《概率论与数理统计》习题答案(复旦大学出版社)第一章.docx

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1、概率论与数理统计习题及答案习题一1.略.见教材习题参考答案.2,设4 B, C为三个事件，试用4 B, C的运算关系式表示以下事件:(1) 4发生，B, C都不发生;(2) 4与8发生，C不发生;(3) 4 B, C都发生；(4) 4 B, C至少有一个发生;(5) 4 B, C都不发生;(6) 4 B, C不都发生;(7) A B, C至多有2个发生;(8) 4 B, C至少有2个发生.【解】(1) aBC (2) ABC (3) ABCAUBUC=AB cu7 bC uaBC iT/A bcJa b cuabC u abcabc(4) ABC=ABC(6) ABCAbCaBcABC u A

2、BcuaBC u AbC u ABC=ABC=A u B u C(7) ABU BCU CA=ABC UABcu AbCUABC.略.见教材习题参考答案3 .设A 8为随机事件，且P (4) =0.7,尸(4口)=0.3,求尸(48 ).【解】P ( AB)=1-P (AB) =1 -尸-尸(4-坳=1-0.7-0.3=0.64 .设 A 8是两事件，且P (4) =0.6,尸(6)=67,求:(1)在什么条件下P (48)取到最大值？(2)在什么条件下P (48)取到最小值？m(1)当48”时，尸(48)取到最大值为06(2)当时，P (AB)取到最小值为0.3.5 .设4 B, C为三事件

3、，且 P (A) =P (B) =1/4, P (C) =1/3 且? CAB) =P (BC) =0, 尸(AC) =1/12,求A B, C至少有一事件发生的概率.1化工化工3!(-3)!1 n n 2 n.将线段0,0任意折成三折，试求这三折线段能构成三角形的概率 【解】设这三段长分别为xj/t-y.那么基本领件集为由0xa,0ya,Qa-x-y a-x-yx + (a-x - y) yy + (a- x-y) x构成的图形，即0 x a2c ao y_2a x + y PA(B C) = P(AB AC)=P(AB) + P(AC)-P(ABC)10P(AB) +P(AC) 一 P(B

4、C)41 .将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯中球的最大个数分别为1, 2, 3的概率.【解】设4尸杯中球的最大个数为ig1,2,3.将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时, 每个杯中最多放一球，故C33! 3P(A ) = 4 =_1438而杯中球的最大个数为3,即三个球全放入一个杯中，故Cl 1343 163 1 Q因此或因此或P(A)=1 P(A) 尸(A)= 1 =二=2138 16 16GC2cl 9P( A ) = 4 3 3 = 2431643 .将一枚均匀硬币掷2几次，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】掷2次硬币，可能出现：4=正面次数

5、多于反面次数, 3=正面次数少于反面次数, C=正面次数等于反面次数, A, B, C两两互斥.可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P (A) =P (8) .所以由2重贝努里试验中正面出现次的概多为 p(o =)(.故P(4) = 11-。22 22/144 .掷力次均匀硬币，求出现正面次数多于反面次数的概率.【解】设4=出现正面次数多于反面次数, 3=出现反面次数多于正面次数,由对称性知P (A) =P (B)(1)当为奇数时，正、反面次数不会相等.由P (A) +P (B) =1得P (A) =P (B) =0.5(2)当为偶数时，由上题知1 1尸(A)=)2 245.设甲掷均匀硬币+

6、1次，乙掷次，求甲掷出正面次数多于乙掷出正面次数的概率.【解】 令甲=甲掷出的正面次数，甲=甲掷出的反面次数.正反乙=乙掷出的正面次数，乙=乙掷出的反面次数. 正反显然有(甲 乙)=(甲W乙)=(+1-甲W-乙)正 正正 正反反11=(甲1+乙)=(甲,乙)反反反 反由对称性知P (甲 乙)=p (甲乙)正 正反 反因此P(甲 乙)=1正 正 246.证明“确定的原那么”(Sure-thing)：假设 P (A|C) P(BQ,P(A C |PB C),那么 p (A)2 P(孙【证】由P (A|C) 2P(B|Q,得即有同理由得P(AC) P(BC)P(C) 一 P(C)P(AC)P(BC)

7、P(AC)P(B |C),P(AQP(BC),故P(A) = P(AC) + P(AQ P(BC) + P(BC) = PB47. 一列火车共有n节车厢，有攵化)个旅客上火车并随意地选择车厢求每一节车厢内至少有一个旅客的概率.【解】设A =第i节车厢是空的3(/=1,h)，那么I, nkPAA ) = (1-2打n - 1P(AA A)=(1 - i ， in12n-1其中是1, 2, ”，中的任1个.1 2n-显然节车厢全空的概率是零，于是S = Xp(A) = n(l-1) = Cl (1-1)/=1 nS = E P(AA)=C2(12卜2i j n Yll/ jnS = S PAA1/

8、 / - + (-1)k日 i 48.设随机试验中，某一事件A出现的概率为 0.试证明：不管 0如何小，只要不断地独立地重复做此试验，那么A迟早会出现的概率为1.【证】.在前次试验中，A至少出现一次的概率为(1一 ) - 1( T 00)49 .袋中装有机只正品硬币，只次品硬币(次品硬币的两面均印有国徽).在袋中任取一只, 将它投掷一次，每次都得到国徽.试问这只硬币是正品的概率是多少？【解】设A=投掷硬币厂次都得到国徽3=这只硬币为正品 mn由题知P(B) =, P(B) =m + nm+n1_尸(A|3) =，P(A = 12r 那么由贝叶斯公式知PzRI4. P(AB)P P(A|B)mI

9、 m + 2/- nP(A) - P(B)P(A|B) + P(B)P(A|B)m +n 2rmI口+m +n 2r m +n.巴拿赫(Banach)火柴盒问题：某数学家有甲、乙两盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中任取一根.试求他首次发现一盒空时另一盒恰有r 根的概率是多少？第一次用完一盒火柴时(不是发现空)而另一盒恰有厂根的概率又 有多少？【解】以B、B记火柴取自不同两盒的事件，那么有P(B ) = P(B ) = 1. (1)发现一盒已空,12I22另一盒恰剩根，说明已取了2-次，设次取自吗盒(已空)，力一次取自5盒，第2-什1次拿起，发现已空。把取次火柴视作2-

10、重贝努里试验，那么所求 概率为1 1 1 1p = 2C (_)(_)-，, =C 12-r 222 n-r 22r式中2反映q与j盒的对称性(即也可以是约盒先取空).(2)前2n-r-l次取火柴，有n-次取自3焦，次取自3 2盒，第次取自彳 盒，故概率为P = 2CT()T (=CT ()2-122n-r- 2222n-r- 251.求重贝努里试验中A出现奇数次的概率.13【解】设在一次试验中A出现的概率为p.那么由+ C pqo = 1n(q + p) = Co poqn + Ci pqn-A + C2 p2 伙-2 +nnn（4 一 P） - Co poq + Ci pq-i + C2

11、p2qn-2 一 + （一 1 ） Cn pqonnnn以上两式相减得所求概率为 =C pqn- + C3 p3qn-3 +1 nn1= l1-（1-2p）假设要求在重贝努里试验中A出平偶数次的概率，那么只要将两式相加，即得P =1 + （1 2。）252 .设A, 8是任意两个随机事件，求也（不+8） （A+8） （ A + B） （A+夕）的值.【解】因为（AUB） n（AuB）=a3uAb(A UB) n (AU B ) =ABU AB所求(4+ 3)(4+ 3)(彳+而(4 +百= (AB AB) (AB + AB)=0故所求值为0.53 .设两两相互独立的三事件，A, 8和。满足条件

12、：A5C=，P(A)=P(B)=P(C)0尸(48)=1,试比拟门(4UB)与尸(。的大小.(2022研考)解：因为PA B) = P(A) + P(B) P(AB)P(AB) = P(B)P(AB) = P(B)所以P(A B) = P(A) + P(B) - P(B) = P(A).16【解】 P (AUBUC) =P(A)+P(B)+尸(C)尸(AB)尸(5C)尸(AC)+P(A5C) 11113+ 4-4 4 3 12 47 .从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率 是多少？【解】p=C5 c3 c3 c2 /C13 13 13 13 1352

13、.对一个五人学习小组考虑生日问题：(1)求五个人的生日都在星期日的概率；(2)求五个人的生日都不在星期日的概率； (3)求五个人的生日不都在星期日的概率.1(-)5(亦可用独立性求解，下同)懈】(1)设&=五个人的生日都在星期日，基本领件总数为75,有利事件仅1个，故(2)设42=五个人生日都不在星期日，有利事件数为65,故656(3)设A 3=五个人的生日不都在星期日1P(/)=1P(4)=1(3)5J1(8 .略.见教材习题参考答案.70.一批产品共N件，其中M件正品.从中随机地取出n件(ftvN).试求其中恰有m件(m WM)正品(记为A)的概率,如果：(1) 件是同时取出的；(2) 件

14、是无放回逐件取出的；(3) 件是有放回逐件取出的.【解】(1 ) P (A) =C2C7 /CM N-M N(2)由于是无放回逐件取出，可用排列法计算.样本点总数有P种，次抽取中有机 N次为正品的组合数为C，种,对于固定的一种正品与次品的抽取次序，从M件正n品中取机件的排列数有P，种，从N-M件次品中取2件的排列数为P口种, MN-MP (A)n-niM N-MPN由于无放回逐渐抽取也可以看成一次取出，故上述概率也可写成C? CP (A) = M N-McN可以看出，用第二种方法简便得多.(3)由于是有放回的抽取，每次都有N种取法，故所有可能的取法总数为N”种，n次抽取中有加次为正品的组合数为

15、C，种，对于固定的一种正、次品的抽取次序, nm次取得正品，都有M种取法，共有种取法，n-m次取得次品，每次都有 N-M种取法，共有(NM) -，种取法，故P( A) = M m (N M z / NnM 此题也可用贝努里概型，共做了重贝努里试验，每次取得正品的概率为 ,那么取得N机件正品的概率为P(A) = C1也11 .略.见教材习题参考答案.12 . 50只抑钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个钏钉强度太弱每个部件用3只抑 钉.假设将3只强度太弱的钾钉都装在一个部件上，那么这个部件强度就太弱.求发生一个 部件强度太弱的概率是多少？【解】设A=发生一个部件强度太弱P(A) = C C3

16、/C3 =13. 一个袋内装有大小相同的7个球，计算至少有两个是白球的概率.【解】设=恰有i个白球 (1=2,3), C2cP(A2710 350I960其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个,显然人与A互斥.18C3 4P( A) = 3 C3 35722P(A A) = P(A)+P(A)=232335.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7,在两批种子中各随机取一粒，求:(1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.【解】设4=第，批种子中的一粒发芽, (z=1,2) 1(1)P(AA ) = P(A)P(A ) = 0,7x0.8 = 0.5

17、6 1 212(2) P(A A ) = 0.7 + 0.8- 0.7x 0.8 = 0.94 12(3)P(AA2 WA ) = 0.8x0.3+ 0.2x0.7 = 0.38 11 214 .掷一枚均匀硬币直到出现3次正面才停止.(1)问正好在第6次停止的概率；(2)问正好在第6次停止的情况下，第5次也是出现正面的概率.1115Ci(l)(l)sl 2【解】(1) P =。2(_)2(_)3_ = (2) P = 4 2 2 4 15 2 2 2 3225/ 32515 .甲、乙两个篮球运发动，投篮命中率分别为0.7及0.6,每人各投了 3次，求二人进球 数相等的概率.【解】17.【解】设

18、-=甲进/球, /=0,123出=乙进/球J=0/23,那么 / /3尸( AB ) = (0.3)3(0.4)3+Ci 0.7x (0.3)2。0.6x(0.4)2 +.c i i333t=QC2 (0.7)2 X 0.3C2 (0.6)2 0.4+(0.7)3 (0.6)3 33=0.32076从5双不同的鞋子中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率.C4clec G 1 13C4 211018 .某地某天下雪的概率为率3,下雨的概率为0.5,既下雪又下雨的概率为0.1,求：(1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.【解】设下雨, 8=下雪.P(AB) 0.1

19、(1)P即)证=0-2(2) p(A B) = P( A) + P(B) - P( AB) = 0.3 + 0.5-0.1 = 0.7.一个家庭有3个小孩，且其中一个为女孩，求至少有一个男孩的概率(小孩为男 为女是等可能的).【解】 设其中一个为女孩, 8=至少有一个男孩,样本点总数为23=8,故P(AB) 6/8 6PBA)=_PG) 7/8 7或在缩减样本空间中求，此时样本点总数为1P(BA)=_20.5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人是 男人的概率(假设男人和女人各占人数的一半).【解】 设，=此人是男人, 8=此人是色盲,那么由贝叶斯公式RAIB

20、)曾一户(八)P(B)尸(4)尸(可 G+尸 G)P(4 Z)_20- 0.5x0.05+0.5x0.0025- 2121 .两人约定上午9 : 00-10 : 00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.(b)题21图题22图廨】设两人到达时刻为x,y,那么0Wx,yW60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价和一|30. 如图阴影局部所示.302 _ 160T422 .从(0, 1)中随机地取两个数，求:6(1)两个数之和小于桨的概率；1(2)两个数之积小于丁的概率.4【解】设两数为x,y,那么0x,y0.9即为(0.8)n0.1故7711至少必须进行11次独立射击.32 .证明：假

21、设尸(4I 8) =P(A I B ),那么4 8相互独立.【证】一(4|司=尸(月圆尸(”=?(丽)P(B)哂亦即P(AB) P(B) = R AB) P( B)P(AB)1- P(B) = P(A) -因此P(AB) = P(A)P(B)故4与8相互独立.111.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为匚r-T ，求将此密码破译出534的概率.【解】设4=第/人能破译 (1,2,3),那么P(3 /4) = 1- P(AA A) = 1- P(A) P(7T) PCA)J1 2 3123.423=1-_x_x_=o.65 3 4.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是

22、0.4Q50.7,假设只有一人 击中，那么飞机被击落的概率为02假设有两人击中，那么飞机被击落的概率为0.6；假设三人 都击中，那么飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.【解】设方=飞机被击落, 8月恰有/人击中飞机, /=0,1,2,3 由全概率公式，得PA) = P(A B)P(B) 77z=o=(0.4 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.3+0.6 X 0.5 X 0.7)0.2+=0.458.某种疾病患者的痊愈率为25%,为试验一种新药是否有效，把它给10个病人服用， 且规定假设10个病人中至少有四人治好那么认为这种药有效，反之那么认为无效，求：(1)虽然新药有效，且

23、把治愈率提高到35%,但通过试验被否认的概率.(2)【解】(1)新药完全无效，但通过试验被认为有效的概率.yp =(0.35)40,65)10-0.5138110k=0(2) p =。(0.25)攵(0.75)1。-仁0.2241210k=4一架升降机开始时有6位乘客，并等可能地停于十层楼的每一层.试求以下事件的概率:(1) A= 某指定的一层有两位乘客离开”；B= 没有两位及两位以上的乘客在同一层离开”；(2) C= 恰有两位乘客在同一层离开”；D= 至少有两位乘客在同一层离开”.【解】由于每位乘客均可在10层楼中的任一层离开，故所有可能结果为106种.C2 94P( A)=：L，也可由6重

24、贝努里模型：10619P(A)=C2()2()46 10 10(1) 6个人在十层中任意六层离开，故P6P=谭106(3)由于没有规定在哪一层离开，故可在十层中的任一层离开，有Ci种可能结果，再从 10六人中选二人在该层离开，有C2种离开方式.其余4人中不能再有两人同时离开的情 6况，因此可包含以下三种离开方式：4人中有3个人在同一层离开，另一人在其余8层中任一层离开，共有CiC3cl种可能结果；4人同时离开，有Ci种可能结果；9 4 894个人都不在同一层离开，有P4种可能结果，故9P(C)=C1 C2(CC3cl + Cl+P4)/10 610 69 4 899P(D) = 1 - P(B)一盖(4) D故37.个朋友随机地围绕圆桌而坐，求以下事件的概率：(1)甲、乙两人坐在一起，且乙坐在甲的左边的概率；(2)甲、乙、丙三人坐在一起的概率；(3)如果个人光坐在长桌的一边，求上述事件的概率.【解】(1) P =-1 7?-1