概率论和数理统计考试试题和答案解析.docx

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1、WORD格式.整理版一.填空题(每空题2分，共计60分)1、A、B 是两个随机事件,p(A) = 04P(3) = 05P(AB) = 0.3 ,那么 p(A UB)= 0. 6 , p(A-B)= 0. 1， P(不.后尸 04 , p(A| B)二- 6。2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球4只。(1)从中不放回地任取2只，那么第一次、 第二次取红色球的概率为：1/3 o (2)假设有放回地任取2只，那么第一次、第二次取红色 球的概率为：9/25 o (3)假设第一次取一只球观查球颜色后，追加一只与其颜色相同的 球一并放入袋中后，再取第二只，那么第一次、第二次取红色球的概率为：21/5

2、5 o3、设随机变量X服从B (2, 0.5)的二项分布，那么px2 1 =0.75, Y服从二项分布B(98,0.5), X 与 Y 相互独立， 那么 X+Y 服从 B(100,0.5), E(X+Y)=50,方差 D(X+Y)二 互 。4、甲、乙两个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂的次品率分别为0. 1、0. 15.现从由甲厂、乙厂的产品分别占60%、40 的一批产品中随机抽取一件。(1)抽到次品的概率为：0. 12(2)假设发现该件是次品，那么该次品为甲厂生产的概率为：0.5.5、设二维随机向量(x,y)的分布律以些= 0.4,x与y的协方差为：- 0.2 ,Z = X +Y2的分布律为

3、:Z = X +Y2的分布律为:Z12概率0.60.46、假设随机变量 X N(2,4)且(1) = 0.8413 ,(2) = 0.9772,那么2 X(X)=100 .利用“3。” 法那么，可以认为X的取值大多集中在70 -130范围。4、设随机变量X服从N (500, 1600)的正态分布.那么x 2 580=0. 0228. Y服从N (500,900)的二项 分布，且X与Y相互 独立，那么 X +。服从 N ( 1000, 2500)分布；假设 X + yc=0.05,那么1082.5。(1) = 0.8413；(2) = 0.9772,中(1.645) = 0.95、 2x,0x1

4、5随机变量X的密度函数/(刈=105 其它那么：(1) H0,5Vx 15)= 0.750x0(2) X 的分布函数 F (x )二 F(x)=卜2,0 x1 o,1 0的电子元件独立工作，假设把它们串联成一个系统，那么系统的可靠性为：2 ；。 假设把它们并联成一个系统，那么系统的可靠性为：1一。一)2；8、假设随机变量X U(0,3),那么 p1X2=_2/2; (X) =,5 .D(2X+1)=3.二(6分)计算机中心有三台打字机A, B,C,程序交与各打字机打字的概率依次为0. 6, 0.3, 0. 1,打字机发 生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0. 04o一程序因打字机发生故

5、障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打 字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件 M , “程序在A, B,C三台打字机上打字”分别记为事件 N NN。那么根据全概率公式有123P(M )二寸 P(N )P(M | N ) = 0,6x 0.01 + 0.3x 0.05 + 0.1 x 0.04 = 0.025 , ii/=1优质.参考.资料WORD格式.整理版根据Bayes公式，该程序是在A, B, C上打字的概率分别为P(NJ )=P(N)P(M N ) _ P(M)0.025= 0.24 ,P(N M) =2P(N )P(MN ) 22- P(M) 0.025

6、= 0.60P(N M) =3P(N )P(M|N)3aP(M)0.025= 0.16 o三、（6分）设随机变量X , Y的概率密度分别为：/（X）= x10苴，且随机变量X, Y相互独立。5匕求(X, Y)的联合概率密度为：f（x, y）计算概率值Y2X解：X, Y相互独立，可见（X, Y）的联合概率密度为 了（X，V）= / （x）/（y）,.f(x, y)=2e-y,0 XjO y 1其它3P(y 2 X) = ff /(x, Y)dxdy = f1 dy2e-xydx = 2- e-i/2y2x优质.参考.资料WORD格式.整理版0 X 1二(6分)随机变量X的密度函数/(x)=0,

7、其它求：(1)常数。,(2) p(0.5X1.5) (3) X的分布函数F (x)。解：(1)由 J* /(尤)dx = 1,得 =32，-O0(2) p(0.5 X 1-5)=f1,5 f(x)dx = I13x2dx = 0.87520.50.50X0F (x) = jx3,0 x 12，1,1 x三(6分)设随机变量(X, Y)的联合概率密度为：0 x 1,0 10, 其它求：(1) X, Y的边缘密度，(2)讨论X与Y的独立性。解：(1) X, Y的边缘密度分别为：f12 ydy = 0 x 1/ (x) = o Pf其他4，|J+8/(x, y)dx = y2ydx = 2y,0 y

8、 1f (y) = 一8口。丫 o其他由可见f Qx, y) = /(x),/(y), 可知：X, Y相互独立 2XY.填空题(每题2分，共计60分)1 .设随机试验E对应的样本空间为So与其任何事件不相农的事件为不可能事件,而与其任何事件相互独 立的事件为 必然事件:设E为等可能型试验，且S包含10个样本点，那么按古典概率的定义其任一基本领件 发生的概率为JLZKL. P(A) = 0.4,P(3) = 0.3。假设A与B独立，那么P(A 3)= th 28、假设A3中至少有一个事件发生的概率为0.6,那么P(A 3)=22, P( A=1/3。3、一个袋子中有大小相同的红球5只黑球3只，从

9、中不放回地任取2只，那么取至球颜色不同的概率为：15/28。 假设有放回地回地任取2只，那么取到球颜色不同的概率为：15/324、E(X) = D(X) = 1。假设X服从泊松分布，那么尸X w 0 = 1 -e-i ；假设X服从均匀分布，那么尸X w 0=。优质.参考,资料WORD格式.整理版5、设 XN(|iQ2)且 PX2=PX2 2, P2XQ = 6、某体育彩票设有两个等级的奖励，一等奖为4元，二等奖2元，假设中一、二等奖的概率分别为0. 3和0.5, 且每张彩票卖2元。是否买此彩票的明智选择为： 买(买.不买或无所谓)。7、假设随机变量 X U(1,5),那么 p(XX &= 0.

10、75: E(2X+1)=舁7,Z)(3X + 1)= 12.X，左2k=Q8、设 X (？p),仇X) = 2.4Q(X)=1.44 ,那么 PX=0.43攵=6x0.4x0.6 + (6x0.4) 2 = 7.29、随机变量X、Y的数学期望E(X)=-1, E(Y) =2,方差D(X)=1, D(Y)=2,且X、Y相互独立，那么：(2X 丫)=4, D(2X-y)=610、设X, ,X 是总体N(20,4)的容量为16的样本X为样本均值，S2为样本方差。1 16 1 那么：XN (20,1/4), P x-20|1 = 0, 05561520_S22(15), t(15)o16 s/糜此题中

11、(2) = 0.9772 。X 6-人工, 11、随机变量X的概率密度/(x)= 0x0那么称X服从指数分布，石(X) =I13、设二维随机向量(x,y)的分布律是:那么X的方差。(X)= 0.21；X与y的相关系数为：P =3/7 oXY13、设二维随机向量(x,y)的分布律是:那么X的方差。(X)= 0.21；X与y的相关系数为：P =3/7 oXYXY0100.40.310.30二、(7 分)甲、乙、丙三个工厂生产同一种零件，设甲厂、乙厂、丙厂的次品率分别为0.2, 0.1, 0.3.现从 由甲厂、乙厂、丙厂的产品分别占15%, 8a ，% 的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品

12、为甲 厂生产的概率.解：设A , A , A分别表示产品取自甲、乙、丙厂， 123有.p(A ) = 15%,P(A ) = 80%, P(A )=5%2123B表示取到次品， p(B |A)=0.2,P(B |A2)=0.1,P(A )=0.3, z优质.参考.资料WORD格式.整理版由贝叶斯公式:p(A |b)= p(A ) - P(BA )/( 2? /?(A ) - P(BA ) = 0.24 4,攵二1ax(7分)随机变量X的密度函数/(x) = jo求：(1)常数。，(2) M0X0.5) (3) X的分布函数F (x)。解：由(x)dx = 1,得a = 22p(0. X 1 -

13、 5) =fo.5/(x)jx = 2xdx = 0.2500p(0. X 1 - 5) =fo.5/(x)jx = 2xdx = 0.250030b(x) =x2,10b(x) =x2,1x00 1,1 x24孙四、(7分)设随机变量(X, Y)的联合概率密度为：/(羽4孙四、(7分)设随机变量(X, Y)的联合概率密度为：/(羽0x1,0y1, 其它求：(1) X, Y的边缘密度，(2)由(1)判断X, Y的独立性。解：(1) X, Y的边缘密度分别为：J+8/a，y)dy = f14x ydy = 2x,/(%)= -ooQOf+8/(X, y)dx = J14xydx = 2y, f

14、(y)二 一8匚0y 。0 x 1其他o 48000 = P120000-1000xX 48000 = PX 85为 0. 0228。其中标准正态分布函数值=0.8413,=0.9772,=0.9987 .X01-110.30.30.3 aX与Y的相关系数16, 8的两个独立样6、设二维随机向量(x,y)的分布律是有那么a = 0.1 , X的数学期望E(X) = Jo. 4 ,P =3-0. 25 oxy7、设x，x及y,y分别是总体n(8/6)的容量为 11618本，分别为样本均值,S2,S2分别为样本方差。0.0456 .那么：X N(8, 1)15s27Ts2 为2(15),。F(15

15、.7)16 1 52 -2此题中(1) = 0.8413, 0(2) = 0.9772, 0(3) = 0.9987优质.参考.资料WORD格式.整理版8、设X,.X ,X是总体X的样本，以下的统计量中，A, B, C 是E(X)的无偏统计量，E(X)的无偏统计 123量中统计量 C最有效。1A, X + X X b. 2X X c. (X +XX) D, X+X1 23133123129.设某商店一天的客流量X是随机变量，服从泊松分布兀(阳，x ,X为总体X的样本，(X)的矩估计量17为又，160, 168, 152, 153, 159, 167, 161为样本观测值，那么E(X)的矩估计值

16、为16010、在假设检验中，容易犯两类错误，第一类错误是指：H成立的条件下拒绝H 的错误,也称为弃真错误 00,f a Q二(6分)随机变量X的密度函数/(x)=彳彳， -%+0o,其它求：(1)常数。，(2) p(0.5X4) (3) X的分布函数F (X)。解：(1)由/(工)小=1,得4 = 2200(2) p(0.5 X 4) = f4 f(xdx = ydx=0.5 r0.52 X2,fOx2F (x) = I 2r12 x +oo、x(e-x,0 x,三、(6分)设随机变量X, Y的概率密度分别为：f(X)= x 0, 其它、 / fl, 01,/ (y)= V,且随机变量x, y

17、相互独立。丫 10, 其它(1)求(X, Y)的联合概率密度为：/(X, M(2)计算概率值y22x o解：X, Y相互独立，可见(X, Y)的联合概率密度为 f (x, y)= f (x)- f (y), XYe-x, 0 x,0 1/(x, y) = 2x(2) P(Y2 2X)= fxdxdy = yd e-xdy0 2x优质.参考.资料WORD格式.整理版八 (6分)某工厂要求供货商提供的元件一级品率为90%以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取18 件，经检验发现有84件为一级品，试以5%的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否到达该厂方的的要求。(Z =1.645

18、,提示用中心极限定理) 0.05解总体X服从P为参数的07分布，H : p p = 0.9, H : p p = 0.92,0010X,，X 为总体X的样本，在H 成立条件下，选择统计量 11000X- pz二 一 由 中心极限定理，Z近似服从标准正态分布，那么拒绝域为z -z(1) 0 05 JQQV n经计算该体z = 2 74为 0.1587其中标准正态分布函数值=0.8413,0(2) = 0.9772,0(2.5) = 0.9938.6、有甲乙两台设备生产相同的产品，甲生产的产品占60% ,次品率为；乙生产的产品占,次品率为短0 o (1)假设随优质.参考.资料WORD格式.整理版机

19、地从这批产品中抽出一件.抽到次品的概率为0J4: （2）假设随机地从这批产品中抽出一件，检验出为次品，那么该产品是甲设备生产的概率是21ZZ7、7、设x，x 及y,y 分别是总体n（20,6）的容量为io, 15的两个独立样本，招分别为样本均158、值，S2,2分别为样本方差。12那么：又N (20, 3/5)，x - 丫 n (o, 1), p)X-Y 1 = 0.3174 ,S2X 2(9),空F(9.14)1 S22此题中(1) = 0.8413。此题中(1) = 0.8413,(2) = 0.9772,(3) = 0.9987设X,.X ,X是总体X的样本，以下的E（X）统计量中, I

20、 23C最有效。X +X -X12318 . 2X -X C. _(X +X X)9 .设某商店一天的客流量X是随机变量，服从泊松分布兀（九），X ,X 为总体X的样本，（X）的矩估计量为X , 15,16,18,14,16,17,16为样本观测值，那么E（X）的矩估计值为 1610、在假设检验中，往往发生两类错误，第一类错误是指H 成立的条件下拒绝H 的错误，第二类错误是指 H成立的条件下拒绝H 的错误,显著水平a是指控制第一类错误的概率 小于0 x +oo二（6分）随机变量X的密度函数/（犬）=1+元2 Io其它求：（1）常数。，（2） p（lx/）（3） X的分布函数F （X）。解：由卜

21、戈/(x)dx = 1,得 a = 土00p(-lX 了)2dx = )322arctanx20 x +0010第 2页共5页三、（6分）其它设随机变量X, Y的概率密度分别为：/%）=A优质.参考.资料WORD格式.整理版丫 10, 其它(1) 求(x, Y)的联合概率密度为：/(X,y)计算概率值pyzx2 o解：(1)X, Y相互独立，可见(x, Y)的联合概率密度为 f (x, y) = f (x)f (y), XYxy, 0 x 2,0 y %2)= jf /(x, Y)dxdy = f1 Jxj1 xydyE(w)=E(_rE(w)=E(_rX,)= ，它为的无偏估计量.(-1)S

22、215x0.72X 2 = 29.4 24.9960.520.52、(6分)某工厂要求供货商提供的元件一级品率为904以上，现有一供应商有一大批元件，经随机抽取100件，经检验发现有84件为一级品，试以% 的显著性水平下，检验这个供应商提供的元件的一级品率是否到达该厂方的的要求。(Z=1.645 ,提示用中心极限定理)解总体X服从p为参数的07分布,H p p =0.9, H : p p = 0.9X，X 为总体X的样本，在“ 成立条件下，选择统计量 11000买- PZ = - o 由 中心极限定理，z近似服从标准正态分布 那么拒绝域为z 一z (1 一)005经计算该体z = 2z,即得z在拒绝域内，故拒绝”,0.050认为这个供应商提供的元件的一级品率没有到达该厂方的的要求三.填空题(每空题3分，共计60分)1、A、B是两个随机事件，p(A) = 0.6,p(B) = 0.5,p(AB) = 0.3,那么p(A B)=0.8、p(A| B) 事件a,b的相互独立性为： 相互独立2、一个袋子中有大小相同的红球6只、黑球3只、白球1只, 优质.参考.资料