2022年几何辅助线做法要点试题（试卷）.docx

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1、本文档为独家精品文档尊重原创切勿盗版以下资源均为最新版感谢您的支持Zl= Z2ED = ED：.2BDE叁丛 NDEb 乙:BE=NE同理可证：CF=NF在川中，EN+FNEF:.be+cfef规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：，如图，为ABC 的中线，且 Nl=/2, Z3= Z4,求证：BECFEF证明：延长E。到M,使DM = DE,连结CM、FM 8DE 和CDM 中，BD = CDZl= Z5ED = MD二80 虑COM：.CM = BE又,.N1=N2, Z3= Z4Z1+Z2+Z3 + Z4 = 180AZ3 +N2 = 90。即 NED

2、F= 90。ZFDM = NEDF = 90 EOF 和乂）中ED = MDZFDM= ZEDFDF 二 DF:.4EDF/MDF:EF=MF,在CMF 中，CF+CM MFBE+CFEF（此题也可加倍FD,证法同上）规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：，如图，八。为8c的中线，求证：AB+AO2AD证明：延长4。至,使。 = 4D,连结8工。为ABC的中线-eD=CD /在AC。和EBD 中d ,BD = CDZl= Z2AD = ED:.ACD 沼 REBD*： /ABE 中有 AB-BEAE：.ABAC2AD规律24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段

3、上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当或求证中涉及到线段。、b、c、d有以下情况之一时用此种方法: ab = c。士b = cd例：，如图，在48C中，ABAC, Zl= Z2, P为4。上任一点,求证：AB-AOPB-PC证明：截长法：在48上截取A/V = 4C,连结PNAN = ACZl= Z2AP = AP：,AAPN/APC，PC=PN：4BPN 中有 P8-PCV8/V?. PB-PCPM-PC练习：1.,在A8C 中，N8 = 60。/。、 并且它们交于点。求证：AC = AE-CD2.,如图，AB/CDZ1= N2,/CE是

4、8c的角平分线，4求证：BC = ABCD规律25.证明两条线段相等的步骤:观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。假设图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们 所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，BE、C。相交于 F, Z8= ZC, Zl= Z2,求证：DF=EF证明：V Z4DF=ZB+Z3ZAEF= NC+N4XVZ3= Z4N8= ZC/. ZADF= ZAEF在和4EF中ZADF= ZAEFZl= Z2AF = AF:DF=EF规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余

5、角相等来证明两个角相 等.例：，如图 RtABC 中，48 = AC, NBAC = 90% 过 A 作任一条直线 AN,作 BD1AN 于 D, CE1AN 于 E,求证：DE = BD-CE证明：ZBAC= 90, BDANZl+Z3 = 90Zl+Z3 = 90.Zl+Z2 = 90 Z2 = Z3：BD 上 ANCEA.AN：.ZBDA=ZAEC = 90 在AB。和CAE中， ZBDA=ZAECZ2= Z3AB=ACZA80gCAE：.BD = AE .AD = CE：.AEAD = BDCE：.DE=BDCE规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：4。为4

6、8C的中线，且CF_L4。于F, 8E_L4）的延长线于E求证：BE=CF证明：（略）规律28.条件缺乏时延长边构造三角形.例：AC = BD, ADlACA, BCBD 于 B求证：AD = BC证明：分别延长C8交于点E*：ADAC BC1.BD :CAE= ND8E = 90。在D8E和C4E中ZDBE = ZCAEBD = ACZE=ZE08&ZXC4E:,ED = EC, EB = EA：.ED-EA = EC- EB：.AD = BC规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.例：，如图，AB/CD, AD/BC求证：AB = CD证明：连结AC （或8。）A

7、B/CD, AD/BCAZ1= Z2在ABC和CM中，Zl= Z2AC=CAZ3= Z4/ABC/CDA：.AB = CD练习：，如图，AB = DC, AD = BC, DE = BF,求证：BE=DF规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为角分垂等腰归”.例：，如图，在 中，AB = AC, ZBAC = 90, Zl= Z2 , CE_L8。的延长线于 E求证：BD = 2CE证明：分别延长加、CE交于F*： BELCFF：.ZBEF = Z BEC =90在8EF和BEC中Zl= Z2BE = BENBEF = NBEC二8EF丝BEC1：.CE = FE =

8、-CF2ZBAC= 90, BE-LCF：.ZBAC = ZCAF = 90ZBDA = 90ZH-Z8FC = 90NBDA = ZBFC在ABO和林中ZB AC = ZCAFZBDA = ZBFCAB = AC/. abdgaacf：,BD=CF ：.BD = 2CE练习：，如图，ZACB = 3ZB, N1=N2,CO_L4。于。,求证：AB-AC=2CD规律3L当证题有困难时，可结合条件，把图形中的某两点连接起来构造 全等三角形.例：，如图，AC, 8。相交于。，且 A8 = DC, AC=BD,求证：ZA = ZD证明：（连结8C,过程略）规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某

9、条线段中点，为证题提供条件.例：，如图，AB = DC, ZA= ND求证：ZABC= ZDCB证明：分别取A。、8c中点N、M,证明：分别取A。、8c中点N、M,连结N8、NM、NC （过程略）规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两 边距离相等证题.例：，如图，Zl= Z2 , P 为 8N 上一点，且 PD_L8c 于。，48+8C=28D,求证：ZBAP-ZBCP= 180证明：过P作PE_L8A于EVPDlfiC, Zl= Z2:PE = PD在 Rt/BPE 和 RtABPD 中BP=BPPE = PD工 RtABPEgRtABPD ；BE

10、=BDVAB-hBC=2BD, BC = CD+BD, AB = BEAE.AE = CD*：PELBE, PDA.BCZPEB=ZPDC = 90在和中PE=PDZPEB=ZPDCAE=CD:PEAeBDC：,NPCB = NEAPZBAP+ ZEAP =130.N8AP+N 8cp =180。练习：1.,如图，PA. PC分别是ABC外角N/VMC与/VGA的平分线，它们交于P,POJ_8M于M, PF_LBN于F,求证：8P为/M8N的平分线2.,如图，在8c 中，NA8c=100。，ZACB = 20% CE 是N4CB 的平分线，。是 AC 上一点，假设NC8O = 20。，求NCE

11、D的度数。规律34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：，如图，AB = AC, 8D_L4C 于。，求证：ZBAC=2ZDBC证明：（方法一）作N84C的平分线AE,交8c于,那么N1=N2= - ZBAC 2AB = AC：.AE1BCa.Z2+Z/4CB = 90BD1AC ：.NDBC+ ZACB = 90AZ2 = ZDBC：.ZBAC=2ZDBC（方法二）过4作4E_18c于E （过程略）线、角、相交线、平行线规律1.如果平面上有m成2）个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直 线，一共可以画出，（。一1）条.2规律2.平面上的“条直线量多

12、可把平面分成个局部.规律3.如果一条直线上有n个点，那么在这个图形中共有线段的条数为条. 2规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的 一半.例：如图，8在线段AC上，M是八8的中点，N是8c的中点.求证：MN=-AC 2证明：，M是48的中点，N是8c的中点11= 一 AB ,BN = CN = - BC221 1 1MN = MB+BN= -AB+ -BC= -(AB + BC) 222MN=-AC 2练习：1.如图，点C是线段48上的一点，M是线段BC的中点.求证：AM= - (AB + BC) 22.如图，点8在线段AC上，M是48的中点，/V是4

13、C的中点.（方法三）取8c中点,连结AE （过程略）有底边中点时，常作底边中线 例：，如图，8c 中，AB = AC,。为 8c 中点，OEJ48 于 E, 0F_L4C 于 F,求证：DE=DF证明：连结AD.人,D 为 8c 中点，e/ vD C：.BD = CD又A8=4C 4。平分N84C：DEAB, DF1,AC:DE=DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：，如图，4BC中，AB = AC,在84延长线和47上各取一点E、F,使4E = 4F,求 证：EFLBC证明：延长8E至UN,使AN = A8,连结CN,那么A8 = A/V = 4CN8 = ZACB, NACN = NAN

14、CN/ N8+ ZACB+ N4C/V+ ZANC = 180V：.2 N BCA + 2 ZACN = 180/ BC：,ZBCA+ZACN = 9Q即 ZBCN = 90/./vcecAE = AF； N4EF= /AFE又.N8AC=/AF +N4FEZBAC= /ACN +/A/VCZBAC =2 NAEF = 2 ZANC ZAEF= ZANC ：,EF/NC ：.EFBC常过一腰上的某一点做另一腰的平行线 例：，如图，在48C中，AB=AC,。在43上，E在47延长线上，且8。= CE,连结。E交8c于F求证：DF=EF证明：证法一）过。作DN 八,交8c于N,那么/0N8=N4C

15、8, NNDE= NE,AB = AC,N8 = NAC8:,NB=/DNB:,NB=/DNB；BD = DN又 *：BD = CEM:,DN = EC 在D/VF和AECF中Zl= Z2NNDF = NEDN = EC :.DNFWAECF :DF = EF（证法二）过E作EM八8交8c延长线于M,那么NMB=N8 （过程略）常过一腰上的某一点做底的平行线长线上，且例：，如图，48C中，AB =AC, E在4c上，。在8A延AE,连结DE求证：DEBC证明：1证法一）过点E作EFBC交AB于F,那么ZAFE = ZBZAEF = ZCAB = AC：.ZB=ZCZAFE=ZAEF*：AD =

16、 AE，ZAED=ZADE又 ,/ NAFE+ ZAEF+ N4E0+ ZADE = 180，2 4EF+2 NAED = 90即/FED = 90:DE上FE又.FBC：.DE1BC（证法二）过点。作O/V8c交CA的延长线于M （过程略）（证法三）过点4作4M 8c交OE于M,（过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形一一等边三角形例：，如图，48C 中，48 = 47, /84c =80。，为形内一点，假设 NPBC= 10。NPCB = 30求的度数.解法一：以48为一边作等边三角形，连结CE那么 N8AE = N48E = 60。AE = AB = BE：AB = AC .AE

17、= AC ZABC = ZACB，ZAEC = ZACEZEAC = ZBAC- Z BAE=80 60 = 20ZACE = - (180-Z4C)= 80V ZACB= y (1800-Z84C)= 50：.ZBCE = ZACE-ZACB= 80 50 = 30V ZPCB = 30：,ZPCB= Z BCE*： ZABC = ZACB = 50。，ZABE = 60/. ZEBC = ZABE- ZABC = 60-50 =10V ZPBC= 10A ZP8C= ZEBC在P8C和E8C中ZPBC= ZEBCBC=BCZPCB = NBCE:/PBC 当 AEBC：.BP = BE*A

18、B = BE：.AB = BP：,ZBAP=ZBPAV ZABP=ZABC- ZPBC = 50 - 10。= 40：,ZPAB= -(130- ZABP)= 70解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以8c为一边作等边三角形BCE,连结4E,那么EB = EC=BC, ZBEC = ZEBC= 60EB = EC.E在8c的中垂线上同理人在8c的中垂线上/AM所在的直线是8c的中垂线/18c1ZAEB= - ZBEC= 30 =ZPCB9由解法一知：乙ABC =50。:* 48E= NE8c - Z/ABC= 100 =ZPBC：ZABE=ZPBC,BE = BCfZAEB =

19、ZPCBA8E/0 8c：.AB = BP：,ZBAP = ZBPA：NABP = ZABC- NPBC = 50。- 10 = 40：.ZPAB= ； (180。-N28P)= g (180。- 40。)= 70。规律35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：，如图，在48C 中，Zl= Z2, ZABC=2ZC,求证：28+8。= AC证明：延长4B到,使8=8D,连结。那么 N8ED= ZBDE,/ NA80=NE+N80E/. ZABC=2ZEZABC=2ZC：.ZE= ZC在AE。和AC。中Z= ZCZl= Z2AD = ADAED /CD ：.A

20、C = AE a：AE = AB+BE ：.AC = AB-BE 即 AB-BD = AC平分二倍角例：，如图,在48C 中，80_L4C 于。，ZBAC=2ZDBC求证:求证:ZABC= ZACBZAEC= 180。一/CAE- ZC= 90证明:证明:作ZBAC的平分线AE交BC于E,那么NBAE = NCAE = NDBCV8D1/AC； NCBD +ZC = 90.ZCAE+ZC= 90：.AEBC. NA8C+/BAE = 90。* ： ZCAE+ZC= 90ZBAE= ZCAE，ZABC= NACB加倍小角例：，如图，在ABC 中，8DJ_AC 于 0, ZBAC=2ZDBC求证：

21、ZABC= ZACB证明：作NFBD=N08C,8F交AC于F （过程略）规律36.有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来.例：，如图，AABC中，AB = AC, ZBAC = 120, F为48的垂直平分线，EF交8c于F,交A8于E求证：BF-FC 2证明：连结AF,那么AF = BF：AB = AC，N8=NCVZ84C= 120，N8=NCN84C = ； (180。- N8AC) = 30。：.Z FAB = 30 ：.ZFAC = ZBAC- ZFAB = 120。-30。=90XV ZC= 30,AF= -FC2：,BF = -FC 2练习：，如图，在ABC中，

22、NC48的平分线4。与8c的垂直平分线。交于点D, DM1AB于M, DN_L4：延长线于N求证：BM = CN规律37.有垂直时常构造垂直平分线.求证：CD = AB-BD证明：（一）在8上截取。口：.ZB=ZAEBVZ8 = 2ZC:DB,连结AE,那么48 = AEA例：，如图，在48。中，ZB=2ZC, 2O_L8C于。/. ZAEB = 2ZCD又丁 ZAEB= NC+/E4C又： cd = de+ce :.cd = bd+ab（二）延长 CB 到 F,使 DF=OC, 规律38.有中点时常构造垂直平分线.例：，如图，在4BC 中，BC=2AB, ZABCADB连结4F那么AF=4C

23、 （过程略）= 2ZCfBD=CD求证：ABC为直角三角形证明：过。作DE_L8C,交AC于E,连结8E, .zc=ZfecZABC=2ZC /. ZABE = ZEBCV BC=2AB, BD = CD BD = AB在48E 和 ADBE 中AB = BDNABE=/EBCBE = BE/. AABEADBE ：.ZBAE= ZBDE VZeDE = 90o：.Z BAE = 90那么BE = CE,工D B即ABC为直角三角形规律39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例：，如图，在48C中，ZA = 90, DE为8c的垂直平分线求证：BE2AE2=AC2证

24、明：连结CE,那么8E=CEZA = 90：.AE2irAC2 = EC2：.AE2-AC2= BE2：.BE2AE2 = AC2练习：，如图，在ABC 中，ZBAC = 90, AB = AC, P 为占 八八求证：PB24-PC2= 2PA2规律40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：，如图，在ABC 中，Z8 = 45, ZC = 30, AB = g ,求 4c 的长.解：过人作4D_L8c于。N8+N84D = 90。，VZB = 45, ZB= ZBAD = 45,：.AD = BD AAB2 = AD2 + BD2, AB =&B：.AD=1VZC= 30,

25、ADA.BC求证：MN= -BC 23.如图，点8在线段AC上，N是AC的中点，M是8c的中点.求证：MN= -ABa 十规律5.有公共端点的n条射线所构成的交点的个数一共有个.规律6.如果平面内有条直线都经过同一点，那么可构成小于平角的角共有2 (n-1)个.规律7.如果平面内有。条直线都经过同一点，那么可构成 (n-1)对对顶角.规律8.平面上假设有。(n3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一 共可作出！(0一1)(一2)个.6规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90。.规律10.平面上有n条直线相交，最多交点的个数为;(。一1)个.规律11.互为补角中较小角

26、的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁 内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.：.AC=2AD = 2四边形局部规律41 .平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：，必8c。的周长为60cm,对角线八C、8。相交于点O, 408的周长比BOC的周长多8cm,求这个四边形各边长.解：,四边形A8CD为平行四边形：.AB = CDt AD = CB, AO = COM8 + CD+DA + CB = 60八。+八 8 + O8-(O8 + 8C+OC) = 848+8C=30,

27、 AB-BC=8：,AB = CD = 19, BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为19cm、11cm. 19cm、11cm.规律42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.（例题如上） 规律43.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：，如图，Rt/ABC, N4CB = 90。，CD1AB T D, 4E 平分NC48 交 CO 于 F,过 F 作 FHA8 交8c于H求证：CE = BH证明：过F作FP 8c交A8于P,那么四边形FP8H为平行四边形 NB=NFPA, BH = FPV ZACB = 90% CDA.ABN5+NC48 = 4

28、5。，N8+NC48 = 90.Z5=ZB：,Z5=ZFPAXVZ1=Z2, AF = AF:丛QF在丛PAF:CF=FPVZ4=ZH-Z5, Z3=Z2+ZBAZ3=Z4：,CF=CE ：,CE = BH练习：，如图，AB/EF/GH, BE = GC求证：AB = EF+GH规律44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段.例：，如图，在M8CD中，AB = 2BC, M为48中点求证：CM_LOM证明：延长DM、CB交于N四边形ABCD为平行四边形：.AD=BC, AD/BC:.乙 4 = /NBA 4ADN /7c =Z/V又, AM = 8MA L4:,/AMD%/BMNN

29、:.AD = BN：.BN = BCAB = 2BC, AM = BM，BM=BC=BN.Z1=Z2, Z3=Z/V Zl+Z2+Z3+Z/V= 180,AZl+Z3 = 90A CM DM规律45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相等.如图：OE = OF规律46.平行四边形一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的连线所构 成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：SA8C = - S-ABCD 2规律47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.如图：S.MOB + SaDOC= SaBOc +

30、 SAxIOD = - Sn/IBCD 2规律48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中, 不相邻的两条线段的平方和相等.如图：AO2+OC2=BO2 +D02规律49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为 矩形.如图：四边形是矩形（规律45规律49请同学们自己证明）规律50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：，如图，E为矩形A8C。的边4。上一点，且8E = D, P为对角线8。上一点，PF工BE于F, PG_LA。于 G求证：PF+PG = AB证明：证法一：过P作PH_L4B于H,那么四边形AHPG为矩形：.AH = GPPH/AD/. ZADB=ZHPBA； BE = DEj

31、|/. ZEBD = ZADB：.ZHPB=ZEBD又NPFB=NBHP = 9。:,/PFB m 4BHP:,HB = FP：.AH+HB = PG-iPF即 AB = PG+PF证法二：延长GP交8c于M那么四边形2BNG为矩形，（证明略） 规律51.直角三角形常用辅助线方法:作斜边上的高例：,如图,假设从矩形八8CD的顶点C作对角线BD的垂线与NBAD的平分线交于点E求证：AC=CE证明：过人作4F_L8。，垂足为F,那么AFEG A|VT芟刁”：,/FAE= ZAEG四边形48CD为矩形：.Z BAD = 9Q0 OA = OD：.ZBDA=CADV/AF1BD48。+ ZADB =

32、NABD+ NBAF = 90。：NBAF=NADB=/CADTAE为N8N。的平分线：,ZBAE=ZDAE，NBAE-/BAF = NDAE- ZD ACiZFAE = ZCAE：.ZCAE=ZAEG：,AC = EC作斜边中线，当有以下情况时常作斜边中线：有斜边中点时例：，如图，AD. 8E是48C的高，F是OE的中点，G是A8的中点求证：GFA.DE证明：连结GE、GD/二工。、8E是48C的高，G是48的中点11GE= -AB, GD= -AB 22 GE = GDIF是DE的中点GF IDE有和斜边倍分关系的线段时例：，如图，在48C中，。是8c延长线上一点，且附于A, AC= -B

33、D 2求证：ZACB = 2ZB证明：取8。中点,连结那么4E=8E= - BD 2/.zi=zeV4C= -BD2 ：-AC = AEb N d:.Z4Cfi=Z2VZ2=Z1+Z8AZ2 = 2Ze:./ACB = 2/8规律52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例：，如图，过正方形A8C。对角线8D上一点P,作PE_L8c于,作PF_LCD于F求证：AP = EF证明:连结4c、PC四边形28co为正方形8。垂直平分AC, ZBCD = 90：.AP = CPVPE18C, PFLCD, ZfiCD = 90四边形PECF为矩形：.PC=EF ：.AP = EF规律

34、53.有正方形一边中点时常取另一边中点.例：，如图，正方形488中，M为48的中点，MNLMD, BN平分NCBE并交MN于N求证：MD = MN证明：取4。的中点P,连结PM, DP = PA=-AD 2四边形4BCD为正方形：.AD = AB, NA =48C= 900，N1 + NAMO = 90。，又 DM 工 MN，N2+NAMO = 90。AZ1=Z2VM为48中点；.AM = MB = -AB 2DP = MB AP = AM：.N4PM=NAMP = 45。A ZDPM =135BN 平分NCBE/. ZCBN = 45NMBN =NM8C+ ZCBN = 90。+45。= 1

35、35ZDPM=ZMBN ：,4DPMQ/MBN :DM = MN注意：把M改为A8上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。练习：，Q为正方形48C。的CD边的中点，P为CQ上一点，RAP = PC-BC求证：ZBAP=2ZQAD规律54.利用正方形进行旋转变换旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征时，可以把图形的某局部绕相等邻边的 公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件.旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.例：，如图，在aA8c中，AB = AC, ZBAC=9Q,。为BC边上任一点求证：2AD2 = 8D2 +

36、 CD2证明：把阳。绕点八逆时针旋转90。得，8D=CE ZB = ZACEVZB4C=90：.ZDAE = 90：.DE2 = AD2-AE2 = 2AD2VZ8+ ZACB = 90/.ZDCE = 90：,CD2CE2 = DE2：,2AD2 = BD2-CD2注意：把4?C绕点八顺时针旋转90。也可，方法同上。练习：，如图，在正方形48co中，E为4。上一点，BF平分NCBE交CD于F求证：BE=CF+AE规律55.有以正方形一边中点为端点的线段时，常把这条线段延长，构造全等三角形.例：如图，在正方形48CD中，E、F分别是8、04的中点，BE与CF交于P点、求证：AP = AB证明：

37、延长CF交84的延长线于K,四边形28CD为正方形BC = AB = CD = DA NBCD=/D=/BAD = 90F分别是CD、DA的中点. 1 1CE= -CD DF = AF= -AD 22：,CE = DF：.ZCBE = ZDCFZBCF+Z DCF =9Q0AZBCF+ZCBf =90：.BELCFZABC+ZBCD+ZCDE=360ZBCD = ZABC + ZCDEZBCD = ZCDE - ZABC(4)ZBCD = ZABC - ZCDEZCDE = /BCD + /ABCZABC = ZBCD + ZCDE13.AB 。&如图,规律如下:规律14.成8字形的两个三角形

38、的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.XV ZD =ZD4/e= 90 DF = AF Z1 =Z2:CD = KAXV8E1CF：.AP = AB8c上,练习：如图，在正方形48C。中，Q在CD上，且。Q = QC, P在 且 4P = CD+CP求证：AQ平分N04P规律56.从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形.例：，如图，等腰梯形 ABC。中，AD/BC, 40 = 3, 48 = 4, BC=7求N8的度数解：过A作作 8交BC于,那么四边形AEC。为平行四边形：.AD = EC, CD = AE工8 = 8 = 4,AD = 3, BC

39、=7：.BE = AE = AB = 448E为等边三角形r.ZB = 60规律57.从梯形同一底的两端作另一底所在直线的垂线，把梯形转化成一个矩形和两个三角 形.例：，如图，在梯形 48CD 中，AD/BC, AB = AC, ZBAC = 90, BD = BC, 8。交 AC 于 O求证：8 = CD证明：过A、。分别作4E_L8C, DF1BC,垂足分别为、F那么四边形AEF。为矩形:AE = DF，：AB = AC, AEA.BC, ZBAC = 9Q,：.AE = BE = CE = -BC, ZACB = 45 2*：BC=BD1：.AE = DF= -BD 2又DF_LBCJ

40、ND8c = 30VBD=BC，N8OC = /8C。=；（180。一 NO8C）二 75。NOOC = NO8C+ ZACB = 30。+45。= 75:/BDC = NDOC：.CO = CD规律58.从梯形的一个顶点作一条对角线的平行线，把梯形转化成平行四边形和三角形.例：，如图，等腰梯形 A8C。中，AD/BC, ACA.BD, 4。+8c=10, DEI8c 于 EF,那么四边形求DE的长.解：过。作DF 八C,交8c的延长线于ACF。为平行四边形：.AC=DF, AD = CF四边形28CD为等腰梯形：.AC=DB：.BD = FDVDflfiC.BE = EF = -BF2= -

41、(BC+CF)=-(BC+4D)221 =xl0 = 52 AC/DF, BDLACABD IDFBE = FE：.DE=BE=EF= -BF=5 2答：OE的长为5.规律59.延长梯形两腰使它们交于一点，把梯形转化成三角形.例：，如图，在四边形48co中，有48 = DC, N8=NC, ADBC求证：四边形48CD等腰梯形证明：延长84、CD,它们交于点EVZB=ZCE：.EB = EC 又 TAB = DC：.AE=DE ：.ZEAD=ZEDAZE+ NE40+ /EDA = 180ZB+ZC+ZE =180:NEAD=NB：.AD/BC20h8C, ZS=ZC四边形488等腰梯形（此题

42、还可以过一顶点作AB或CD的平行线：也可以过2、。作8c的垂线）规律60.有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形.例：，如图，梯形48CD中，AD/BC, E为C。中点，EF_LA8于F求证：S梯形ABCD = EF AB证明：过E作MN人8,交4?的延长线于M,交8c于N,那么四边形4BNM为平行四边形advEFA.AB/b NcSm8nm = AB-EF,CAD/BC:.NM=NMNC又，：DE=CE Z1=Z2.,.CEA/ADA4Sjcen = SademAS 梯形 ABCD = S Htil 形 ABNEd + SaCEN = 5 /i ii fli A

43、BNED + SADEM=S 梯形 A8C。= EF-AB规律61.有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交, 把梯形转换成三角形.例：，如图，直角梯形 A8c。中，AD/BC, 48_LAO 于 4 DE = EC=BC求证：ZAEC = 3ZDAE证明：连结8E并延长交AD的延长线于/VAD/BC.Z3=Z/V又N1=N2 ED = EC:.ADEN沿2CEB：.BE=EN DN = BC：.ZN=ZDAE：.ZAEB =ZN- ZDAE = 2ZDAEV DE=BC BC=DN：.DE=DN/.ZA/=Z1VZ1=Z2 NN = NDAE.Z2=ZD4f/. ZAEB+ Z2 = 2N0区E+ ZDAE即 NAEC=3ND4E规律62.梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线.例：，如图，梯形48CD中，AD/BC, ADBC, E、F分别是4。、8c的中点，且EF_L8c求证：Ze-Z.c证明：过E作EM48, ENCD,交8c于M、N,那么得必8ME, nNCDE：.AE=BM, AB/=EM, DE = CN, CD = NE*：AE = DE：.BM = CN 又,：BF=CF:,FM = FN又.EFJl