1）)1(121WNNLt；（2）1)1(2122111WyNNLtt；（3）1011

10、23)(drrWyNNLt；（4）10123)()1(drrWWtNNLt；（5）101125)(drrrWtyNNLt；（6）10221212)(drrWyNNLt。证 明 过 程 中，可 用 到 下 列 关 系：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 29 页 -4 rNtNrX11)(，)()(11rWrBNrXNLNtr/rt N，1/drN，11()tX rYN证 明：（1）由(5.2.10)式，显 然 成 立。（2）因 为tttttttyyyy12212122)(整 理 得)(2122121tttttyyy两 边 求 和 并 除 以 N，得)11(211122

11、11NtNNttNyNyN又 因 为NNtyNNX11)1(1代 入 上 式，有NtNttNXNyN122111)1(211根 据 大 数 定 理，有2121pNtN注 意(5.2.10)式，从 而 有1)1(2112211WyNLNtt（2）证 毕。(3)根 据(5.2.7)式 知，)(rX是 0，1 上 的 一 个 阶 梯 函 数，再 由（5.1.4），有ttttyy211因 此)(rX可 表 示 为10/03221121rrrrNyNyNyrXNNNNNN(5.2.11)求 阶 梯 函 数)(rX在 0，1 上 的积 分，有NtNyNNNyNNyNNyNdrrX1121210111110

12、)(两 边 同 乘N，得NtyNdrrXN112310)(由 于名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 29 页 -5)()(rWrBrXNL根 据 连 续 映 射 定 理，则 有10101123)()(drrWdrrXNyNLNt（3）证 毕。（1）因 为)()()(121321211231123NNtNyN2)2()1(122123NNNNNNttNN123)(NtNttNN123121所 以NtNtNtN121123NtyN1123利 用（1）和（3）的 结 论，有10123)()1(drrWWtNLNt（4）证 毕。（2）因 为NtNtNNyNtNtyN11121

13、1251)1(1)(1121NtrNtNrXNNrNN101021)(1)(1drrXNNNrdrrXNNrN根 据 泛 函 中 心 极 限 定 理(5.2.9)式，并 利 用 连 续 映 射 定 理，得 到101125)(drrrWtyNNLt（5）证 毕。（3）因 为NNyNyNNtNt12111212)1(1)(12NtrNtNrXNN102)(drrXN102)(drrXN连 续 映 射 定 理 是 指：若)()(SSLt，)(g是 连 续 泛 函，则 有：)()(SgSgLt。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 29 页 -6 根 据 泛 函 中 心 极 限

14、 定 理(5.2.9)式，并 利 用 连 续 映 射 定 理，得10221021212)()(drrWdrrWyNNLt（6）证 毕。三、有 关单 位 根过 程的 极限 分布1、一 般 形 式 的 泛 函 中 心 极 限 定 理前 面 所 介 绍 的 泛 函 中 心 极 限 定 理 是 针 对 独 立 同 分 布 序 列t而 言 的。如 果 序列t不 是 白 噪 声 序 列 而 是 一 般 的 平 稳 序 列，则 上 述 结 论 就 不 再 成 立。此 时，有更 一 般 形 式 的 泛 函 中 心 极 限 定 理。一 般 形 式 的 泛 函 中 心 极 限 定 理：设 序 列tu：,21tuu

15、u为 一 平 稳 过 程，它 有 无 穷 阶 MA表 示 形 式：02211)(jjtjtttttBu(5.2.12)其 系 数j满 足 条 件：0jjj(5.2.13)比 绝 对 收 敛 条 件 略 强，任 意 平 稳 ARMA过 程 都 满 足 它。t独 立 同 分 布，且 满 足,2,1,)(,0)(2tDEtt贝 弗 里 奇-纳 尔 逊 分 解Beveridge-Nelson(1981)提 出，有011(1)TTttTttu0(1)jj，1tjtjja，其 中12()jjja且0jja。故t为 一 平 稳 过 程。r 为 闭 区 间 0，1 上 的 任 一 实 数，记rNNr，构 造

16、如 下 统 计 量：rNtuNrX11)(5.2.14)那 么，当N时，统 计 量)(rXN有 如 下 极 限：)()1(11rWuNrXNLNtr(5.2.15)显 然，一 般 形 式 的 泛 函 中 心 极 限 定 理 是 前 述 泛 函 中 心 极 限 定 理 的 推 广。根 据 该定 理，可 以 得 到 有 关 单 位 根 过 程 的 极 限 分 布。2、有 关 单 位 根 过程 的 极 限 分 布假 设 序 列ty遵 从 单 位 根 过 程：tttuyy1(5.1.5)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 29 页 -7 其 中 平 稳 过 程tu满 足 一

17、般 形 式 泛 函 中 心 极 限 定 理中 的 条件。则 有001(1)tttjjyy令,2,1,0,)(02juuEsjssjttj)1(若00y，那 么，下 列 极 限 成 立：（1）)1(121WuNNLt；（2）,2,1,),0(10221jNuNNLtjt；（3）11,0,1,2,NpttjjNu uj;（4）1)1(212111WyNNLtt;（5）NjiiLjttjWjWuyN11002202211,2,1,)1(210,)1(21;（6）101123)(drrWyNNLt；（7）,2,1,0,)()1(10123jdrrWWtuNNLjt；（8）10221212)(drrWy

18、NNLt;（9）101125)(drrrWtyNNLt；（10）10221213)(drrrWtyNNLt.第 3节Dickey Fuller单 位 根 检 验（DF 检 验）前 面 两 节 已 为 检 验 单 位 根 做 了 理 论 准 备。下 面 我 们 介 绍 Dickey Fuller建立 的 单 位 根 检 验 法。任 何 一 个 序 列 都 有 其 自 身 的 真 实 生 成 过 程。Dickey Fuller假 设 数 据 序 列是 由 下 列 两 种 模 型 之 一 产 生：（1）tttyy1，(5.3.1)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 29 页

19、 -8（2）tttyy1；(5.3.2)其中，),0(2iidt。然后分为如下四种情形建立估计模型，并在其中进行单位根检验：情形一：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.1)中检验假设：1:0H情形二：假设数据由（真实过程）(5.3.1)产生，在回归模型(5.3.2)中检验假设：0;1:0H情形三：假设数据由（真实过程）(5.3.2)产生，在其中检验假设：;1:0H情形四：假设数据由（真实过程）(5.3.2)产生，在回归模型ttttyy1中检验假设：0;1:0H对于上述各种情形下的回归模型，可以使用最小二乘法得到参数估计量和相应的t 或 F统计量。但是，Dickey 与

20、 Fuller的研究发现，在原假设成立的条件下，相应的t 统计量不再服从渐近正态分布，F 统计量的分布与普通的F 分布也大不相同，从而临界值与拒绝域发生变化。此时，统计量的极限分布依赖于数据生成过程及回归模型形式的选择（即是否包含常数项和趋势项），具体分布如下：一、情形一的 DF检验法1、检验方法回归模型(5.3.1)系数的 OLS估计为：211?tttyyy构造统计量：21212?tyst (5.3.3)其中2s为模型的剩余方差。在1:0H成立的条件下，t 统计量为：21212211121212?1)(1?1?ttttttysyyyyyst212212121121221211syNyNsyy

21、tttttt在1:0H成立的条件下，模型(5.3.1)为随机游动过程，有关随机游动的极限定理成立，因此，1)1(22211WyNLtt1022212drrWyNLt名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 29 页 -9 其中 W(r)为维纳过程。又因为2s为2的相合估计，根据连续影射定理，t 统计量具有如下极限：212121102221221211?11?1?drrWWSYNYNtLttt (5.3.4)即 t 统计量依分布收敛于维纳过程的泛函，表明t 检验统计量不再服从传统的t 分布，传统的 t 检验法失效。上面的极限分布一般称为Dickey Fuller分布，对应的检

22、验称为 DF检验。由于)1()1(22W，(5.3.4)式的分母恒正，分子是)1(2分布与其均值之差，因此上述检验统计量的极限分布是非对称、左偏的。又因70.0 1)1(2P，所以检验值大都是负数。1121()?(1)ttttTyyyTy11221tttNyNy21212011LWWr dr名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 29 页 -10 Dickey Fuller分布是非标准的，因此人们用 Monte Carlo 方法模拟得到检验的临界值，并编成 DF检验临界值表（情形一）供查。在进行DF检验时，比较 t 统计量值与 DF检验临界值，就可在某个显著性水平上拒绝或

23、接受原假设。在实际应用中，可按如下检验步骤进行：(1)根据所观察的数据序列，用OLS法估计不带常数项的一阶自回归模型：tttyy1得到回归系数的 OLS估计211?tttyyy(2)提出假设：1:0H检验用统计量为常规t 统计量，21212?tyst根据(5.3.4)式，在1:0H成立的条件下，该统计量的极限分布为Dickey 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 29 页 -11 Fuller分布。(3)计算在原假设成立条件下的t 统计量值，查 DF检验临界值表（情形一），得临界值，然后将 t 统计量值与 DF检验临界值进行比较：若 t 统计量值小于DF检验临界值，

24、则拒绝原假设1:0H，说明序列不存在单位根；若 t 统计量值大于或等于DF检验临界值，则接受原假设1:0H，说明序列存在单位根；需要说明的是，在一般计量经济软件中对回归模型回归系数的检验，原假设都是回归系数为零。因此，为了能直接使用计算机输出结果，通常将回归模型(5.3.1)变形为：tttyy1)1(令1，上述模型等价地变成：tttyy1 (5.3.5)原假设1:0H则变为0:0H。二、情形二的 DF检验法对于情形二，估计模型：tttyy1；(5.3.2)中含有常数项，模型参数的OLS估计为：ttttttyyyyyyN112111?在1,0:0H成 立 时，上 式 可 改 写 为：tttttt

25、yyyyN1121111?以 矩 阵NNdiagA,21左 乘 上 式 两 端，得ttttttttttttyNNyNyNyNyAAyyyNANN111212111111211112123232111?在1,0:0H成 立 时，序 列ty服 从 随 机 游 动 过 程，利 用 有 关 随 机 游 动 的 极 限定 理，可 得 1)1(21)1()()()(11?2211022101021WWdrrWdrrWdrrWNNL据 此，可 得?21N和)1?(N的 极 限 分 布 分 别 为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 29 页 -12 1122001 2112200

26、1(1)112?LWWr drWW r drNWr drW r dr(5.3.6)1?(N210102102)1(1121drrWdrrWdrrWWWL(5.3.7)另 一 方 面，估 计 量?的 样 本 方 差 为12122?22211110?(01)1()tttttNys NsyyNyy其 中2s=21?21ttyyN为 模 型 的 剩 余 方 差，它 是 随 机 扰 动 项 方 差2的 最 小 二 乘 估 计。可 以 证 明，统 计 量2?2?N有 以 下 极 限 分 布：222?11223/222211001?()LttsNNyNyWr drW r dr(5.3.8)由 连 续 影 射

27、 定 理，可 得 t 统 计 量 的 极 限 分 布 为2121010210221212?2?111)?(1?1?drrWdrrWdrrWWWNNtL(5.3.9)这表明当估计模型中含有常数项时，t 统计量的极限分布发生了变化，从而临界值也就不同。Dickey、Fuller利用 Monte Carlo方法得到不同样本长度和显著性水平下DF检验临界值表（情形二）供查。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 29 页 -13 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 29 页 -14 2212?2211?()tttsyNyy22222112?22223

28、/221111?()()tttttts Nys NyNNyyNyNy1220112200LW rdrWr drW r dr得到12112200?1/21112220001(1)11?2?LWWr drWW r drtWr drW r drW rdr显然截距项的 t 检验也不是通常的t 分布。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 29 页 -15 三、情形三的 DF检验法估计模型跟情形二相同，但数据生成过程不同，此时为1tttyy，其中0。此时010tttyytytu，显然趋势项变化最快，于是有：10111(1)TTttttyytu22111(1)/2TTtttTyTt

29、323222111(1)/3TTtttTyTt3/23/2221(1)(0,/3)tttNyNa tNa（易证其方差为22/3a）事实上，根据中心极限定理，容易证明：12223/2101/2,0/2/3tttaNNaaNy比如11223/23/221cov(,)(1)/2tttttNNyENNa ta11221212323/23/2111122?1()?11/2(0,)/2/3ttttttNyNNaNyNyNyNaNaa符合正态分布，可以构建传统的t、F 检验。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 29 页 -16（三）情形四的 DF检验法Dickey、Fuller还

30、考察了情形四的单位根检验问题，检验统计量同前。可以证明，在情形四下，检验用的t 统计量的极限分布为非正规分布，需要参考其特殊的临界值表。最后需要说明的是，DF 单位根检验法依赖于对数据真实生成过程的设定及估计模型类型的选择。如果模型选择不当，则可能会导致错误的结论。在实际应用中，应尽可能从被检序列的经济背景考虑数据的生成过程，以决定模型中是否应包含常数项。在没有先验信息的情况下，应尽量先采用较一般的模型进行检验，比如按照情形四进行单位根检验。第 4节PP 单 位 根检 验 法 与 ADF 单位 根 检 验法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 29 页 -17 DF

31、检验 要 求 模型 的 随机 扰 动 项t独 立同 分 布。但 在 实 际应 用 中 这一条 件 往 往不 能 满 足。一般来 说，如果 估计 模 型 的 DW 值 偏离 2 较 大，表明 随 机 扰动 项 是 序列 相 关 的，在 这 种情 况 下 使用DF 检 验可 能 会 导致 偏 误，需要 寻 找 新的 检 验 方法。本 节我 们 将 介绍 在 随 机扰 动 项 服从一般 平 稳 过程 的 情 况下，检 验单 位 根 的 PP 检 验 法和 ADF 检 验 法。一、PP（Phillips&Perron）检验首先考虑上一节情形二中扰动项为一平稳过程的单位根检验。假设数据由（真实过程）01

32、)(,jjtjtttttBuuyy(5.4.1)产生，其中t独立同分布，2)(,0)(ttDE。0)(jjjBB，其中 B 为滞后算子，其系数满足条件0jjj。在回归模型tttuyy1中检验假设：0;1:0H与 DF 检验（情形二）一样，模型参数的OLS 估计为：ttttttyyyyyyN112111?在1,0:0H成立 时，上式 可 改 写为：ttttttuyuyyyN1121111?以矩 阵NNd i a gA,21左 乘 上 式两 端，得名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 17 页，共 29 页 -18 ttttttttttttuyNuNyNyNyNuyuAAyyyNANN

33、111212111111211112123232111?利用 有 关 单位 根 过 程的 极 限 分布（参 见第 2 节），可 得)1(21)1()()()(11?02211022101021WWdrrWdrrWdrrWNNL其中)1(，0220ss。将统 计 量)1?(N的极 限 分 布分 离 出 来如 下：12211022011220011/?1LWWW r drNW rdrW r dr可整理为2101022022121010210221/1111?drrWdrrWdrrWdrrWdrrWWWNL(6.4.2)此式表明，)1?(N的极限为两项之和，其中第一项是tu为独立同分布时)1?(N的

34、极限分布(6.3.7)；第二项是由tu的自相关性产生的，当tu独立时，它等于零。说明(6.4.2)是(6.3.7)的推广。可以证明，统计量2?2?N有以下极限分布：210102202?21?drrWdrrWNL(6.4.3)与(6.3.8)式相比，此式多了一个因子20，它反映了扰动项自相关程度对2?2?N的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 18 页，共 29 页 -19 极限分布的影响。当扰动项相互独立时，,2,1,0,10jj，从而有20=1，(6.4.3)式就退化为(6.3.8)式。现利用统计量2?2?N对)1?(N进行修正，修正式如下：)?)(21)1?(22202sNN

35、(6.4.4)其中2s为02)(tuE的一致估计，结合(6.4.2)和(6.4.3)，有)?)(21)1?(22202sNN21010210221111drrWdrrWdrrWWWL(6.4.5)可以看出，修正后的统计量与DF 检验情形二中的统计量)1?(N的极限分布(6.3.7)一致，从而可用相同的临界值表。类似地，可以考虑t统计量的极限分布和修正方法，根据(6.4.2)和(6.4.3)，有LNNt212?2?)?(1?1?212101020022102121010210221/111drrWdrrWdrrWdrrWdrrWWW(6.4.6)对 t 统计量修正如下：sNt?2)(020(6.

36、4.7)结合(6.4.3)和(6.4.6)，有如下极限分布：sNt?2)(0202121010210221111drrWdrrWdrrWWWL(6.4.8)修正后的统计量与DF 检验情形二中的t 统计量有相同的极限分布(6.3.9)，从而名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 19 页，共 29 页 -20 可用相同的临界值表。但是，修正统计量(6.4.4)与(6.4.7)不能直接用于检验，因为其中含有未知参数0、，必需再进行修正。令)?)(?(21)1?(22202sNNZ(6.4.9)sNtZt?2)?()?(020(6.4.10)其中NjtjttjuuN11?、jqjqj?11

37、2?102，q 是残差序列自相关的最大阶数。理论上，2012jj可以证明，修正后的统计量tZZ、的极限分布与(6.4.5)、(6.4.8)相同，从而可由(6.4.9)或(6.4.10)计算统计量的值，然后与DF 检验临界值表中情形二的临界值进行比较，以判断序列是否存在单位根。此外，对于其它情形（情形一、四），Phillips&Perron 证明了，修正统计量Z和tZ的极限分布与 DF 检验中对应情形的极限分布相同，从而可使用 DF 检验的临界值表。综上所述，PP单位根检验法是针对扰动项存在序列相关性而提出的，该方法是对 DF 单位根检验法的进一步推广，其关键点是，在DF 检验统计量的基础上进行

38、修正，由于修正后的统计量与DF 检验中的统计量有相同的极限分布，因此可借用 DF 检验临界值表进行检验。下面给出 PP检验的步骤：（1）以最小二乘法估计回归模型，得到参数估计和残差序列；（2）计算残差序列的样本自协方差：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 20 页，共 29 页 -21 NjtjttjuuN11?，j=0,1,2,.及)1(的估计值：201?211qjjjq其中，q 的大小根据实际情况确定。若从某一阶之后（比如从第 h 阶之后），j?对2?的贡献可忽略不记，则q 取为 h。构造该估计量的Newey 和 West建议 q 取 3或 4。（3）计算参数估计量?的标准差

39、?和残差tu的估计方差22?21tuNs。（4）将上述计算结果代入Z或tZ统计量的表达式，得到统计量的值，查临界值并进行比较，然后作出推断。二、ADF（Augmented Dickey Fuller）检验ADF（Augmented DickeyFuller）检验法由 Dickey 和 Fuller 于 1979 年提出，该方法是对 DF 检验的推广，所以常称为增广DF 检验。其特点是，假设时间数据序列ty是由一个 P阶自回归过程 AR（P）生成的，然后建立估计模型并进行单位根检验。在介绍 ADF 检验法之前，先分析P阶自回归过程的特性。1、P 阶自回归过程的特性假设时间序列ty服从 AR(P)

40、过程：tptptttyyyy2211(6.4.11)其中，t为白噪声。利用滞后算子，可将上式表示为：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 21 页，共 29 页 -22 tyB)(ptptttyyyy2211ttppyBBB)1(221(6.4.12)令p211,2,1);(1pjpjj可将滞后多项式)(B分解成：)(B)1(221ppBBB)1)()1(11221BBBBBpp(6.4.13)则(6.4.12)式可转化为：tyB)(ttppyBBBBB)1)()1(11221整理可得：tptpttttyyyyy1122111(6.4.14)若服从(6.4.11)的序列有且只有一个

41、单位根，则其特征方程：01221ppzzz有且只有一个值为1 的根，从而有：011)1(21p上式等价于1。因此，对服从(6.4.11)的序列的单位根检验，就是检验模型(6.4.14)中是否有1。将模型(6.4.14)与(6.3.1)对比可以发现，模型(6.4.14)中多了ty的 p-1 个滞后项。如果将这些滞后项归到随机扰动项中，则扰动项就成为序列相关的平稳过程，这样，在模型(6.4.14)中检验单位根，实际上就是对扰动项为一平稳过程的名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 22 页，共 29 页 -23 单位根检验。因为事实上，由(6.4.13)式可得特征多项式的如下表示形式：)

42、(z)1(221ppzzz)1)()1(11221zzzzzpp当序列有且只有一个单位根时，1，从而有)1(221ppzzz)1)()1(11221zzzzzpp)1)(1(11221zzzzpp使上式左边为零的根中，除了一个根为1 外，其余的根全在单位圆之外。这一结论对于等式右边也成立，因此0)1(11221ppzzz的根全在单位圆之外。这样，滞后多项式)(BC112211ppBBB的逆存在，在1为真的情况下，(6.4.14)式可写成：ttppyBBB)1(11221(6.4.15)进一步可表示为：ttttuBBCy)()(1(6.4.16)其中，)()(1BCB为一无穷阶的滞后多项式。(6

43、.4.16)式恰好为模型(6.4.1)在1时的形式。说明在模型(6.4.14)中检验单位根，与 PP单位根检验在本质上是相通的。正因如此，基于模型(6.4.14)的单位根检验被称为增广DF 检验。2、ADF 检验：与 DF 检验一样，ADF 检验也分为四种情形建立估计模型，并在其中进行名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 23 页，共 29 页 -24 单位根检验。情形一：数据序列由模型(6.4.14)生成，并在其中单位根，即1:0H。情形二：数据序列由模型(6.4.14)生成，在如下估计模型中检验1:0H。tptpttttyyyyy1122111(6.4.17)情形三：数据序列由

44、模型(6.4.17)生成，在其中检验1:0H。情形四：数据序列由模型(6.4.17)生成，在如下估计模型中检验1:0H。tptpttttyyyyty1122111(6.4.18)首先考察情形二：（1）可以证明，在1:0H成立时，对模型(6.4.17)进行最小二乘估计，得到的?是的超一致估计，并且有如下极限：1211)1?(pN21010210221111drrWdrrWdrrWWWL(6.4.19)可见，此极限分布与DF 检验情形二中统计量)1?(N的极限分布(6.3.7)一致，从而可用相同的临界值表。但是，上述统计量中含有未知参数，因此不能直接用于检验。现用j（j=1,2,p-1）的最小二乘

45、估计j?代替j，得修正统计量：121?1)1?(pADFNZ(6.4.20)该统计量的极限分布与(6.4.19)相同。（2）对于检验1:0H的 t 统计量，可以证明有如下极限分布：2121010210221?111?1?drrWdrrWdrrWWWtL(6.4.21)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 24 页，共 29 页 -25 此极限与 DF检验情形二中 t统计量的极限分布(6.3.9)是完全一致的。说明在 ADF检验中，不需要对t 统计量进行修正，就可直接利用DF 检验中的临界值表进行检验。ADF 与 DF 单位根检验的 t 统计量分布完全重合（T=100）这与 PP检验

46、形成鲜明对照。我们知道，在PP检验中，需要对t 统计量进行修正。其原因主要是，PP 检验中对回归系数的最小二乘估计没有考虑受扰动项序列相关性的影响。当扰动项序列相关时，最小二乘估计?是的超一致估计，但 t 统计量的极限分布由于受扰动项序列相关性的影响而发生了变化，为了能借名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 25 页，共 29 页 -26 用 DF 检验临界值表，就必须对 t 统计量进行修正，修正后的统计量tZ（见(6.4.10)）的极限分布才与DF 检验情形二中 t 统计量的极限分布相同。ADF 检验则不同，在该检验法中，?和j?是同时估计的，由于增添了ty的滞后项，随机扰动项不

47、再序列相关，因此在构造t 统计量时不需再作修正。（3）可以证明，滞后项ty的系数估计量j?有正态的极限分布，从而对参数j的假设检验可由一般的t 统计量和 F 统计量进行检验，临界值可在一般的t分布和 F 分布表中查得。（4）对于联合假设0,1:0H，可用 F 统计量进行检验。F 统计量为)1/(?2/)?(222pNRRRF(6.4.22)其中，2R为有约束的残差平方和，2?R为无约束的残差平方和，2 为假设中受约束的个数，p+1 为模型中待估参数的个数。F 检验统计量的极限分布存在，但不再是标准的 F 分布，相应的临界值已由人们用Monte Carlo 模拟方法得到并编制成表供查。此外，Di

48、ckey 和 Fuller 还证明了，对于情形一和情形四，检验1:0H的ADFZ统计量：121?1)1?(pADFNZ和 t 统计量：?1?t都有非常规的极限分布，它们的极限分布与DF 检验中对应情形的极限分布完全一致，从而可直接使用DF 检验对应情形的临界值表。而对于情形三，t 统计量的极限分布为常规的t 分布，因此可用常规的t 检验，临界值由t 分布表查得。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 26 页，共 29 页 -27 上面我们对 ADF 检验的相关理论做了简要介绍。在实际应用中，出于理论上和实践上的考虑，常用如下三种回归模型进行ADF 检验：tkiitittyyy11(

49、6.4.23)tkiitittyyy11(6.4.24)tkiitittyyty11(6.4.25)在模型中引入足够的滞后项ity，目的在于使残差白化。因此，检验单位根的假设1:0H在上述模型中就变为0:0H。五、其它高效的单位根检验法简介在样本数较小时，DF 单位根检验的检验功效是很低的，这时常常会将平稳过程误判为存在单位根。ADF 与 PP 的检验功效尽管有所改善，但也并不让人特别满意。为了解决这个问题，人们从不同的角度，提出了各种提高单位根检验功效的检验方法。（一）WS（对 称 加 权）检 验1994 年，Pantula等 人 提 出 WS对 称 加 权 检 验 法。用 后 向 延 迟

50、和 前 向 延 迟 两个 回 归 式，通 过 求 两 个 残 差 加 权 平 方 和 的 最 小 值 来 估 计?及 其 方 差?：12211121()()(1)()TTttttttttQwyywyy（7.52）其 中 权 重(1)/twtT。通 过 使()Q最 小 来 估 计 回 归 系 数?及 其 方 差?，然 后 用 DF 检 验 同 样 的 方 法来 构 造 统 计 检 验 量。（二）RMA（递 归 均 值 调 整）检 验2001 年，Dong Wan Shin等 人 提 出 RMA递 归 均 值 调 整 单 位 根 检 验 法。其 基本 设 想 是 用 递 归 平 均 取 代 样 本