概率论和数理统计习题集与答案解析.docx

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1、WORD格式可编辑概论与数统计作业集及答案第1章概论的基本概1 .1 随机试验及随机事件(1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H反面 T出现的情形.样本空间是：S=(2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S= ；(1)丢一颗骰子.A ：出现奇数点，贝U A二； B :数点大于2，那么B= (2) 一枚硬币连丢2次， A 第一次出现正面，那么A= ；B :两次出现同一面，贝* ； C ：至少有一次出现正面，贝UC= ,1 .2随机事件的运算.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下各事件：(1)A、B、C发生表示为：.(2)A与B发生，而C发生表示为：.(3)A与B发生

2、，而C发生表示为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C中多于一个发生表示为： 2,设 S = x:0 WXW5,4 = x:1 xW3, 8 = x:2(4：贝U(1) Aj B -，(2) AB =，(3) KB =(4) 4 u 8 =，( 5) 方3 = 1 .3概的定义和性质1, P(Au B) = 0.8, P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 ，那么(1)尸(A8)= ， (2)(尸(7 目)=(3) P(A48) = 03 那么尸(，8)=1 .4古典概型.某班有30个同学，其中8个同学，随机地选10个，求：(1

3、)正好有2个同学的概 (2)最多有2个同学的概,(3)至少有2个同学的概 .1 .将3个同的球随机地投入到 4个盒子中，求有三个盒子各一球的概 .1 .5条件概与乘法公式1 丢甲、乙两颗均匀的骰子，点数之和为7,那么其中一颗为1的概是 2.尸(G = 1/4, P(B|G = 1/3,尸(川8) = 1/2,那么 。专业技术提供WORD格式可编辑4 设随机变(X, Y)的联合密函数如下：求EX, EY, E(XK + 1) oxy 0x1,024.2 数学期望的性质1 设X有分布：X 0123 那么石(X2 2X+3)是：p 0.10.20.30.4(A) 1 ；(B) 1 ；(C) 2 ；(

4、D) 3 ；(D) 4.2.设(X,Y)有=，试验证 (xy)= (x)(y)但x 与 y相互独。4.3方差丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求EX, DXX有密函数：f W =X有密函数：f W =(x + 1)/400 2，求 D(X).4.4 常见的几种随机变的期望与方差1 设X兀，丫仇3, 0.6)，相互独，那么 E(X-2K)5 Q(X 2F)的值分别是：(A) -1.6和4.88；(B) -1 和 4； (C) 1.6 和 4. 88； (D) 1.6 和-4.88.2,设XU(6), yN(4, 3) ，X与丫有相同的期望和方差，求q, b的值。(A) 0 和 8；(B) 1 和

5、7；(C) 2 和 6；(D) 3 和 5.4.5 协方差与相关系数.随机变 (x,y)的联合分布如下：试求协方差 Cou(x,y)和相关系数p ，0.20.10.10.300.3.设随机变 (X, Y)有联合密函数如下：试求协方差Cov(X,Y)和相关系数P ，A 专业技术提供WORD格式可编辑x + y/(x. y)=io4.6 独性与相关性 矩.下结论正确的选项是（）（A）x与y相互独，那么x与y相关；（B）x与y相关，那么x与y相互独；co E（xy）= E（x）E（y），那么 x 与y相互独；(D) f(x, y) = fx(x)fY(y)，那么 X 与y相关;. COV（X,Y）

6、= 0 ,那么正确的选项是（）(A) E(XY) = E(X)E(Y) ;(B) E(X+ Y) = E(X) +E(Y);(O o(xy)= Q(x)Q(y)；(d)o(x + y)= o(x)+ Q(y)；3（x,y）有联合分布如下，试分析 x与y的相关性和独性。x Xy 1 o 111/81/81/801/801/811/81/81/84. E（xy）= （x）（y）是x 与y相关的（）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既必要，也充分。5. %xy）= E（x）E（y）是x 与丫相互独的（）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既必要，也充分。6,设随

7、机变（X, Y）有联合密函数如下：试验证 x与y相关，但独。21x2y/4 X2y1fS y） = 10 其 他第4章作业答案4.1 1 ： B ； 2 ： 3/2, 2, 3/4, 37/64 ； 3 ： D ；4 ： 2/3 4/3 17/9 ；1 ： D ；4.2 1：7/2,35/12；2 ： 11/36 ；1：A ；2 ：B ；4.3 1:0.20.355 ；2 ： -1/144,-1/11；1：C ； 2 ： C ； 3：X 与 丫相关，但X 与 丫 相互独； 4 ： C ； 5 ： A ；专业技术提供WORD格式可编辑第5章极限定*5.1大数定5.2中心极限定. 一批元件的寿命(

8、以小时计)服从参数为0. 004的指数分布，现有元件30只，一只在 用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，即换上备用件，用中心极限定求30只元件至少能使用一(8760小时)的近似概。1 .某一愉机试验，“成功的概为 0.04，独重复 100次，由泊松定和中心极限定 分别求最多“成功 6次的概的近似值。第5章作业答案5.2 2 ： 0. 1788 ；3 ： 0. 8890.841 ；第6章数统计基础6.1 数统计中的几个概有 n=10 的样本；1.2， 1.4， 1,9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4,那么 样本均值7= ，样本均方差S=，样本方差S2=

9、。1 设总体方差为有样本X； X 2， ,X，样本均值为X ，那么X) = 。6.2 数统计中常用的三个分布.查有关的附表吓分位点的值： Z =， X 2 (5)=7 (10)= C 0.9U.10.91 .设X X ,X是总体无 2(加)的样本，求E(X), D( X) o 12n6. 3 一个正态总体的三个统计的分布1 设总体XN(ji,O2),样本x ,X , ,X ,样本均值手，样本方差S2 ，那么12nx-nT- ii O/赤S / Jn ，(X _三)2,X一.)2,O 2 i o 2/z=1z=1*6.4二个正态总体的三个统计的分布专业技术提供WORD格式可编辑第6章作业答案6.

10、1 1 - x = 1.57, s = 0.254, $2 = 0.0646 ; 2. Cov( X,刈=b 21rl ；1 - -1.299. 236-1.3722 ；2 (X) =D(X)=2m/n ;6.2 1. N(0, 1), r(n-1), X2(Z1-1)J /2(n);第7章参数估计7.1 矩估计法和顺序统计法/月 0x11 .设总体X的密函数为：f(x) =，有样本X，X, ,x ，求未0其他12知参数e 的矩估计。2 .每分钟通过某桥的汽车辆数 x兀(九)，为估计入的值，在实地K机地调查 20次，每次1分钟，结果如下：次数：23456数： 95374试求入的一阶矩估计和二阶

11、矩估计。7.2 极大似然估计+ 1)x70 0 x1丫 丫1.设总体X的密函数为：/=。其 他有样本；，2，咒求专业技术提供WORD格式可编辑未知参数 的极大似然估计。7.3估计的评价标准/,设总体X服从区间(凡1)上的均匀分布，有样本X ,X , ,X ，证明。=2又一1是。 12n的无偏估计。2 .设总体X兀(入)，有样本X,X, ,X ，证明。+ (1-。)52是参数入的无偏估计 12n(0 6Z 1 ) o7.4参数的区间估计.纤是衡纤维粗细程的一个，某厂化纤纤XNg 0 2),抽取9根纤维，测其纤为： L 36，1.49，1.43，L41，L27，L40，1.32，1.42，L47，

12、试求日的置 信为0.95的置信区间，(1)。2 = 0.0482,( 2)。2未知。1 .为分析某自动设备加工的另件的，抽查 16个另件，测其长，得 x = 12.075mm .s = 0.0494mm,设另件长 XN0i,o2),取置信为 0.95，( 1)求o2的置信区间， (2)求。的置信区间。*7.5 二个正态总体的参数的区间估计*7. 6区间估计的二种特殊情形第7章作业答案X1 ： (-；2 ： 54. 97 ；1 -X/八7. 2 1 ： (+ 1”；工, InX i i=7.3 1 ： ( 1.377 1.439)，(1.346 1.454) ； 2 ： (0.0013 , 0.

13、 0058) ； (0.036, 0.076)；第8章假设检验8.1假设检验的基本概专业技术提供WORD格式可编辑1 .某种电子元件的阻值（欧姆）X N（1000, 400）,随机抽取25个元件，测得平均电阻值 = 992，试在a = 0.1下检验电阻值的期望n是否符合要求？2 .在上题中 o 2未知,而25个元件的均方差s = 25，那么需如何检验，结论是么?8.2假设检验的说明.设第一道工序后，半成品的某一质指标 XNg 64）,品质管部规定在进入下一工序前必需对该质指标作假设检验H :日=日：日。日； =16，当*与目的00100绝对偏差超过 3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显

14、著性水平。8. 3 一个正态总体下参数的假设检验.成男子肺活为口 = 3750毫升的正态分布，选取20名成男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活，得平均值为 = 3808毫升，设方差为。2 = 1202 ,试检验肺活均值的提高是否显著（取 =0.02）?*8.4 二个正态总体下参数的假设检验*8. 5假设检验的三种特殊情形第8章作业答案8.1 1 ：拒绝 “0 ：日= 1000 ；2 ：接受o： 11 = 100 ;1 ： 0.1 ；8.2 1 ：拒绝 H。；专业技术提供WORD格式可编辑1 .6全概公式有10个签，其中2个“中，第一人随机地抽一个签，放回，第二人再陵机地抽一个 签，说

15、明两人抽“中的概相同。1. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概。1 .7贝叶斯公式.某厂产品有70%需要调试即可出厂，另 说 需经过调试，调试后有0能出厂，求0 该厂产品能出厂的概，（2）任取一出厂产品，求未经调试的概。1 .将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概为 0. 02，B被误收作A的概为0.01 信息A与信息B传递的频繁程为 3 : 2接收站收到 的信息是A，问原发信息是A的概是多少？1 .8 K机事件的独性.电如图，其中 A, B, C, D为开关。设各开关闭合与否相互独，且每一开关闭

16、合的概 均为p,求L与R为通（用 T表示）的概。-B/LRC D 2.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中分别为 0.4, 0.5和0. 6 是否命中，相 互独， 求下概 ：（1）恰好命中一次，（2）至少命中一次。第1章作业答案1 .1 1 : (1) S = HHH、HHT, HTH,THH、HTT,THT,TTH、TTT;(2) S = 0, 1, 2, 3)2 ： A = 1, 3, 5 B = 3, 4, 5, 6);(2) A = 正正正反, 8 =正正，反反, C =正正，正反反正。1.21： (1) ABC ; (2) ABC ; (3) ABC ;(4)A u B u C

17、;(5)AB0AC0BC ;(6) ABu ACJ B C 或 AB C+ AB C+ AB C+ A B C ;专业技术提供WORD格式可编辑2:(1) Aj B = x:1 x4;(2) AB = x2 x3 AB = x :3 x4;(4) ZuB = x:0W x41 或 2W x5 ; (5) AB =x x 4 o1.3 1 ： (1)尸(力8)=0.3,(2)尸(8)二0.2,(3)尸(4u后)=0.7. 2 ： P(AB) )=0.4.1 .4 1*(1)C2c8 /Co, (2)(C + CC9 + C2c8) /C1o, (3)1-(C。+ C1C9) /Ci。. 8223

18、0228 2282230228 2230 ,2 :尸3/ 43 41.5 1 ： . 2/6 ；2 ： 1/4。1.61：设A表示第一人“中，那么P(A)=2/10设 B 表示第二人“中，那么 P(B)= P(A)P(B|A) + P(，)P(B| A)2 18 2 2 + *_ =_-T0 9 W 9 10两人抽中的概相同 ，与先后次序无关。2 : 随机地取一盒，那么每一盒取到的概是 0. 5，所求概为： p = 0. 5 x 0. 4 + 0. 5 x 0. 5 = 0. 451 .7 1 ： (1) 94% (2) 70/94 ；2 ： 0.993 ；1 .8. 1 ： 用A,B,C,D

19、表示开关闭合，于是T二ABUCD, 从而，由概的性质及 A, B, C, D的相互独性P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) =P(A)P(B) + P(C)P(D) - P(A)P(B)P(C)P(D)=P2+ p2-04= 2 p2- p42 ： (1) 0.4(1-0.5)(l-0.6)+(l-0,4)0. 5(1-0. 6)+(l-0. 4)(l-0. 5)0. 6=0. 38 ；(2) l-(l-0.4)(l-0. 5)(l-0. 6)=0. 88.专业技术提供WORD格式可编辑第2章随机变及其分布2.1 随机变的概，离散型随机变1 一盒中有编号为1，2，3，4

20、，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球 中的最大号码.，试写出X的分布.2某射手有5发子弹，每次命中是 0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为 止，用X表示射击的次数，试写出X的分布。2.2 0 1分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从;1=4的泊松分布，求Q)每分钟恰有1次呼叫的概；(2)每分钟只少有1次呼叫的概；(3)每分钟最多有1次呼叫的概；2设随机变 X有分布： X 23, Y乃(X),试求：p 0. 40. 6(1 ) P(X=2,YW2) ； (2)P(YW2) ； (3) YW2,求 X=2 的概。(2 . 3贝努分布1 一办公

21、室内有5台计算机，调查说明在任一时刻每台计算机被使用的概为 0.6,计算 机是否被使用相互独，问在同一时刻 (1)恰有2台计算机被使用的概是多少？ (2)至少有3台计算机被使用的概是多少？ (3)至多有3台计算机被使用的概是多少？ (4)至少有1台计算机被使用的概是多少？2设每次射击命中为0.2，问至少必须进多少次独射击，才能使至少击中一次的概小于 0.9 ?2.4随机变的分布函数专业技术提供WORD格式可编辑0 x-l1设F速机变 X的分布函数是：F(x)=5 -1 X1(1)求 P(XW0 ) ； P(0X Q()2设愉机变 X的分布函数是：F(x) = 1 + x ，求(1)常数A, (

22、2) X 2 .0x02.5连续型随机变kx 0x 11设连续型随机变 x的密函数为： f(x)=jo 其 他(1)求常数k的值；(2)求X的分布函数F(x)，画出F(x)的图形，(3)用二种方法计算P(- 0. 5X0. 5).0 xl2设连续型F通机变 的分布函数为：F(x)=nx 1 %e(1)求X的密函数 f(x)，画出f(X)的图形，(2)并用二种方法计算P(X0.5).2.6 均匀分布和指数分布1设陵机变 K在区间(0, 5)上服从均匀分布，求方程 4 x2+ 4Kx + K + 2=0有实根的概。2假设打一次 所用时间(单位：分)X服从a =。.2的指数分布，如某人正好在你前面

23、走进 亭，试求你等待：(1)超过10分钟的概；(2) 10分钟 到20分钟的概。2.7 正态分布1 随机变 XN (3, 4), (1)求 P(2X5) , P(- 42),P(X3)；(2)确定c，使得 P(Xc)= P(Xc)。2某产品的质指标X服从正态分布，/z=160，要求 P(120X200)0.80，试问。最多取多大？2.8 随机变函数的分布1设随机变 X的分布为；Y = 2X - 1,求K机变2设随机变 X的密函数为：1设随机变 X的分布为；Y = 2X - 1,求K机变2设随机变 X的密函数为：00.3120.40.3X的分布。f2(l-X) f(x)=10 x 1其他专业技术

24、提供WORD格式可编辑y=X2 ;求随机变量Y的密度函数。3.设F通机变量X服从（0，1）上的均匀分布，丫 =-21nX ，求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案2. 1 1 ： X 345p 0. 10.30.62 ： X 12345p 0. 40. 6x0. 40. 6x0. 6x0. 40. 6x0, 6x0. 6x0. 40. 6x0, 6x0, 6x0. 6x12. 2 1 ： (1)P(X=1) = P(X1) - P(X22) = 0.981684 - 0. 908422 = 0. 073262,P(X21) = 0. 981684,(2) P(XW1)= 1 - P(XN2)=

25、 1 - 0. 908422 二 0.091578。2 ： (1)由乘法公式：P(X=2,YW2)= P(X=2) P(YW2 | X=2 0. 4x(e-2+2e-2+2e-2)= 2e-2(2)由全概率公式：P(YW2)= P(X=2) PJW2 I X=2) + P(X=3) P(YW2 | X=3)二 0 4x5e 2 + 0 6x 蚱3 = 0. 27067 + 0. 25391 = 0. 524582产(X =210 2) = 0.27067 =0,516(3)由贝叶斯公式：P(X=21 YW2)= P(y 2)0 524582. 3 1 ：设X表示在同一时刻被使用的台数，那么XB

26、(5, 0.6),(1) P( X = 2 ) = (2)P(X 23 )= C30.630.42 + C40.640.4 +06555(3) P(X W3 )二 1 - C40.64 0.4- 0.65(4)p(x ,1) = 1- 0.45专业技术提供WORD格式可编辑2 ：至少必须迸 11次独射击.2. 4 1 ： (1) P(XW0 )=0. 5 ； P(0 X 1) = 0.5 ； P(X21) = 0. 5，(2) X的分布为： X |-11F|0750752 ： (1) A = 1,(2) P (lX2)=l/60 xQ2. 5 1 ： = 2，/(%)=卜2 ox 1(3) P

27、(- 0, 5X0, 5) = I0-5 fdx = 00dx + Q52xdx=_ ;-0.5-0.5041 n 1或二 F(0,5) - F(-0.5) = _一 =_。441/x 1 x0 .r |o yo第3章多维随机变专业技术提供WORD格式可编辑3.1 二维离散型随机变.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球 个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X, Y)的联合分布及边缘分布。1 . 设二维随机变 (XI)的联合分布为：Q12_试根据下条件分别求a和b的值；试根据下条件分别求a和b的值；0.2 ab 0.2 P(X = 1) = 0.6 ;(2

28、) P(X =1 | K = 2) = 0.5 ;(3)设尸(x)是 Y 的分布函数，F(1.5) = 0.5。3.2 二维连续型随机变(x、y)的联合密函数为：/(占y)=(x、y)的联合密函数为：/(占y)=k(x + y) 0%1,01求(1)常数k ； (2) P(Xl/2, Yl/2) ； (3) P(X+Y1) ； (4) P(Xl/2)。 kxy 0 x 1,0 y x2. (X、F)的联合密函数为：f (x, y) Q 其他求(1)常数k ； (2) P(X+Y1) ； (3) P(Xl/2)。3.3边缘密函数1 .设(X, Y)的联合密函数如下，分别求 x与丫的边缘密函数。1

29、/(x, y) = - oo x +co, 8 y 2)2 .设(X, Y)的联合密函数如下，分别求 x与y的边缘密函数。 e-x 0y1 |y = 2) = 0.5 ;(3) x 与 y 相互独。2. (X,Y)的联合密函数如下，求常数 c，并讨论x与y是否相互独？ fcxy2 Qx1,0y1,f(x，y) = L j专业技术提供WORD格式可编辑*3.5多个随机变的函数的分布第3章作业答案(1) a=0.1(2) a=0.2(3) a=0.33.2 13/8。*3.6 几种特殊随机变函数的分布b=0.3 b=0.2 b=0.1(1) k = 1 ； (2) P(Xl/2, Yl/2) =

30、1/8 ； (3) P(X+Y1) = 1/3 ； (4) P(Xl/2)=2 ： (1) k = 8 ； (2) P(X+Y1) = 1/6 ； (3) P(Xl/2) = 1/16 。r r123. 3 1 ：/ (x) = J +8dy = oo x +oo ；X_8 兀 2 (1 + X2)(1 + y2) K (1 +X2)f ( y) = J +dx =2_ 00 y Q/ i、v 02： f 凶；f (y) y n ；x o x 0 Y e-y y 0|ob = 2/9。b = 2/9。3. 4 1 ： (1) a=l/6 b=7/18 ； (2) a=4/9 b=l/9 ； (

31、3) a = 1/3, 2 - c = 6, X与Y相互独。第4章随机变的数字特征4.1 数学期望盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，那么EX是： (A) 1 ；(B) 1.2 ；(C) 1.5 ：(D) 2.产2x412设X有密函数：/(元)=-8-廿,求石(X), (2X1), (不)，并求0其他X 2X大于数学期望(X)的概。3. 设二维随机变 (X,y)的联合分布为：_012E(XY) = 0.65，00.10.2 a那么a和b的值是：(A) a=0.1, b=0.3 ； (B) a=0. 3, b=0.1 ；10.1(C) a=0. 2, b=0.2 ；b 0.2(D) a=0.15, b=0.25。专业技术提供