概率论与数理统计课后习题答案(复旦大学韩旭里).docx

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1、概率论与数理统计复旦大学习题一.略.见教材习题参考答案.1 .设A, B, C为三个事件，试用A, B, C的运算关系式表示以下事件：(1) A发生，B,。都不发生；(2) A与8发生，。不发生；(3) A, (4) 4, (5) A, (6) A, (7) 4, (8) A, 【解】AUBUC=AFCU ABC UABC U A BCUAB CUABC U ABC=ABCB, B, B, B, B,B,(1)C至少有一个发生；C都不发生；。不都发生；。至多有2个发生；C至少有2个发生ABC (2) ABC (3) ABC(5) ABC = AUBUC (6) ABC(7) ABCUABCUA

2、BC ABCUABCU ABC U ABC = ABC = A BC(8) ABU BCUCA=ABC UABCU ABCUABC3 .洒见教材习题参考答案.设A, 3为随机事件,且P (A) =0.71(A-B)=0.3,求尸(AB). 【解】P( IF)=i-P (AB) =1-P(A)-P(A-B)、=1-0.7-0.3=0.6.设A, 5是两事件,且P (A)=0.6,尸(5)=0.7,求：(1)在什么条件下P CAB)取到最大值？(2)在什么条件下P (AB)取到最小值？【解】(1)当时，P (A8)取到最大值为06(2)当时,P (45)取到最小值为0.3.4 .设 A, B,。为

3、三事件，且 P (A) =P (B) =1/4, P (C) =1/3 且第1页共105页,(n-1)! I，3!(-2)!(3) p =-,h3！2Yl38 .浦线段0,任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【弼】设这三段长分别为阳川一厂.那么基本领件集为由Qxayaa-x-ya-x-yx+(a -x-y) yy+( -x-y) x构成的图形，即C a0 x2八 a0y2x + y PA(B U C) =P(ABJAC)1010= P(AB) +P(AC) -P(ABC)第10页共105页【解】x = -0.094 5 = 0.101893 n = 9EX =x = -0.094.

4、由 E(X2)= Z)(X) +矶X)2,E(X2)= A = X2人乙，知6+E(X)2=A，即有cf =也一因正+而X2-10(X)2 i(f = JO9x 0.10189 =0.0966一 X )2,问z为何值时比为。的无偏估计. /于是 所以这批股民的平均收益率的矩估计值及标准差的矩估计值分别为-0.94和0.966.5 .随机变量X服从0,上的均匀分布，今得X的样本观测值：0.9,().8,0.2,().8,0.4,0.4,0.7,0.6,求。的矩法估计和极大似然估计，它们是否为。的无偏估 计.g【解】(1) E(X) = _，令E(X) 二文,那么2。二质且 E(0a) = 2(X

5、) = 2E(X)=9,所以3的矩估计值为屋=2x= 2x0.6 = 1.2且S = 2X是一个无偏估计.(2) 八 H /OM)= 1 1=1,2, ,8.似然函数+/=1显然 L=Lg) I SO),那么 = maxx 时，l=L最大, 1业81所以。的极大似然估计值6人=09因为E(eb=E(maxx )/夕，所以S=maxx 不是g的无偏计.1业811业816 .设X , X，X是取自总体X的样本，E (X) =，D (X) =(72, 0-2=k12n【解】令 丫 =x -x,j=i,2, i/ + !i那么 E(Y) = E(X )-(%) = p - |J = 0, 0(7) =

6、 20 2,ii+1/i于是 此 =Ek( Y2) = (71 -1 )EK2 = 202(/1-1 X,i189那么当 （Cf 2）=。2,即 2。2（-1）攵二。2 时,p =_1_% +Jx ;321227 .设X, X是从正态总体N (/,(72)中抽取的样本 122113厂=x +_X ; M =_X +_X ;13 13 224142试证中小2,乜都是的无偏估计量,并求出每一估计量的方差.【证明】 矶口)二后 _X +lx ,E(X)+ %(X)=-M+1|J = |J, 13 1 313233(口)二一(x)+ 1e(x)= p2 4142e(P 尸 _(x)+Le(x 尸.3

7、2122所以叶乜以均是的无偏估计量.2 214562(2) D(p )=i3+Z)(X )+ 寸。(X ) = /。2=12Q（K）= ；7（叩+ ；女弓）二堂,叫尸8 .某车间生产的螺钉，其直径XN （人 /），由过去的经验知道户=0.06,今随机抽取6枚, 测得其长度（单位mm）如下：试求的置信概率为0.95的置信区间.【解】n=6,02=0.06,= 1-0.95=0.05,x = 14.95, =u =1.96, a 0.25，2的置信度为0.95的置信区间为ajcu =（14.950.1x 1.96） = （14.754,15.146）.a/2 y/n，才能使的置信概率为1-,且置0

8、_x + ua/2 4，才能使的置信概率为1-,且置0_x + ua/2 49总钵XNgn）, 6，问需抽取容量多大的样本 信区间的长度不大于L?【解】由6可知的置信度为l-a的置信区间为90于是置信区间长度为/220402（U ）2那么由了岁得三产J7 rl 。/2L210.设某种砖头的抗压强度XN（4, 6）,今随机抽取20块砖头，测得数据如下（kg - 2）：64694992559741848899Q ）求的置信概率为0.95的置信区间.（2）求6的置信概率为0.95的置信区间.【解】 产766s=18.14,1-0.95=0.05,=20,鼠（一1）咒3（19）=2.093,*；*一1

9、)=*短5(19) = 32.852+勿5(19)=8.90776.6+18,14 x2.0935/2076.6+18,14 x2.0935/20= (68.11,85.089)(1)的置信度为0.95的置信区间 x+ S t (n-1)= a/2+y/n（2）0 2的置信度为0.95的置信区间(n -1 )52 (zi -1 )52(n -1 )52 (zi -1 )5219X2 (-1)a/2X2 (-1)l-a/2v 732.85219X18.142,丽丽 X18.142 += (190.33,702.01)11.设总体X4x）二(6 + 1)炳0,0xTX,X,X是X的一个样本，求。的

10、矩估计量及极大似然估计量.12 n【解】E（X）二 JR（x）dx =（9I+1向也二9+1 ,o6 + 2-又-0 + 1%=（%） =re+2故d J-71-X所以。的矩估计量0=1-X似然函数91取对数(9+1) FI 30 x 1 (z =1,2,L，)L =(0) =H /(x) =i iQ Z50其他InL =/iln(9+l)+9E ln :(。1 ;臼。),d InL n .=7 V Ex =od0 0+1 +2i=l入ne=-i-.所以3的极大似然估计量为21nx;=10 x0; xo, 0;/ =1,2,L ,n;1其他x 0;/ =1,2,L ,n;1其他-2( A-0)

11、L =(0) = 2xe 目 0InL =Hln2-2(x -6),x i /=1由 din =2o知 1nL) T, d e/v那么当e =minx 时In L(0) =max In L(0)Ll，90所以0的极大似然估计量d=minx 114.设总体X的概率分布为X0123p仇2-e) a 1-2e其中)是未知参数，利用总体的如下样本值3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3,求。的矩估计值和极大似然估计值.【解】人 3 (X)=3 - 4&令狼 X)=L。= 2 t=2 8 3 -x 1 =1所以o的矩估计值e =二44似然函数乙二R,0) =406(1-02)(1-20)4.In

12、L =ln 4 +61n 0+21n(l-e)+41n(l-9), dlnL6286-280+2402=0aeei-e1-20e( 1-0x1-20)解 6-286+2402=0930由于7而21,2f 7-713 I 二XP + I0, xa；X30, xa,F (x/) = XB0, x0,设XjXr,X为来自总体X的样本(1)当a=l时，求夕的矩估计量；(2)当a=l时，求夕的极大似然估计量；(3)当夕=2时，求。的极大似然估计量.【解】当g=1 时,/(x,p) = Fi(x,l,p) =x当夕=2 时,/(乜。)=Fi (x,Q,2)= X+B灰 X) = 1ch= 71 ”邓xp1

13、-0ax令(X) = X；于是0 二X-l所以B的矩估计量B=x-i似然函数94L = L(P) = F1 /(x,P)= M 口那+3 yl，(，= l，2,L,) /1 /=1口0,其他.In L 二In B -(6+1)2 Inx , i /=!dinL _ n_ Inx = 0,所以B的极大似然估计量 ln1i=l似然函数2。2a,(/= 1,2,l ,几)；L = n/(x,a)= FI X I/J/=1Q。，其他.显然 L = L(a)t,那么当 = minx 时 L = L(a) = max L(a), i0所以Q的极大似然估计量minx 11 -2/2 出16.从正态总体XN

14、(3.4, 62)中抽取容量为的样本，如果其样本均值位于区间 (1.4, 5.4)内的概率不小于0.95,问至少应取多大？Z1.281.6451.962.334)(z)0.90.950.9750.99。二,_,j2n02【解】工N 3.4,，那么Z= X-3.4n(0,1),几,6/诉1人3 4614册+ T 2 0.95P1.4X5.4 = P. Z 5,4-34=P=0-近 z3如-。95于是 近 2 0.975贝即2 1.96,33/.35.17.设总体X的概率密度为&0xl9j（x, e）= 1-9;1 xZ . 0.025 所以拒绝”，认为总体平均值有显著性变化. 02,某种矿砂的5

15、个样品中的含银量（）经测定为：设含锲量服从正态分布，问在0=0.01下能否接收假设：这批矿砂的含银量为3.25.【解】设H0 ：M = Mo = 3.25;H ：m*Mo = 3.25.n = 5,a =0.01,z (n-i)= / a/2v 7 i% =3.252, 5 = 0.013,/ = 0.344,(3.252 -3.25)amt t （4）.0.005所以接受H,认为这批矿砂的含银量为3.25. o3 .在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，假设从这种香烟堆中任取36支作为样本 测得样本均值为1.008 （克），样本方差S2=0.l（g2）.问这堆香烟是否处于正常状态.香

16、烟 （支）的重量（克）近似服从正态分布（取二0.05）.【解】设H :|J = |J =1.1;H ：M*M =1.1. 00I0n =36,a = 0.05,t (H-l) = r (35) = 2.0301,h =36, a/20.025X = 1.008,52= 0.1, x-p (1.008-1.1)t =x6 = 1.7456,slQn V).lkl = 1.7456 r （35） = 2.0301.0.025所以接受H,认为这堆香烟（支）的重要（克）正常.4 .某公司宣称由他们生产的某种型号的电池其平均寿命为21.5小时，标准差为2.9小时.在实验室测试了该公司生产的6只电池，得到

17、它们的寿命（以小时计）为9719, 18, 20, 22, 16, 25,问这些结果是否说明这种电池的平均寿命比该公司宣称的平均 寿命要短？设电池寿命近似地服从正态分布(取=0.()5).【解】户21.5; i : p-z=-1.65.0.05所以接受片，认为电池的寿命不比该公司宣称的短.5,测量某种溶液中的水分，从它的10个测定值得出厂 =0.452(%),s=0.037(%).设测定值总体为正态，为总体均值，。为总体标准差，试在水平Q=0.05下检验.(1) H： =0.5(%)； H ： 40.5(%). 01(2) H：。=0.04(%) ； H:o 0.04(%).01【解】匕=0.

18、5；1。,。=。.。5/05T).(9) =1.8331,回= -4.10241,0.037% =0.452, 5 =0.037, (0.452 -0.5)tX2 (9).0.95所以接受“，拒绝. 016,某种导线的电阻服从正态分布N (/, 0.0052) .今从新生产的一批导线中抽取9根，测其 电阻，得s=0.008欧.对于Q=0.05,能否认为这批导线电阻的标准差仍为0.005?【解】H ：a=a =0.005; H ：a=a *0 005 0010=9,a =0.05,5 =0.008,X? (8) =X2 (8) =17.535,X2 (8) ”2 (8) =2.088,a/20.

19、025l-a/20.975 v 7(一1)S28x0.0082/。、X2 = - =20.48,X2 9(8).02(0.005)20.0250故应拒绝H0,不能认为这批导线的电阻标准差仍为0.005.7.有两批棉纱，为比拟其断裂强度，从中各取一个样本，测试得到：第一批棉纱样本：4=200,斤=0.532kg,s70.218kg；98P(AB)+P(AQ-P(BC)第11页共105页10第二批棉纱样本：n =200, y =0.57kg, s =0.176kg.设两强度总体服从正态分布，方差未知但相等，两批强度均值有无显著差异？(Q =0.05) 【解】W 200,a =0.05,t (+ -

20、2) = z (398) = z =1.96, a/2120025 2025= 0.1981,= 0.1981,=1-l)s2+/ /199x(0.2182 + 0.1762)卬 R n + n-2 V 3980.1981X(0.532-0.57)=-1.918;1 1+200 200|d t (398). 10.025所以接受认为两批强度均值无显著差异. 08.两位化验员A, 8对一种矿砂的含铁量各自独立地用同一方法做了 5次分析，得到样本方 差分别为0.4322(%2)与0.5006(%2),假设A, 8所得的测定值的总体都是正态分布，其方差分别为7 2,。2,试在水平二0.05下检验方差

21、齐性的假设 A BH ：O2 =02； H ：O2 4： 02.0 A 8 1A B【解】n - n =5,a = 0.05,52 = 0.4322,52 = 0.5006,I 2I2F 5 T, -1)=F (4,4) = 9.6, a/2120.025F (4,4) = = 0.1042, 0975 F (4.4) 9.60.02552F = _u=5220.43220.5006=0.8634.那么尸(4,4)FF.0.05故灯丝材料对灯泡寿命无显著影响.表9-1-1方差分析表方差来源平方和S自由度均方和s产值因素影响44360.7314786.92.15、口辛151350.8226879

22、.59总和195711.54252. 一个年级有三个小班，他们进行了一次数学考试，现从各个班级随机地抽取了一些学生 记录其成绩如下：Inm73668877684189607831795982454878566843939162915380365176717973778596711574808756试在显著性水平0.05下检验各班级的平均分数有无显著差异.设各个总体服从正态分布，且100方差相等.【解】101二 40,i=lyT 2工整一 = 199462-185776.9= 13685.1,ij J-T2-n 人J-T2-n 人T2一=186112.25-185776.9=335.35, ni

23、=lS 二S -S =13349.65,ETA口. S2T)八67.7 = 0,465 rS /(n - r) 360.8 EF (2,37) = 3.23 F. 0.05故各班平均分数无显著差异.表9-2-1方差分析表方差来源平方和s自由度均方和s产值因素影响335.352167.680.465误差13349.6537360.80总和13685393.下面记录了 3位操作工分别在不同机器上操作3天的日产量.机工 器甲乙丙A1151517191916161821A2171717151515192222A3151716181716181818A182022151617171717取显著性水平。二

24、0.05,试分析操作工之间，机器之间以及两者交互作用有无显著差异?【解】由r=4,s=3,Z=3.丁/咒的计算如表L表 9-3-1102103A2514563159A3485154153A4604851159Tj206198223627T2一=11065 -10920.25 = 144.75,rst1 yS = 一T? 一b rt jS Ax8 t= 10923 -10920.25 = 2.75,T2工；=10947.42 -10920.25 = 27.17,72T2-+-S -S = 73.50,rst a bS =S -S -5 -5=41.33.E T A B AxB表9-3-2得方差分

25、析表方差来源平方和S自由度均方和SF值因素A （机器）2.7530.92F =053 A因素B （操作 工）27.17213.58F =7.89 B交互作用AxB73.50612.25F =7.12误差4.33241.72总和1094.75F (3,24)=3.01/ (2,24) = 3.40, F (6,24)=2.51.0.050.050.05 v 7接受假设，拒绝假设H H即机器之间无显著差异，操作之间以及两者的交互作用有显著差异.4.为了解3种不同配比的饲料对仔猪生长影响的差异，对3种不同品种的猪各选3头进行 试验，分别测得其3个月间体重增加量如下表所示，取显著性水平。=0.05,试

26、分析不同饲 料与不同品种对猪的生长有无显著影响？假定其体重增长量服从正态分布，且各种配比的 方差相等.体重增长量因素B （品种）BBB因素AA1515645104（饲料）A2A3535257584947【解】由5=3,经计算k =52, k =50.66,矛=53I.2.光=52.34,k=52,k=57,k=47, 3.1.2.3(x -x)2 = 162;zS =s (r-jF)2= 8.73, Ai.i=s - rX (r -7)2 = 150,B _ Js =S -S 7 = 3.27.E T A B表9-4T得方差分析表方差来源平方和S自由度均方和sF值饮料作用8.6824.345.

27、23品种作用15027590.36试验误差3.3240.83总和162由于b(2,4) = 6.94 F ,F (2, 4) F.0.05A 0.05B因而接受假设，拒绝假设”. 0102即不同饲料对猪体重增长无显著影响，猪的品种对猪体重增长有显著影响.5.研究氯乙醇胶在各种硫化系统下的性能（油体膨胀绝对值越小越好）需要考察补强剂（A）、防老剂（B）、硫化系统（C） 3个因素（各取3个水平），根据专业理论经验，交互作用全忽略，根据选用L（3。表作9次试验及试验结果见下表: R（1）试作最优生产条件的直观分析，并对3因素排出主次关系.表头设计试验歹U号1234结果试验号111117.252122

28、25.48313335.35421235.40522314.42623125.90731324.68832135.90933215.63给定仁=0.05,作方差分析与比拟.105【解】（1）对试验结果进行极差计算，得表9-5-1.表 9-5-1由于要求油体膨胀越小越好，所以从表9-5-1的极差勺的大小顺序排出因素的主次顺 序为：主一次用A,CTiy18.0817.3319.0517.30T=50.01T2)15.7215.8016.5116.06T3716.2116.8814.4516.65Rj2.361.534.461.24最优工艺条件为：ABC .2 2 31利用表9-5-1的结果及公式S

29、 = JT2-_，得表952.j r ij P/=i表 9-5-2A1B2C34si1.0340.4123.5390.256S =5.241T表9-5-2中第4列为空列，因此S = S =。.256,其中/ =2,所以已0.128方差分析表如表9-5-3.表 9-5-3方差来源sj/jsl fj j77 S Sf fi e显著性A1.03420.5174.039B0.41220.2061.609C3.53921.76913.828e0.25620.128由于 北）5（2,2）= 19.0。，故因素C作用较显著，A次之，8较次，但由于要求油体膨 胀越小越好，所以主次顺序为：BAC,这与前面极差分

30、析的结果是一致的.6.某农科站进行早稻品种试验（产量越高越好），需考察品种（A）,施氮肥量（3）,氮 磷、钾肥比例（C）,插植规格（。）4个因素，根据专业理论和经验，交互作用全忽略， 早稻试验方案及结果分析见下表：因素试验号A 品种B 施氮肥量C氮、磷、钾肥比例D 插植规格试验指标 产量10611 (科6号)1(20)1(2 ： 2 ： 1)1(5x6)19.0212(25)2(3 ： 2 ： 3)2(6x6)20.032(科5号)11221.94222122.351(科7号)12121.06121221.072(珍珠矮)12218.08221118.2(1)试作出最优生产条件的直观分析，并对

31、4因素排出主次关系.(2)给定a=0.()5,作方差分析，与(1)比拟.【解】被考察因素有4个：A, B, C,。每个因素有两个水平，所以选用正交表L (27),进8行极差计算可得表9-6-1.表 9-6-1从表9-6-1的极差4的大小顺序排出因素的主次为：列号 水平 试验号1A23B4C 5D67试验结果1111111119.02111222220.03122112221.94122221122.35212121221.06212212121.07221122118.08221211218.2T1/83.281.075.279.980.180.580.3r=161.4T2/78.280.48

32、6.281.581.380.981.1R,5.00.611.01.61.20.40.8最优方案为：ABCD 12 22ITi(2)利用表9-6-1的结果及公式s =,72-得表/6-2J r li P表 9-6-21A23B4C5D67S/3.1250.04515.1250.3200.1800.0200.080S =18.895T表9-6-2中第1,3,7列为空列，因止匕+s+s=18.330/=3,所以土=6.110.而在上表中其e I 37ef107他列中?7,故将所有次均并入误差，可得 J e5aa= 5 = 18.895/ = 7.e Te整理得方差分析表为表9-6-3.表 9-6一3方差来源sj/ jsj口 S SbF = 1 i片j e显著性A0.04510.0450.017B0.32010.3200.119C0.18010.1800.067D0.02010.0200.007e18.33036.11018.89572.699由于）5（1