2022年2022年江西省高考压轴卷数学文试题 .pdf

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1、江西省 2013届高考压轴卷数学文试题本试卷分第I 卷和第 II 卷两部分考试时间120 分钟，满分150 分请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上参考公式：棱台的体积公式11221()3VSh SS SS其中12,S S分别表示棱台的上、下底面积，h 表示梭台的高球的表面积公式24 RS球的体积公式334RV球其中 R 表示球的半径第 I 卷一、选择题：本大题共10 小题,每小题 5 分,共 50 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(1)已知集合1,2,aABa b若12ABI,则ABU为A1,1,2bB11,2C11,2D1 1,12（）(2)已知2ii(,)i

2、aba bR，其中i为虚数单位，则ab(A)1(B)1(C)2(D)3(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行（4）设()f x为定义在R上的奇函数，当0 x时，()22xf xx b(b为常数)，则(1)f(A)3(B)1(C)-1(D)3(5)已知 a0,b1）时，函数()nfx表示函数1n-fx()的导函数.若输入函数1sincos()fxxx，则输出的函数()nfx可化为 _ _。(13)如图，若一个几何体的正视图、侧视图、俯视图相同，且均为面积等于2的等腰直角三角形

3、，则该几何体的体积为(14)已 知na是 一 个 公 差 大 于0的 等 差 数 列，且 满 足16,557263aaaa.令1421nnab)(Nn，记数列nb的前n项和为nT，对任意的nN，不等式100nmT恒成立，则实数m的最小值是.(15)(根据浙江高考题改编)若不等式211axbxc的解集为(1,3)，则实数a的取值范围是三、解答题：本大题共6 小题，共75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤开始输入 f1(x)fn(x)=fn-1(x)是否n=2 n=n+1 n 013？输出 fn(x)结束第 12 题图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 11 页

4、 -EDCBA16（本题满分11 分）如图，在ABC中，ADBC，垂足为D，且:2:3:6BD DCAD（）求BAC的大小；（）设E为AB的中点，已知ABC的面积为15，求CE的长17（本题满分11 分）现有4 个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目联欢，掷出点数为1 或 2 的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2 的人去参加乙项目联欢.（I）求这 4 个人中恰好有2 人去参加甲项目联欢的概率；（II）求这 4 个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率；（III）用,X Y分别表示

5、这4 个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记XY，求随机变量的分布列与数学期望E.18（本题满分11 分）如图，在三棱锥ABCD中，90ABCBCDCDA，63,6ACBCCD，设顶点A在底面BCD上的射影为E（）求证:CEBD；（）设点G在棱AC上，且2CGGA，试求二面角CEGD的余弦值19（本题满分14 分）如图，在矩形ABCD中，8,4,ABBCE F G H分别为四边的中点，且都在坐标轴yxoMQPHGFDCA G E D C B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 11 页 -上，设OFOP,)0(CFCQ（）求直线EP与GQ的交点M的轨迹的方程；（）过圆2

6、22xyr(02)r上一点N作圆的切线与轨迹交于,S T两点，若02rNTNS，试求出r的值20（本题满分14 分）已知函数2()2lnfxxax（）若4a，求函数()f x的极小值；（）设函数()cos2g xx，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量(1,2,3)ix i使得()()iif xg x的值相等，若存在，请求出a的范围，若不存在，请说明理由？21、（本题满分14 分）对于给定数列nc，如果存在实常数,p q使得1nncpcq对于任意*nN都成立，我们称数列nc是“T数列”（）若nan2，3 2nnb，*nN，数列na、nb是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数,p q，若

7、不是，请说明理由；（）证明：若数列na是“T数列”，则数列1nnaa也是“T数列”；（）若数列na满足12a，)(23*1Nntaannn，t为常数求数列na前2013项的和江西省高考压轴卷数学（文）试题参考答案一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分（1）1已知集合1,2,aABa b若12ABI,则ABU为A1,1,2bB1 1,2C11,2D11,12（）（选题意图：主要考查集合的表示、集合的运算。）选 D(2)已知2ii(,)iaba bR，其中i为虚数单位，则ab(A)1(B)1(C)2(D)3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 11 页

8、 -【答案】B【解析】由+2i=+iiab得+2i=i-1ab,所以由复数相等的意义知=1,=2ab,所以+=a b1.另解：由+2i=+iiab得i+2=+iab(,)a bR，则1,2,1abab.故选 B.【命题意图】本题考查复数相等的意义、复数的基本运算，属保分题。(3)在空间，下列命题正确的是（A）平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案。【命题意图】考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础

9、题。（4）设()f x为定义在R上的奇函数，当0 x时，()22xf xx b(b为常数)，则(1)f(A)3(B)1(C)-1(D)3【答案】D【解析】由()f x为定义在R上的奇函数可知0(0)210,1fbbb，于是(1)(1)(221)3ff，故选 D.(5)已知 a0,b0,a+b=-2 若bac11，则 c 的最值为()A最小值-1 B最小值-2 C最大值-2 D最大值-1（编题意图：本题考查基本不等式的应用及函数最值问题。）选 C（6）样本中共有5 个个体，其值分别为,0,1,2,3a.若该样本的平均值为1，则样本方差为（A）65(B)65(C)2(D)2【答案】D【解析】由题意

10、知1(0123)15a，解得1a，故样本方差为2222221(11)(01)(1 1)(21)(31)25S,故选 D.【命题意图】本题考查样本平均数、方差的计算，属于基础题.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 11 页 -(7)【原创】已知有相同两焦点F1、F2的椭圆25x+y2=1 和双曲线23x-y2=1，P 是它们的一个交点，则F1PF2的面积是（）A2 B3 C1 D4(8)设数列na是等比数列，则“123aaa”是数列na是递增数列的(A)充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件(D)既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由123aaa，设

11、数列na的公比为q,得2111aa qa q，则11,0qa，数列na为递增数列；反之，若数列na是递增数列，则公比11,0qa所以2111aa qa q，即123aaa，故“123aaa”是数列na是递增数列的充分必要条件.【命题意图】本题主要考查等比数列以及充分必要条件的相关知识，属于基础题.(9)设变量,x y满足约束条件20510080 xyxyxy，则目标函数34zxy的最大值和最小值分别为(A)3,11(B)3,11(C)11,3(D)11,3【答案】A【解析】作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x-4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3；当

12、直线z=3x-4y平移到点（3，5）时，目标函数z=3x-4y取得最小值-11，故选 A。【命题意图】本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x-4y的几何意义是解答好本题的关键。(10)定义平面向量之间的一种运算“e”如下，对任意的a=(m,n)r，bp,q)r（，令ab=mq-nprre，下面说法错误的是（）A.若ar与br共线，则ab=0rreB.ab=barrrree8xy510 xy340 xy20 xyyxO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 11 页 -C.对任意的R，有a)b=(rre（ab)rreD.2222(ab)+(a

13、b)=|a|b|rrrrrre【答案】B【解析】若ar与br共线，则有ab=mq-np=0rre，故 A 正确；因为bapn-qmrre，而ab=mq-nprre，所以有abbarrrree，故选项B 错误，故选B。【命题意图】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力。二、填空题：本大题共5 小题，每小题5 分，共 25 分114312（编题意图：本题主要考查程序框图，解题的关键是识图，特别是循环结构的使用、同时考查周期性及三角变换。）xsin(2)41314 100 151122a三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分，解答应写出文

14、字说明，证明过程或演算步骤。16（本小题满分1 分）解：（I）由已知得11tan,tan32BADCAD,2分则1132tantan()111132BACBADCAD,4分又(0,)BAC,故4BAC 5分（II）设2(0)BDt t,则3,6DCt ADt,由已知得21515t,则1t,故2BD,3,6DCAD,7分则10,3 52ABAEAC，9分由余弦定理得5CE11分17（本小题满分11 分）EDCBA名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 11 页 -解：依题意，这4 个人中，每个人去参加甲项目联欢的概率为13，去参加乙项目联欢的概率为23.设“这 4 个人中恰

15、有i人去参加甲项目联欢”为事件iA，(0,1,2,3,4)i，则4412()()()33iiiiP AC.（）这 4 个人中恰好有2 人去参加甲项目联欢的概率22224128()()()3327P AC-4 分（）设“这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数”为事件B，34BAA，故334434441211()()()()()()3339P BP AP ACC.这 4 人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率为19.-7 分(III)的所有可能取值为0,2,4.28(0)()27PP A，1340(2)()(),81PP AP A0417(4)()(),8

16、1PP AP A所以的分布列是0 2 4 P8274081178114881E.-11分18（本小题满分1 分）证明：（I）方法一：由AE平面BCD得AECD，又ADCD，则CD平面AED，故CDDE，2分同理可得CBBE，则BCDE为矩形，又BCCD，则BCDE为正方形，故CEBD4分方法二：由已知可得62ABBDAD，设O为BD的中点，则,AOBD COBD，则BD平面AOC，故平面BCD平面AOC，则顶点A在底面BCD上的射影E必在OC，故CEBD名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 11 页 -NTSyxoHGFDC（II）方法一:由（I）的证明过程知OD平面A

17、EC，过O作OFEG，垂足为F，则易证得DFEG，故OFD即为二面角CEGD的平面角，7分由已知可得6AE，则2AEAG AC，故EGAC，则2 32CGOF，又3 2OD，则30DF，9分故10cos5OFD，即二面角CEGD的余弦值为105 11分方法二:由（I）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，则(0,0,0),(0,6,0),(0,0,6),(6,0,0),(6,6,0)EDABC，可得(2,2,4)G，7分则)4,2,2(),0,6,0(EGED，易知平面CEG的一个法向量为)0,6,6(BD，设平面DEG的一个法向量为)1,(yxn，则由00EGnEDn得)1,0,2(

18、n，9 分则510cosnBDnBDnBD，即二面角CEGD的余弦值为105 11 分19（本小题满分4 分）解：（I）设(,)M x y，由已知得(4,0),(4,22)PQ，则直线EP的方程为22xy，直线GQ的方程为22xy，4分消去即得M的轨迹的方程为221(0)164xyx6分（II）方法一：由已知得2NS NTON，又ONST，则OSOT，8 分设直线:(2)STykxm m代入221164xy得222(14)84160kxkmxm，设1122(,),(,)S xyT xy，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 11 页 -则21212228416,1414

19、kmmxxx xkk10 分由OSOT得12120 x xy y，即221212()(1)0km xxkx xm，则22516(1)mk，12分又O到直线ST的距离为21mrk，故4 5(0,2)5r经检验当直线ST的斜率不存在时也满足14分方法二：设00(,)N xy，则22200 xyr，且可得直线ST的方程为200 x xy yr 10 分代入221164xy得2222420000(4)84160yxxr x xry，由2NS NTON得220200120(1)()()xxxxxry，即201212()xxxx xr，12 分则2242200220084164r xryryx，故4 5(

20、0,2)5r 14分20（本小题满分5 分）解：（I）由已知得244(1)()4xfxxxx，2分则当01x时()0fx，可得函数()f x在(0,1)上是减函数，当1x时()0fx，可得函数()f x在(1,)上是增函数，5分故函数()f x的极小值为(1)2f 6分（II）若存在，设()()(1,2,3)iif xg xm i，则对于某一实数m方程()()fxg xm在(0,)上有三个不等的实根，8分设2()()()2lncos2F xf xg xmxaxxm，则()42sin 2(0)aFxxx xx有两个不同的零点 10分方法一：242 sin 2(0)axxx x有两个不同的解，设2

21、()42 sin 2(0)G xxxx x，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 11 页 -则()82sin 24 cos22(2sin 2)4(1cos2)Gxxxxxxxxx，设()2sin 2h xxx，则()22cos 20h xx，故()h x在(0,)上单调递增，则当0 x时()(0)0h xh，即2sin2xx，12分又1 cos20 x，则()0Gx故()G x在(0,)上是增函数，13分则242 sin 2(0)axxx x至多只有一个解，故不存在 14分方法二：关于方程042sin 2(0)axxxx的解，当0a时，由方法一知2sin2xx，则此

22、方程无解,11 分当0a时，可以证明()42sin 2(0)aH xxxxx是增函数，则此方程至多只有一个解，故不存在 14分21、解：（）因为2,nan则有12,nnaa*nN故数列na是“T数列”，对应的实常数分别为1,2因为3 2nnb，则有12nnbb*nN故数列nb是“T数列”，对应的实常数分别为2,0-4分（）证明：若数列na是“T数列”，则存在实常数,p q，使得1nnapaq对于任意*nN都成立，且有21nnapaq对于任意*nN都成立，因此1212nnnnaap aaq对于任意*nN都成立，故数列1nnaa也是“T数列”对应的实常数分别为,2pq-8分（）因为*132()nnnaatnN，则有22332aat，44532aatL L，20112010aa201023t，20132012aa201223t。故数列na前2013项的和)(3212013aaaS)(54aa)(20112010aa)(20132012aa2232t423t201023t201223t)42(22014t-14分名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 11 页 -