2022年理想流体动力学 .pdf
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1、第六章理想流体动力学工程实际问题中事实上不存在无粘性的理想流体,但是在分析研究工程中的流动现象时,有时将流体视为理想流体以简化研究,由此得到的结果在适当修正后仍有相当高的工程精度。在本章以下讨论中,都将忽略流体的粘性。本章同时假定研究的流动是定常的,因而先后通过同一空间点的流体质点的物理量都不随时间变化,由于这些物理量,如压强,速度分量都以欧拉法表示,因此它们都是空间或平面上点的位置的坐标函数,与时间无关。6.1 流体微团的运动分析6.1.1 亥姆霍兹速度分解定理在定常流动中,以欧拉法表示的流体质点速度的三个投影xv,yv,zv都是质点所在位置的坐标x,y,z的函数。设一空间点0M的坐标为x,
2、y,z,它邻域内另一空间点1M的坐标为,xdx ydy zdz,在一确定时刻,0M处流体质点的速度投影xv是以这点坐标给出的函数值,同一时刻,位于1M处水质点速度在x 轴上投影xv是1M点坐标按同一函数确定的另一确定值。由于xv是一多元函数,xv的近似值可以按泰勒展开原则以xv及其导函数表示:xxxxxvvvvvdxdydzxyz根据需要,将上式整理成为:1111()()()()2222xxyxzxzyxxxvvvvvvvvvvvdxdydzdzdyxyxzxzxxy或xxxxxyxzyzvvdxdydzdzdy上式中,xxxyxzyz的定义见式(6-2)同样,1M处流体质点的速度矢量在y,z
3、 轴上投影yv和zv也可以导出类似的表达式,现将三个投影表达式写出如下:xxxxxyxzyzyyyxyyyzzxzzzxzyzzxyvvdxdydzdzdyvvdxdydzdxdzvvdxdydzdydx(6-1)式中,名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页,共 31 页 -1()21()21()21()21()21()2xyzxxyyzzxyxyyxyzyzzyzxzxxzzyxxzyyxzvvvxyzvvyxvvzyvvxzvvyzvvzxvvxy,(6-2)不难理解,由式(6-2)定义的各个系数,在定常流动中,都是地点坐标x,y,z的函数且应取0M处的坐标值。式(6-1
4、)表明,0M点邻域内1M点处流体质点的速度投影可以用0M处速度投影及它们在0M处的导数近似表示,这一表示称为亥姆霍兹速度分解定理。6.1.2 速度分解的物理意义下面分析式(6-2)定义的各项的物理意义。为清楚说明问题,考查一结构较简单的平面流动。这种情况下,流体质点都在xoy 平面上流动,速度矢量在z 轴投影0zV,在定常流动的欧拉表达式中,速度在x,y轴上投影,xyV V只是平面坐标x,y 的函数。于是,式(6-2)中z zyzz y0z xx zxy,方程(6-1)简化为dxdydxvvdydydxvvzyyyxyyzxyxxxx(6-3)在 xoy 平面上取一各边与坐标轴平行的矩形流体微
5、团,通过分析这一平面流体微团的运动与变形即可认识式(6-2)中各非零项的物理意义。这里应说明,流体微团与流体质点是两个不同的概念。流体质点指可以忽略尺寸的流体最小单元,大量连续分布的流体质点构成了一流体微团,流体微团在随流运动中可以改变其空间位置和形状。1.平移运动。图 6.1a 中,平面矩形流体微团四个顶点A、B、C、D所在点坐标为(x,y),(x+dx,y),(x+dx,y+dy),(x,y+dy).A点处流体质点速度的在x,y 轴投影分别为,xyV V,假设方程(6-3)中0 xxyyxyyxz,方程(6-3)成为xxyyvvvv名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页,
6、共 31 页 -DCBAa)ODCBACBADCBADCBADCBCBdDDCBDddydtxxOxOxOyb)d)c)yyyeedxdtxxyydydteedxdt图 6-1 平面流体微团速度分解这表明,A点邻域矩形流体微团中任一流体质点与A点处流体质点运动速度完全相等,流体微团象刚体一样在自身平面作平移运动。2.线变形运动由于平面上B点与 A点的 x,y 坐标差分别为dx 和 0,由泰勒展开,B点处流体质点速度x 投影xv可以用 A点处的投影值xv及其导数表示:xxxxxxxvvvvdxdyvdxxy。经过 dt 时间段,A 处流体质点向右水平位移xv dt(假定xv0),B处流体质点水平
7、右移()xxxxv dtvdx dt,两质点在水平方向距离由原来的 dx 改变成为()xxxxxxvdx dtdxv dtdxdtdx,水平距离的改变量为()xxxxdxdtdxdxdxdt,那么,在单位时间单位距离上两流体质点水平距离的改变量显然为/xxxxdxdt dxdt,这就是xx一项的物理意义。同样可以说明,yy是铅垂方向上两流体质点在单位时间单位距离上距离的改变量。如果xx和yy都不等于 0,原矩形 ABCD 的长边与短边都将随时间伸长或缩短,变成一新的矩形DCBA,如图(6-1b)。矩形边的这种伸缩变形叫流体线变形运动。由于刚体的固体质点之间连线长度不会变化,因而刚体在运动中不存
8、在这种线变形运动。3.旋转运动设 A点处流体质点静止,即0 xyvv,B点与 A 点 y 坐标差0dy,令0 x xy y,即流体无线变形运动,再假定0yxxy,由式(6-3),B点处流体质点0,xyzvvdx,即 B 点处流体质点向上运动;在类似假定下,可以得到D 处流体质点,0 xzyvdy v,质点 D向左运动,(假定0z)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页,共 31 页 -或者说,AB和 AD以相同的角速度z绕 A点同向旋转,因而流体微团以这一角速度逆时针绕A点旋转。如图(6-1c)。这种运动与刚体作绕轴旋转的方式一致。4.纯剪变形运动设 A点处流体质点静止,即0
9、 xyvv,同时假定0 xxyyz,即流体微团设有发生线变形,也未绕 A 点旋转。B点与 A点 y 坐标之差 dy=0,由方程(6-3)可得到流体质点B点的0,xyyxvvdx,即质点 B 向上运动(设0yx),在类似假定下,可以得到D点流体质点,0 xxyyvdy v,D处流体质点向右运动(设0 xyyx),B、D两流体质点这种运动的结果,使原平面矩形微团ABCD变成一平行四边形A B C D,如图(6-1d)。流体微团的这一运动称为纯剪变形运动。这种变形运动也是流体特有的,刚体固态质点不可能出现这种运动。上面分析了平面流体微团的变形形式,即微团除平面平移和旋转外,还可能发生线变形和纯剪变形
10、运动,这些运动实际是同时发生的。这一分析可以推广到空间,式(6-2)定义的全部符号的物理意义在分析中得到了说明。空间或平面每个点处都分布了一流体质点的速度矢量v,同时还可以在每个点处定义一旋转角速度矢量,它在 x,y,z 坐标轴上的投影分别是,xyz,即=xi+yj+zk,由于,xyz都是空间或平面上点的坐标 x,y,z的函数,因而旋转角速度矢量也是以欧拉法表示的。如果一个流动区域内处处都是零矢量,即0 xyz,或者说由式(6-2),下面关系成立zyxzyxvvyzvvzxvvxy(6-4)这一区域内的流动称为无旋或有势流,否则流动是有旋的。有旋流动与无旋流动是两类性质有较大差别的流动。值得注
11、意的是,从上面分析还可以看出,一点处的旋转角速度矢量是描述局部流体微团旋转特征的一个物理量,一点处这一矢量不为零矢量,说明这点处的流体微团围绕微团中某一点旋转。流动是有旋或无旋与流动的宏观流线或迹线是否弯曲无关。6.2 速度势函数与流函数6.2.1 速度势函数在无旋的空间流动中,每点处的旋转角速度矢量=xi+yj+zk 都是零矢量,这就要求0 xyz,即式(6-4)给出的关系成立。则有;既;由数学分析可知,如果三个关于x,y,z的函数,xyzv v v满足关系式(6-4)时,xyzv dxv dyv dz是一0)(21zvyvyzx0)(21yvxvxyz0)(21xvzvzxyzvyvyzy
12、vxvxyxvzvzx名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页,共 31 页 -个 x,y,z的函数(,)x y z的全微分,即xyzdv dxv dyv dz(6-5)另一方面,的全微分d又等于ddxdydzxyz(6-6)比较式(6-5)和(6-6)可以得到xyzvvvxyz,(6-7)满足式(6-7)的由流动无旋条件确定的函数(,)x y z称为无旋流动的势函数。这就是无旋流又叫有势流的原因。对一个无旋流,如果求解出它的势函数,由式(6-7)就可以找到流场的速度分布,进一步可以得到流场的压强分布。寻求一个函数表达式显然要相对容易一些,这就是在无旋流中引入势函数的原因。势函
13、数有如下一些特征。1.不可压缩无旋流动的势函数是调和函数。不可压缩三维流动的连续性方程为0 xyzvvvxyz将式(6-7)代入上式得到()()()0 xxyyzz或2222220 xyz上面这一方程叫拉普拉斯方程,满足拉普拉斯方程的函数叫调和函数,不可压缩有势流动的势函数是一调和函数。2.存在势函数(,)x y z的流动是一无旋流动。流场中一点旋转角速度矢量在x 轴上投影x,由定义式(6-2),应为1()2zyxvvyz如果流动存在势函数中,那么必须满足式(6-7),将式(6-7)代入上式,得到2211()()()022xyzzyy zz y同样可以证明的另外两个投影0yz,这就表明,当流动
14、存在势函数时,流动区域内处处旋转角速度矢量都是零矢量,流动是无旋的。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页,共 31 页 -3.等势面与流线正交令一有势流动的势函数(,)x y z等于一常数C,得到一方程(,)x y zC (6-8)这一方程的几何意义是一张空间曲面(平面问题中得到一平面曲线),这一曲面称为势函数的等值面。等值面上每一点的坐标都满足方程(6-8)。一流场中显然有无穷多张等值面,它们对应于方程(6-8)中的右边不同的常数。在一等值面上取一点A,并在其邻域内另取一曲面点B,从 A点到 B点的矢量记为dl,如图 6-2。设矢量在三个坐标轴上投影分别为dx,dy,dz
15、,于是 dl 可写成 dl=dxi+dyj+dz k。A点处速度矢量v 等于 v=vxi+vyj+vzk。现计算上述两个矢量的点积dl?)(dzkdyjdxiv?ddzvdyvdxvkvjvivzyxzyx)(图 6-2 等势面与流线d为 A、B两点处势函数之差,由于A、B两点在同一等势面上,因而这两点势函数值相等,0d。这说明矢量v 与 dl 正交。B 点在等势面上的位置事实上是任意的,因此速度矢量v 与过 A 点的曲面上任意一微线段正交,v 在 A 点与等势面正交。通过 A点的流线与A点处速度矢量相切,由此可以得到流线与等势面正交的结论。给定一无旋场速度投影,xyzv v v的欧拉表达式后
16、,势函数可以通过积分方程(6-5)获得。由于有势流动速度的三个投影量满足关系式(6-4),式(65)右端积分结果与所选路径无关。?为此,可选择一最简单的折线连接给定任意起点000(,)xyz与终点(,)x y z,积分结果是,x y z的函数,即势函数。随初始点选择不同,结果中的常数项是不一样的,但这并不影响势函数的性质,势函数加减一常数后仍然是势函数。例 6-1 一平面定常不可压缩流动的流线为通过原点的向外发射的射线,速度大小v 反比于这点到原心距离/2rvqr:(q 是正常数)。证明这一流动是有势的,求解势函数,并证明所得势函数是一调和函数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第
17、 6 页,共 31 页 -图 6-3 平面有势流动解:在图 6-3 中,平面上任一点A 到原心距离为r,通过这点的射线与x 轴正向夹角为。设 A 点的直角坐标为,x y,显然有222rxy,sin/y r,cos/x r。A 点处速度矢量与通过A 点流线相切,也沿半径向外,其大小/2vqr。由图 6-3 可以得到速度在x,y 轴的投影表达:222222cos222sin222xyqqxqxvrrxyqqyqyvrrxy这样就把平面上一点处的速度投影写成了这点坐标(x,y)的函数,即以欧拉法表达了速度投影值。由于222()xyvvqxyyxxy因此,xyv v满足方程(6-4),流动是有势的。在
18、利用方程(6-5)求解势函数时,由于方程右端积分与积分路线无关,因此选择通过(0,1),(x1,0),(x1,y1)三点的简单折线进行积分,在运算中,应将(x1,y1)视为常数。22111122221,01,011,()2lnln122xyx yx yqxyv dxv dydxdyxyxyqqxy势函数加减一常数后仍然为势函数,因而ln12q项可以不写出。x1,y1事实上任意的,分别以x,y代替它们,得到势函数为22ln2qxy由于22222222222222()02()()qyxxyxyxyxy所得势函数是调和函数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页,共 31 页 -6
19、.2.2 流函数连续的平面流动存在流函数。应说明,空间三维流动并不与流函数这一概念相联系。不可压缩平面流动的连续性方程为0 xyvvxy或xyvvxy(-)(6-9)由数学分析可知,当两个关于x,y的函数,xyvv满足(6-9)式时,yxv dxv dy是一个 x,y的函数(,)x y的全微分,即yxdv dxv dy(6-10)另一方面,的全微分d可以写成:ddxdyxy(6-11)比较式(6-10)和(6-11)可以得到yxvvxy,(6-12)满足式(6-12)的函数(,)x y称二维连续流动的流函数。流函数有如下性质:1.有势平面流动的流函数是调和函数平面流动无旋的条件是平面上处处0z
20、,即1()02yxvvxy,将式(6-12)代入,有()()0 xxyy或22220 xy这表明,有势二维流动的流函数满足二维拉普拉斯方程,是一调和函数。2.沿一条流线的流函数是常数图 6-4 中给出了平面流动的一条流线。在流线上取一微段ds,设 ds在 x,y 轴上投影分别为dx,dy,如果把 ds 视为一矢量ds,那么 ds=dxi+dyj。微线段上一点的速度矢量xyv=v i+v j。由于速度矢量v 与流线相切,因而 v 与 ds 是两个平行矢量,于是有关系:名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页,共 31 页 -xydxdyvv或0yxv dxv dy将式(6-12)
21、代入上式,得到0dxdyxy或0d,即Cyoxvsvvdxdydsxy图 6-4 流函数性质推导这就证明了沿一条流线各点的流函数值相等。如果令流函数(,)x y等于一系列的常数值,所得各方程代表了平面上一系列流线。3平面流动中,通过连接平面上两给定点的曲线所代表的单位厚度的曲面的流量等于两给定点处流函数值之差。在图 6-5 中,平面上两给定点A,B处流函数值分别为常数BA,。察现考察流过连接A,B 两点的任意曲线的流量q。这一曲线实际代表了一高度为一单位且与平面正交的曲面。在曲线上取一微弧段ds,它在x,y 轴上投影分别为dx,dy。ds 上各点处的流体质点的速度在两坐标轴上投影,xyv v可
22、视为常数。由于流体不可压缩,通过微曲面ds 的流量dq显然等于流体通过微直线段dx 的流量dxvy-和水流通过微直线段dy 的流量dyvx之和,即dyvdxvdqxy,式中右边第一项出现了负号是因为在图示情况下,yv本身是负的,当 dx 为正时,加负号后才可表示正的流量值。代入式(6-12),上式成为ddyydxxdq,积分该式就得到通过给定曲线的流量q:BAABddqqAb名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页,共 31 页 -yxodydxyvABdsdsvvx图 6-5 流函数性质3 的证明4流函数的求解在以欧拉法给定了速度矢量两个分量,xyv v后,通过积分式(6-1
23、0)可得到流函数(,)x y。由于关系(6-9),这一积分结果与积分路线无关。与求解势函数一样,也应选择一最简单的平面折线完成线积分。例 6-2 一平面定常流动的流函数为(,)3x yxy试求速度分布,写出通过A(1,0),和 B(2,3)两点的流线方程,并计算这两点流线之间的通过流量。解:由式(6-12)有1xvy3yvx平面上任一点处的速度矢量大小都为221(3)2,与 x 轴正向夹角都是0arctan(3/1)60。这种速度分布不随地点变化的平面流叫平面均匀流。A点处流函数值为3?301,通过 A点的流线方程为33xy。同样可以求解出通过 B点的流线方程也是33xy。可以看出,A,B两点
24、实际上是在同一流线上。通过 A,B连线流量为3(3)0,这一结果从A,B在同一流线上这一事实也可得到。例 6-3 计算例 6-1 中平面流动的流函数,并证明所得流函数是一调和函数。解:在例 6-1 中已得到了速度投影的以平面直角坐标表达的结果,xyv v,将它们带入式(6-10),有222222qyqxddxdyxyxy积分上式就能得到流函数。由于这一积分与平面上积分路径无关,积分路线选取经过)0,1(,)0,(1x,11(,)xy的简单折线。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页,共 31 页 -1,122221,011()2arctan()2x yqyxdxdyxyxy
25、qyx11(,)x y实际上平面上任一点的坐标,因而可以用x,y 代替 x1和 y1,流函数成为arctan()2qyx。流函数加上任一常数后并不影响其性质,仍然称为原平面流动的流函数。6.2.3 平面有势流动的势函数与流函数的关系由式(6-7)和(6-12)可以看出,平面有势流动的势函数和流函数有如下关系:,xvyxyvxy(6-13)在讨论势函数的性质时,曾证明了势函数的等势面与流线正交。在平面定常有势流动中,势函数只是x,y 的二元函数,令其等于一常数后,所得方程代表一平面曲线,称为二维有势流动的等势线。平面流动中,平面上的等势线与流线正交。平面上若干等势线与流线构成了正交曲线网。6.2
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