概率论与数理统计及其应用第二版课后答案浙江大学.docx

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1、概率论与数理统计及其应用习题解答第1章随机变量及其概率1,写出以下试验的样本空间：(1)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。(2)连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。(3)连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。(4)抛一枚硬币，假设出现H那么再抛一次；假设出现T,那么再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解：(1)S = 2,3,4,5,6,7； S = 2,3,4, ； S = H ,TH ,TTH ,TTTH, ；(4) S=HH ,HT,T1,T2,T3,T4,T5,T6 2,设A,8是两个事件， 尸= 0.25,

2、尸= 0.5,尸(A3) = 0.125,，求P(Au B), P(AB), P( AB), P( A u 3)( A3)。解：P(A u 8) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.625，P(AB) = P(S - A)B = P(B) - P(AB) = 0.375，P(AB) = l-P(AB)-0.875 ,P( A u = P( A u B)(S - AB) = P(AB)(AB) = 0.625 - P(AB) = 0.53,在100, 101, , 999这900个3位数中，任取一个3位数，求不包含数字1个概率。概率论与数理统计及其应用习题解答0设恰有二人进球的概

3、率为p ,那么2p =PNNIT + PfTN N + PNN-N2123123123= P(N)P(N )P(N) + P(N)P(N )P(N) + P(N)P(N )P(N ) (由独立性) 123123123=0.5x 0.7x 0.4 + 0.5x 0.7x 0.6 + 0.5x 0.3x 0.6= 0.440设至少有一人进球的概率为p ,那么3p =1 PNN N)= PgP(N )P(N ) =10.5x0.3x0.4=0.94。312312319,有一危重病人，仅当在10分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要2分钟，将所需的 血全部输入病

4、人体内需要2分钟，医院只有一套验血型的设备，且供 血者仅有40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人 能得救的概率。解：根据题意，医院最多可以验血型4次，也就是说最迟可以第4个 人才验出是A-RH+型血。问题转化为最迟第4个人才验出是A-RH+ 型血的概率是多少？因为第一次就检验出该型血的概率为0.4；第二次才检验出该型血的概率为0.6x0.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为0.62x0.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为0.63 x 0.4=0.0864；所以病人得救的概率为0.4+0.24+0.144+0.0864=0.870410概率论与数理统计及其应用习题

5、解答20, 一元件(或系统)能正常工作的概率称为元件(或系统)的可靠性。如图设有5个独立工作的元件1, 2, 3, 4, 5按先串联再并联的方式1212第20题连接，设元件的可靠性均为p,试求系统的可靠性。解：设“元件,能够正常工作”记为事件z (三1,2,3,4,5)。7那么系统的可靠性为P( AA )u(A)u(AA)=P(AA ) + P(A) + P(AA ) 1 234 51 234 5-P(AAA)-P(AAAA)-P(AAA)+PAAAAA)1 2 31 2 4 53 4 51 2 3 4 5-P(A )P(A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A )P( A)34

6、512345=Q2 + P + P2 p3-p4-p3+p5=0 + 2 P2 2 03 04 +0521,用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。假设真含有 杂质检验结果为含有的概率为0.8；假设真不含有杂质检验结果为不含 有的概率为0.9,据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质 的概率分别为0.4, 0.6o今独立地对一产品进行了 3次检验，结果是 2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含 有杂质的概率。(注：此题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式)解：设“一产品真含有杂质”记为事件人”对一产品进行3次检验， 结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验

7、认为不含有杂质”记为事 件8。那么要求的概率为尸(勺B)，根据Bayes公式可得)P(A)P(B A + P(A)P(B7)概率论与数理统计及其应用习题解答又设“产品被检出含有杂质记为事件C，根据题意有P(A) = 0.4,而且 P(C|A) = 0.8，P(C | A) = 0.9 所以P(B | A) = C2x 0.82X (1 -0.8) = 0.384 ； P团A) =02x(1 -0.9)2x0.9 = 0.027 33P(A|3) =P( A)P(B | A)P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A)故，_ 0.1536 = 0,90460.4x0.384 + 0.6

8、x0.027- 0.1698(第1章习题解答完毕)第2章随机变量及其分布1,设在某一人群中有40%的人血型是A型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是A型的人 为止，以Y记进行验血的次数，求Y的分布律。解：显然，Y是一个离散型的随机变量，Y取左说明第左个人是A型血而前左一 1个人都不是A型血，因 此有PY = k = 0.4 x (1 0.4)-1 = 0.4 x 0.6 j ,( A： = 1,2,3,)上式就是随机变量Y的分布律(这是一个几何分布)。2,水自A处流至B处有3个阀门1, 2, 3,阀门联接方式如下图。当信号发出时各阀门以0.8的概率打 开，以X表示当信号发出时水自A流

9、至B的通路条数，求X的分布律。设各阀门的工作相互独立。解：X只能取值0 , 1 , 2。设以A, (1 = 1,2,3)记第i个阀门没有翻开这一事件。那么Px = 0 = PA (A 2) = 1- P(X = 1) P(X = 0) = 0.8329尸(1 V X 0 3) = P(X =1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0.6129 .(4) P(X 5) = 1 P(X = 5)- P(X = 4) P(X = 3)- P(X = 2) P(X= 1)-P(X= 0) = 0.06114,设有一由个元件组成的系统，记为k/nGf这一系统的运行方式是当且仅当个元件中至少

10、有女个元件正常工作时，系统正常工作。现有一3/5G系统，它由相互独立的元件组成，设 每个元件的可靠性均为09求这一系统的可靠性。解：对于3/5G系统，当至少有3个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布B(5,0.9),所以系统正常工作的概率为2p(X = k) = Zax 0.%x 0.15一仁 0.991445k=3k=35,某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为0.001,现 取8000件产品，用泊松近似，求其中次品数小于7的概率。(设各产品是否为次品相互独立) 解：根据题意，次品数X服从二项分布B(8000, 0.

11、001),所以P(X7) = P(X 15 (2)随机变量x兀(入),且有PX 0 = 0.5，求PX2.解： PX 15 = 1 - PX 0 = 1 - PX = 0 = 1 - e-入=0.5 ,得到九二In 2。所以PX 2=1-PX =0-PX = 1 = 1 0.5九e4 = (l In 2)/20.1534 。6, 一 公司有5名讯息员，各人在t分钟内收到讯息的次数X兀(2。(设各人收到讯息与否相互独 立)。(1)求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。(2)求在给定的一分钟内5个讯息员恰 有4人未收到讯息的概率。(3)写出在一给定的一分钟内，所有5个讯息员收到相同次数

12、的讯息的概率。 解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数X兀(2)。(I) PX = 0 =6 - 0.1353 ； 设在给定的一分钟内5个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用Y表示，那么YB(5, 0.1353),所以PY=4 = C40.13534x(l - 0.1353) = 0.001455。(3)每个人收到的讯息次数相同的概率为V* ( 2ke-2 Y 32ke-io、乙| =乙()8, 一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响kx 0 x 1 11至结束讲解的时间。设x的概率密度为/“)= I乙(2)(3)(4)19-co11

13、/3PX 7XJ=-32/3f0.003x2 0x 10IO 苴他，求t的方程2 + 2X/ + 5X-4 = 0有实根的概率。14概率论与数理统计及其应用习题解答解：方程 + 2X/ + 5X 4 = 0 有实根说明 A = 4X2 4(5X4)20,即 X2 5X+420,从而要求X 2 4或者乂工1。因为110PX4=0.003x2dx = 0.93604所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.10,设产品的寿命X (以周计)服从瑞利分布，其概率密度为/(%) =/(%) =(1) 求寿命不到一周的概率；(2) 求寿命超过一年的概率；(3) 它的寿命超过20周，求寿命超

14、过26周的条件概率。42.(1)PX 52 = f e-*/2oodr = 6-2704/2002 0.000001Too；52(3)尸X26|X20= PX261PX2Qx e-/ioodxJToo26=e-276 /2oob 0.25158,20e-x/ioodx-lxi时才能发生，求在实验室中这种化学反响发生的概率。在10个不同的实验室中，各实验室中这种化学反响是否会发生时相互独立的，以Y表示10个实验室中有这种化学反响的实验室的个数，求Y的分布律。(3) 求 PY = 2,pxn2。解：(1)PX 15275(2)根据题意丫 -5(10,),所以其分布律为 /15概率论与数理统计及其应

15、用习题解答P(Y=k) = Ox10Z 二 01210(3)P(r 2) = 1- P(Y= 0)- P(Y= 1) = 0.577812, (1)设随机变量Y的概率密度为 0.2-ly0f(y)= Q,2 +Cy 0y 1 0 其他I试确定常数c,求分布函数/(y)， 煤片0o.51 ro.io(2)设随机变量X的概率密度为1/8 0x2/(x) = %/8 2 % 40 其他12, (1)设随机变量Y的概率密度为 0.2-ly0f(y)= Q,2 +Cy 0y 1 0 其他I试确定常数c,求分布函数/(y)， 煤片0o.51 ro.io(2)设随机变量X的概率密度为1/8 0x2/(x)

16、= %/8 2 % 1|X43。1 千 r/_. . J 0.2dy + J (0.2 + Cy)dy = 0.4 +。 r i 9解根据1= J/(y)dy =72,得到c=L2。-oo-10-1 3 0F(y)= J f(y)dy = 1 J 02dy + J (0.2 + 1.2y)dy0 y 1o-oo0y -1v 0.2( y+1)-ly0=20.6y +0.2y + 0.2 0ylP0 Y 0.5 = PY 0.5 - PY0.51 yo.i二0.5_ 1 - P7 QA 1-PYQA 1 -F(0.1)1 - 0.451-0.226= 0.7106(2)x 00x22 x 4x/

17、8|x2/16o 1 xI f j_dx +J _dxlJ 88x 00x22 %4x 4Plx3 = F(3) F(l)=9 /16-l/8 = 7 /16 ；13,在集合A=1,2,3,.,n中取数两次，每次任取一数，作不放回抽样，以X表示第一次取到的数，以Y 表示第二次取到的数，求X和Y的联合分布律。并用表格形式写出当n=3时X和Y的联合分布律。解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为n(n.l),因此1PX=i,Y=j=且 1。/。)n(n -1)1当 n 取3 时，PX=i,Y=j = (iw J,且 1),表格形式为123101/61/621/601/631/61/6014,设

18、一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的。A, B均有两个加油管。随机取一时刻，A, B正在使用的软管根数分别记为X, Y,它们的联合分布律为01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30 求Px = i,y=i, Pxi,ri：求至少有一根软管在使用的概率；求 PX= 7, px+y=2。解：(1)由表直接可得尸X = 1,丫= 1 =0.2,17概率论与数理统计及其应用习题解答PX l,Y 1= 1-PX =0,7=0 = 1-0.1 =0.9(3)PX= Y=PX= Y=0+PX= Y=+PX= Y=2=

19、0.1+0.2+0.3=0.6 px+ y=2 = Px=o,y=2 + Px= i,y = 1 + px=2,y=。 =o.2815,设随机变量（X, Y）的联合概率密度为I Ce-（2 x+4）1）, 于（X, y）=I ，试确定常数c,并求PX 2 , PX Y, PX+ Yo,r tdx Ceo o-dy = cje_2xdxje-4ydy =1 = J J /(x, y)dxdy =x0, y0所以C=8。PX2 = JJ/U y)dxdy=J Jdx 86-(2x+4y心=PX Y=xyy)dxdy = J , dx0f 8e-(2x+4),g =e-2x22f产2xfdy = f

20、e-2x(l - e-4 x )dx - ?3PX+ Y 1=00i-p e-(2x+4y)dy = f 2e-2x i# e dx J 8dx 40-4)，力=(1 - e-2)2x+ y 1x+ y 116,设随机变量（X, Y）在由曲线y = X2,y = x2/2,X= 1所围成的区域G均匀分布。（1） 求（X, Y）的概率密度；（2） 求边缘概率密度/（X），/（V）。X Y解：（1）根据题意，（X, Y）的概率密度/（x，y）必定是一常数，故由1 = D/(%, y)dxdy = J公 f 于(x,=-/(x, y),得到 了(%, y)=60x2/216, (x, y)eG除其他

21、1818概率论与数理统计及其应用习题解答f +00 f JX-cof +00 f JX-cod ? 6x*x2/20,=310 y 0.5/ ( y) = J /(尤,y)dx = J 6dx, 0.5 y 1-00 y. 0,其他6(户 _，= 6(1-r)，I .0 y 0.50.5 y 0, y 02其他0,（i）求（x,y）关于x的边缘概率密度/；X求条件概率密度/ （1%），写出当了 =。5时的条件概率密度；YXG）求条件概率PYX = 0.5。e-x(i+y)dy = 2 -x, x QJ22of （%） =1/（九 y）dy =解 X-810,其他（2）当X0时,于(x, y)于

22、(x, y)xe-xy,k1,其他特别地，当x = 5时特别地，当x = 5时九（小=。/fo.5e-o.5y,0, 其他0(3)e-o.5 ydy = e-o.50.5PYX= 0.5 = tf (y| x = 0.5)dy = fYX119,（1）在第14题中求在x = 的条件下丫的条件分布律；在y = 1的条件下x的条件分布律。19在16题中求条件概率密度/”，fYSx I -5）o I | AA 11A | 概率论与数理统计及其应用习题解答解：在100, 101,，999这900个3位数中不包含数字1的3位数的个数为8x9x9 = 648，所以所求得概率为648= 0.729004,在

23、仅由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于330的概率。解：仅由数字0, 1, 2, 3, 4, 5组成且每个数字之多出现一次的全 体三位数的个数有5x5x4 = 100个。（1）该数是奇数的可能个数为 4x4x3 = 48个，所以出现奇数的概率为48=0.48100（2）该数大于330的可能个数为2x4 + 5x4 + 5x4 = 48,所以该数大于330的概率为5,袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求以下事件的概率。（1） 4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球。（2） 4只

24、中至少有2只红球。（3） 4只中没有白球。解：（1）所求概率为C2CC 8 ；十一品12概率论与数理统计及其应用习题解答(1)根据公式尸YX =0=Py=i,X=OPX=O得到在x = 的条件下y的条件分布律PX Y = l4/1710/173/172（2）因为/（羽y）=6,o,(x, y) G其他。I(6dy = 3x 2, f (x) = 0 x 1；q(y) = 6(i-0),0,0 y 0.50.5 y 1。其他0 % 1所以，当时,(yx)= /(x, y)YX= X20,x 2/ 2 y X2其他Q y 0.5当时,XY(W)= f(x, y) _LYy-Jy0,其他当51时/

25、x尸特=Y4yx 1J-万l 0, 其他-Jo5 x = x2,y= J所围成的区域G均匀分布。（1） 写出（X, Y）的概率密度；（2） 求边缘概率密度/丫（幻，（了）；Ai（3） 求条件概率密度力“（ I %）,并写出当x = 5时的条件概率密度。114概率论与数理统计及其应用习题解答解（1）根据题意，（x, Y）的概率密度/（%,，）必定是一常数，故由1=0/(%, y)dxdy = dxf,(%, y)dy =，f(x, y),得到 /(%, y)=13, (x9 y) e G o,其他4(1)=尸3办=3（672）,00A-20,+800(3)当 X 1 时,于3 西，0 y 12一

26、 y2), 0y 10,其他0,/%)=拶丫| X于X2y 五 其他特别地，当X = 05时的条件概率密度为f 3。.5)=YXf 3。.5)=YX40,i/4y 应/2其他21,设（x,y）是二维随机变量，x的概率密度为2 + x 八 个,0 x 2/ 一） = 6、| 0, 其他且当X = x( X 2)时y的条件概率密度为1 +孙 八12，yi4ix(ylx) = l + x/20, 其他（I）求（x,y）联合概率密度;求（x,y）关于丫的边缘概率密度; 求在丫 = y的条件下x的条件概率密度f （x| j）o人121概率论与数理统计及其应用习题解答一 、,1 + D 0x2,0yl解：

27、 /(%)=兀(%)3%)=3 其他f 2 1 -I- YA; 9-0其他/（X,y） ,1 + 孙，0 %2当时，4y及）=177 。）0, 其他22, （1）设一离散型随机变量的分布律为 y |. o9-p1 0k2又设丫，丫2是两个相互独立的随机变量，且丫，丫都与丫有相同的分布律。求丫丫？的联合分布律。并求p（y = Yo12（2）问在14题中x,y是否相互独立？解：（1）由相互独立性，可得丫，丫的联合分布律为 12PY =i,Y =j=PY =iPY =j,=1212结果写成表格为-101-i0 2/40(1-0)/20 2/400(1-9)/2(1-6)20(1-0)/210 2/4

28、0(1-0)/20 2/4PY = Y =PY =Y =-l + PY = Y =0 + PY = Y = 1 = (1-0)2+0 2/212121212(2) 14题中，求出边缘分布律为012PX=i00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.3822概率论与数理统计及其应用习题解答PY=j0.160.340.501很显然，PX = 0,y = 0 w PX = 0PY = 0,所以X,y不是相互独立.23,设x，丫是两个相互独立的随机变量，x u（o5i）, y的概率密度为 f8y 0 Yo解：根据题意，X的概率密度为一1 0x14W

29、=o其他所以根据独立定，x,y的联合概率密度为0%1,0Y= ff /(x, y)dxdy = f dJ8ydxxy24,设随机变量X具有分布律X 21013P,1/51/61/51/1511/30K求y=X2+i的分布律。解：根据定义立刻得到分布律为y 12510P1/57/301/511/30k25,设随机变量X N(0,1),求U = |X|的概率密度。解：设X，U的概率密度分别为了(X),/ () , u的分布函数为F()。那么 XUU当 0 时，F (u) = PU u= PX | = 0 , f ()= 0 . uu23当0时，Fti) = PU u = PXu = P-u X 0

30、U 0/（x）=L0 其他求丫 =的概率密度。0 设随机变量 X 。（一1,1）,求y =（x+i）/2的概率密度。0设随机变量x n（oj）,求y = x2的概率密度。解：设X,y的概率密度分别为，分布函数分别为a）。那么当 yV0 味 F (y)=PYy=P4x y = 0 9 / (j) = 0 ; YY当y0时，F (y) =PYy =P4 y =PX0 oy 401 x 1其他 。当 yV0 味 F (y)=PYy=P4x y = 0 9 / (j) = 0 ; YY当y0时，F (y) =PYy =P4 y =PX0 oy 401 x 1其他 。所以，/ (y) = j2ye此时f

31、 (x)=p/2 0因为产(V)=Py4 = P(X + 1)/2 y = PX42y_1=/(2y 1),故，/ (y)=l (y) =2/ (2y 1) = 1, -12y-1v1,所以，f (y)=Y1 0y0 时，Fy(y)= PY y = PX2y = p-x=()-(-J7 )=2 5)-124概率论与数理统计及其应用习题解答27,设一圆的半径X是随机变量，其概率密度为f(3x + l)/8 0x2/(x) = I 0 其他求圆面积A的概率密度。解：圆面积4=兀乂2,设其概率密度和分布函数分别为g(y), G(y)。那么G( y) = PtiX2 y=PXJWW = F),故观小心

32、泰乒)=京岑卢=苇岁，。尸2所以，g(y)=j 16兀jy所以，g(y)=j 16兀jy0 y4n其他28,设随机变量X,Y相互独立，且都服从正态分布N (0,0 2),验证Z =72+ 72的概率密度为I Zr / I-z2 /(2(J2 )/z(z) = 0 时，F(z) = PZz =PX2+ Y2Z2x2+y2(z225概率论与数理统计及其应用习题解答故，七上口.蒯029,设随机变量XU (-1,1),随机变量y具有概率密度/ (y)=,oo y +oo ,Y 兀(1 +y 2)设x,y相互独立，求z=x + y的概率密度。1/2 -1 x 0fX 2ye-yy0/ (x) = ， /

33、 (y)= 0其他z 0其他九3、-Z2eh2031,设随机变量X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，且X,Y相互独立，求工=*+丫的概率密度。 解：因为X,Y都在(0,1)上服从均匀分布，所以fl 0x fl 0x(2 - y)dy =ZY X-oo/(Z)=/ 勿(2 - y)dy =ZY X-ooZ 12 z, 1 z 20zl=其他z, 0 z 0,0 20, 其他（1） 求边缘概率密度/（X）,/（V）。X Y（2） 求Z二maxX ,7的分布函数。(3)求概率 Pl/2 Z 1 o解(1)|j3e-3、/2dy = 3e-3x, x0COo.。，00J 3e-3x / 2dx,o0y

34、21/2,000,1，0y 2其他(z) F (z)X Y*/、 J， 三 因为 F (x) = Q0y2Z = maxX,Y 的分布函数为F(z) = PZz=PmxX,Yz=PXzJz=PXzPYz=F z0,z0所以，F(z) = F (z)F (z) = (-3z) 0z 21 1 1(3)P1/2Z 1=F (1)-F (l/2)=_ _e-3 +_e-3/2 z z 4 2433, （1） 一条绳子长为21,将它随机地分为两段，以X表示短的一段的长度，写出X的概率密度。（2）两条绳子长度均为2/,将它们独立地各自分成两段，以y表示四段绳子中最短的一段的长度，验证 Y的概率密度为2（/-y）2,0yl小丁）=,。0, 其他27概率论与数理统计及其应用习题解答解：(1)根据题意，随机变量xU(OJ),所以概率密度为，/、j - 0 % / =/ X0 其他(2)设这两条绳子被分成两段以后较短的那一段分别记为X，x，那么它们都在(0,/)上服从均匀分布。12其分布伊数为F(y) = 1- 1 -F (y) 1 - F (y) =1-(1-)2yx2i所以密度函数为2(/-y)/2, 0yl7(y)=gy)=vYY0, 其他34,设随机变量X和Y的联合分布律为(D 求 U = max(X,Y) 的分布律。0 求 V = min(X,y