某大学概率论与数理统计期末考试试题3详细解答（2022年-2023年）.docx

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1、1.设事件43仅发生一个的概率为0.3,且P(A) + P仍)=0.5,那么至少有一个不发 生的概号_解：P(A)+18) = 0.3即0.3 = P(AB)+P(AB) = P(A) - P(AB) + PB - P(AB) = 0.5-2P(AB)所以 P(AB) =0.1 P(A a)=P(硒=1 P( AB) = 0.9.2、一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率 为0.05, 一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求(1) 一个产品经检查 后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格 品的概率.(20分)解：设人=任取一产品，

2、经检验认为是合格品B=任取一产品确是合格品_那么(1) P(A) = P(B)P(A | B) + P(B)P(A | B)=0.9x0.95+ 0.1 x 0.1 P(AB) 0.9x0.=0.9x0.95+ 0.1 x 0.1 P(AB) 0.9x0.(2) P(B | A)=P(A) 0.85702 = 0.857.DO_ = 0.9977.3、连续型随机变量X的分布函数为FM = A+Barctan x, x e (-00, co) 求(1)常数A和8, (2) P(1X1), (3)概率密度/。(20分)4、随机变量(*，丫)的分布律为(20分)问：(1)当a，B为何值时，X和丫相互

3、独立。(2)求P&=2l。5、设随机变量X月姒N(0,1)分布，求随机变量y= ex的概率密度函数。(10分) 6、向一目标射击，目标中心为坐标原点，命中点的横坐标x和纵坐标y相 互独立，且均服从N(0,22)分布.求(1 )命中环形区域。=(X，y) |1 X2 +J2 2的概率；(2)命中点到目标中心距离Z =X2 + Y2七(11分)设某机器生产的零件长度(单位：cm) XN(|Lie2),今抽取容量为16的样本，测得样本均值斤=10 ,样本方差S2 =0.16 . (1)求日的置信度为0.95的置信区间；(2)检验假设a。：。240.1 (显著性水平为0.05).(15) = 2.13

4、2,(附注)t (16) = 1.746, t (15) = 1.753, t0.050.050.025%2 (16) = 26.296, %2 (15) = 24.996, /2 (15) = 27.488.0.050.050.025解：(1)日的置信度为1-。下的置信区间为(X75一 1)；, X+t 仇一1)3)a/25a/2小X=10, s = 0.4,=16, a =0.05, t (15)=2.1320.025所以日的置信度为0.95的置信区间为(9.7868, 10.2132)(2) H ：O2 W0.1 的拒绝域为2之X2( - 1). oa15V2%2 = - = 15x1.

5、6 = 24, %2 (15)=24.9960.10.05因为 Z2= 24 24.996 = /2 (15),所以接受H .0.050的数学期望.（20分）解:e2兀4DD/+记_ I8 dxdy 8k o 1271e8 rdrd f re- r221=_J 2 8 (1 () =_ C 818(2) EZ = E(qX2 + Y2)f f1=J +8j +G0 J%2 + y2 ,e - 8 dxdy00-008 兀_ 1 J 2K j 4-X *1丁re 8 rdrd8兀o or2+00e Qrklr2= -re 8+00+O0 在e8clr =o4-oo-oo1 上-一 e dr J2

6、兀PX,/) e D = W /(x, y)dxdy1、（10分）将3粒黄豆随机地放入4个杯子，求杯子中盛黄豆最多为一粒的概率八分之三（20分）设随机变量x的概率密度为, 0x2, 0 ,其它.求（1）常数(1) x的分布函数b(x)；(3) P(1X3).3、（10分）设随机变量X在区间（0,2）上服从均匀分布，求随机变量y=X2在区间。4）内的概率密度为/（J）2 .设随机变量X服从泊松分布，且P（X W1） = 4P（X =2）,那么P（X=3）二2.答案：16-16解答：九2P(X W1) = P(X =0) + P(X =1) = 64 + 九e-3 P( x=2) = e-由 P(

7、 X W1) = 4P( X = 2) 知 + Md = 2九2Q即 2九2九一1=0解得 1,故1p(X=3)=_e-13 .设随机变量x在区间(0,2)上服从均匀分布，那么随机变量y = X2在区间(0,4)内的概率密度为/y(y) = 口 答案：0 y 4, 其它.解答：设丫的分布函数为/Jy), X的分布函数为勺，密度为北 那么f (y) = F 3 =YYL, 0 y 4, s0 ,其它F(y) = P(Yy) = P(X2y) = P(-/X)=F ()-F (一) 因为 X U(0, 2),所以，(一J7) =。，即仞)=(J7)另解在(0,2)上函数y = x2严格单调，反函数

8、为/z(y) =所以0 y4, 其它.1/ (y)=/ (J7),=丫 x v S4 .设随机变量X,y相互独立，且均服从参数为 人的指数分布，P(X1) = e-2,那么 X 二3,Pmin(X3r)1=.答案：九=2, Pmin(X,y)1) = 1 P(X(1) = e4 = e-2,故九=2Pmin(X,y) 1=1-p(xi)尸(丫1)=1 6-4 .5 .设总体x的概率密度为/(x)=|(e+1M, 0x_r0, 其它x ,x , ,x是来自X的样本，那么未知参数e的极大似然估计量为 12n答案:-1解答：似然函数为L(x1J-Vlnxn ii=.，x ；o）= rf（e+i）x。

9、=（G+i （x，.无）。InL = nln(0 +1)+0 nxdnL n=+d。 0+1/=!Tnx a0i=l解似然方程得e的极大似然估计为0 =1- 1J-Xjn xn ii=二、单项选择题（每题3分，共15分）i设4民C为三个事件，且相互独立，那么以下结论中不正确的选项是 假设尸（C） = 1,那么AC与BC也独立.。 假设P（C） = 1,那么AU。与8也独立.O 假设P（C） = 0,那么AU。与8也独立.O 假设c u B ,那么A与C也独立.（）将（D）.解答：因为概率为1的事件和概率为。的事件与任何事件独立，所以（A）, （B）, （C） 都是正确的，只能选（D）.事实上由

10、图可见A与C不独立.2设随机变量XN(0)，X的分布函数为(x),那么尸(| X 2)的值为(A) 2 1-0(2).(B) 20(2)-1.(C) 2(2).(D) 1-20(2).()答案（A）解答：X N(0)所以 P(| X2) = 1 P(| X 区 2) = 1 P(2 X2)应选(A).应选(A).=1-0(2) + 0(-2) = 1-2O(2)-1 = 21-O(2)3设随机变量X和丫不相关，那么以下结论中正确的选项是(A) X 与y 独立.(B) D(X-Y) = DX + DY .(C) D(X-Y)=DX-DY.(D) D(XY) = DXDY.()1116918oc答

11、案：(B)解答：由不相关的等价条件知，对=8丫 (x, y) = DX-Y) =DX + DY+2cov (x, y)应选(B).4设离散型随机变量x和y的联合概率分布为(x,y)(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)(A) a =%(D) a=18P = 2.18假设X独立，那么a, p的值为2 q 1(A) a = B = _.99Q1(C) a = _, P = _66答案：（A）解答：假设x,y独立那么有1111691821aP31 11 R_ _ +a _+ p 2 918131 Q_+a+ p3a = P(X=2, Y=2)=P(X=2)P(Y= 2

12、)119 1= q+a + B)(+a) = (+a)21a = _ , P = _99故应选(A).5设总体X的数学期望为n,X ,X ,，X为来自X的样本，那么以下结论中1 2n正确的选项是（A）七是目的无偏估计量.（B）是pi的极大似然估计量.（C）X是pi的相合（一致）估计量.（D） X不是目的估计量.（） 11答案：（A）解答：EX =日，所以X是目的无偏估计，应选（A）.11三、（7分）一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为 0.05, 一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求（1） 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；一个经检查后被认为是合格品的

13、产品确是合格品的概率.解：设A=任取一产品，经检验认为是合格品B=任取一产品确是合格品_那么（1） P（A） = P（B）P（A | B） + P（B）P（A | B）=0.9x0.95+ 0.1 x 0.02 = 0.857.（2） P(3 | A)=尸(A5) = 0.9977 .P(A) 0.857四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为2 3RX=/c) = Oc(Z)k(_)3k/c = 0,1,2,3.X的分布函数为27

14、5412512523612538T250 , 27x 0,除11712551 ,EX = 3x =0 x1,1 x 2,2 x 3.3 5 5解:.yx+y=z(2)利用公式/(z)=z2, 其中 f(x, z x)=十“ z-x)dx-oo0x1,0z-x1-x (2, 0x1, xz0, %+y1上服从 均匀分布.求(1) (X,Y)关于X的边缘概率密度；(2) Z=X + Y的分布函数与概率密度.(1) (X,Y)的概率密度为f2, (x, y)eD小小i。，其它.r / _/内2-2%, 0x1幻的o ,其它当 z0或z1 时y(z) =0Z=X故Z的概率密度为2z, 0 z15Z的分

15、布函数为/(Z)zP5 z。0 , z0,Jz f (y)dy= J z2ydy, 0z1 = Z2, 0 z1或利用分布函数法I 0 ,F (z) = P(Zz) = P(X+ Y z) = 2dxdy, zz 0, 0z13。11l 一z0,0z1 .0z1, 其它.六、(10分)向一目标射击，目标中心为坐标原点,命中点的横坐标x和纵坐标丫相(2) EZ = E(JX2 + 丫2)2兀4D二2 左 松互独立，且均服从N(0,22)分布.求(1)命中环形区域D = (x,y)|1 %2 + y242的 蟀；(2)命中点到目标中心距离Z = JX2 + 丫2的数学期望.(1) RX,y)wD = 0 f(x, y)dxdyD2卫 a e 8 rdrdy=fj 1 eX +y dxdii- j 27i j82_1_= 6862;r r N+乎=J +4 +8小心+?2 .上dxdyoo oo8 冗2710re rdrdQ = o0Z.2+x e 8 厂2dr4 o