《概率论与数理统计》(第三版)课后习题答案.docx

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1、习题一:1.1写出以下随机试验的样本空间：某篮球运发动投篮时,连续5次都命中，观察其投篮次数；解：连续5次都命中，至少要投5次以上，故。=5,6,7, ；（2）掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和；解:。=2,3,4, 11,12）； 2观察某医院一天内前来就诊的人数；解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以。. 3，从编号为L 2, 3, 4, 5的5件产品中任意取出两件，观察取出哪两件产品；解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：。=（；加 i j5 ;4检查两件产品是否合格；解:用0表示合格表示不合格,那么。 =（0,0）,（0,1）,（1

2、,0）,（1,1）； 5（6）观察某地一天内的最高气温和最低气温（假设最低气温不低于T1,最高气温不高于T2）; 解：用x表示最低气温，y表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故：。y2 = 1- PX = 0- PX= 1=1- _-2 -_a2 = 1 _ 3队2 0!1!2.8解：设应配备m名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X,那么X3(180,0.01)。依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99,即P(X W相)20.99,也即P(Xm+1)0.01因为“180较大，p=o.oi较小，所以X近似服从参数为九二180 x 0.01 =1.8的泊松分布。查泊松分布表，

3、得，当m+l=7时上式成立，得m=6o故应至少配备6名设备维修人员。2.9解：一个元件使用1500小时失效的概率为P(1000X1500)=/so。9% = 一 1000 X210001500 1-31000设5个元件使用1500小时失效的元件数为匕那么丫3(5)。所求的概率为3P(y= 2) = 02(1)2 X (2)3 =52 = 0.3295 3335-10-2.10 (1)假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，那么该地区每天供电量缺乏的概率为:P0.8 X 1 = I1 12x(1-(6x2 -8X3 +3x4)|1 =0.0272 0.80.8(2)假设该地区每天的用电量仅有90

4、万千瓦时，那么该地区每天供电量缺乏的概率为：P0.9 X 0解得K的取值范围为-8,-1 4,+8,又随机变量KU(2,4)那么有实根的概率为-1-(-2) + 4-3 _ 14-(-2)312.11 解：X-P(2=P(而)PX300=P J_e-dx=e- = e-j 300 200300P 00X 300 = J 300 1 4dx = e,1300 = e-l - e-j(2) -76 20020022ioo /UUwo,L 1 aPX100J00X300=PX100P100X2)= 1 p(y=o) p(y=i)=1 - e-i 9-1.9-19= 1 - 2.919 = 0.566

5、25解： P(X W 105)=(105-110)=(0 42)=1 _ 0(0.42)12=1-0.6628 = 0.3372(2)P(100Xa = 1-PXao.99661-1706= 2.33C2因为 P(X=1) =C356= 0.6 102.19解:X的可能取值为1,23o11P( X = 3) = 0.1 C3 10P(X=2) = 1 0.6 0.1 =0.3所以x的分布律为X123P0.6030.1-12-x的分布函数为00.6x 11 x22x32.20(1)PY= 0=PX=_=0.22PY=兀 2 = PX = 0+ PX =兀 = 0.3 + 0.4 = 0.73兀

6、py = 4兀 2 =px=1_=0.1PY= -1 = PX = 0+ PX = k = 0.3+ 0.4 = 0.7PY=A= PX =-+ PX =0.2+0.1=0.32.21 (1)当1x1 时，尸(x) = PX = 1=0.3当 1 x 2 时，F (x) = PX = -1+ PX = 1= 0.3+ PX = 1= 0.8PX=1 = 0.8 0.3 = 0.5-13-13-当 x 2 2 时,F (x) = PX = -1+ PX = 1+ PX = 2= 0.8 + PX = 2= 1PX=2= 1 -0.8=0.2X-112P0.30.50.2(2)尸y=l =邛=一

7、1 +k=1 =o 3+0 5=0 8PY = 2= PX = 2= 0.22.22 X N(0,l).=（。设Fjy）, /9）分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数那么F (y)=PYWy=P2X y=PF (y)=PYWy=P2X y=PY2f -1 l.e 2 dxJ 2q2冗+ 1)+-oo(y+i)2对勺求关于y的导数得乙）/对勺求关于y的导数得乙）/)8 V G (-00,00)22设Fjy）,分别为随机变量Y的分布函数和概率密度函数那么当 y0时，F(y) = PYy =Pe-x, V2kF (y)= PY y= Pe-x y= PX -lny=i-14-对尸(y)求关于y的

8、导数，得YI 1 _(-lny)2,1_(lny)2y0r / _ I2 ( -In j) =2八y)= yflTty(2nyoy o 设FyM，4（y）分别为随机变量y的分布函数和概率密度函数，那么当 y0 时，F（y）=PYy=PX 0时，F(y)=PYy=PX2y=PX0y 01O X 712.23 V X U (0, R)： f (x)= J jfX O其它(1)当21n兀y oo时F(y)= PYy=P2nXy= PnX2y=P0=OY当一 oo y W 21n兀时F (y) = PYy = P21nXy = PnX2y = PX2ey = PXe=e2.1 一dxYo兀-15-oo

9、 y 21nK对方（y）求关于y的导数，得到了YY21rl兀 v y v oo(2)当 y21 或 yT 时,F (y) = P Y y= Pcos Xy= P0= 0Ydxdx当一：L y 1 时()0= Py y=PcosX y=PX 2 arccosy = J-Farccos y 兀 对尸（y）求关于y的导数，得到Y-1 y1其它-1 y1其它v I- （arccosy）=4（y）=| 斤兀3K lc(3)当y21或 y 0 时/(y)=Py4y=PsinXy=P0=O YF ()= PYy= Psin X y= P0 X arcsin y+ P兀一 arcsin yX7i=Jmsi”

10、1 dx +0 兀=Jmsi” 1 dx +0 兀J71 J dxTC -arcsiny 7c-16-对尸（y）求关于y的导数，得到Yarcsin/3 （rcsiny）= Ovy v 1/Q）= f兀兀尸）c其它第三章随机向量33.1P1X 2,3Y 5=F(2/5)+F(13)-F(l/5)F(2,3)= 1283.23.4 (1) a=- 91212(3)P(X,y) g ) = f1 dy- _(6-x- y)dx =- y)x- 旌1Vdy00 99 o2 o,lfi 6y+5办= 1(1 3-32 +5、)卜 Jxf 上-9o 229 6，2 o 9 3 27 3.5解：(1)F(x

11、, y) = yx2e-v)dudv 二0 0F(x, y) = yx2e-v)dudv 二0 0y e-vdvx 2e-2udu = (一e-卜)(一6-2 卜)二(1 一 e-j，)(1-ea) o o00(2)P(Y X) = IAJx 2e-(2xy)dxdy = r 2e-2xdxxe-dy = r 2e-2x-e-y xdx oooo0?Q 2=Jx 2-2%(1 - e-x)dx = Jx (2e-2x - 2e-dx = (-e-2x 卜)+ _e-3x |a)= 1 - _=-17-3.6 解：P(x2 + y2 a2)= ff 1 =f27IJ0jd r dr兀(1+X2

12、+ y2)200K(1+ T2)2x2 + 产 a2d(1+2)=- 2兀 x1=1- 1 =。2o 0兀(1 + r2)2兀 2(1+-2)01 + (221 + Q23.7 参见课本后面P227的答案3.8 f x=1(x，y)dy =/：个2。=oo 23y3 1x%-=23 o2/ (y) =2)0/(%)心=12；02% 0x2X1，其它 20y1或x1或y 001或y0时，/(%, j) = 0 , 4(y) = 0-18-*=4,8yl-2y+1何v223.10 (1)参见课本后面P227的答案小 f / X I xQdy f(X)=a2x Q0x1 甲x(l-x)其它 00x1

13、其它f (y)=YIJ 石 6dx)y100y =6 (p-y)其它 00 j1其它当0 y 1 时，f (y)=/4.8y(2-x)dx = 4.8y2x-1 =2.4y(3 4y + y2)0x1 J其它/J V)=ifio0孙(x2 + )dx-Qy2其它1+30Qy2其它3.11参见课本后面P228的答案 3.12参见课本后面P228的答案 3.13 (1)2 0 x0 ,YXY0所以/ ( y)=1二0x1 f 6x2+2.2+y其它100 x1其它对于0 Vx 0X-19-a,b,c中恰有一个发生;八员厂j ABCABC ；a,b,c中至少有两个发生；ABjAC48。；注意：此类题

14、目答案一般不唯一，有不同的表示方式。1.3设样本空间。=Mox艾，事件人二般P.5wxi,8=Mo.8x1.6)具体写出以下各事件：(1) AB ；(2) A-B ；(3) /A-B；(4) /Au B(1) AB = M.8 xl；(2) A-B= 0.5 x0.8；(3) /4-S=Apx0.5o0.8 x2)；(4) AjB = x0.5o1.6 x2)1.6按从小到大次序排列RA),尸(Ad B), P(AB),#G)+ P(B),并说明理由.解：由于=故PG8)WP(QP(4uB),而由加法公式，有:P(Au B) P(A) + P(B)1.7解：昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率

15、为：P(lVuE) = P( I4/) + P(E)-P(WE) = 0.175-2-3.14由表格可知 PX=l;Y=2=0.25PX=lPY=2=0.3225025X的边缘分布10.150.250.350.7530.050.180.020.25Y的边缘分布0.20.430.371所以 f Cx = /(x,y)=所以 f Cx = /(x,y)=wx f (x)XI整+ A 2x2 + o TO3；2:3%+y6x+ 2=其它【。0y2其它P Y O,b 02 ,1解得a= ,b三99尤 0x2f3j；2 0 j 13.16 解(1)在 3.8 中/丫(%) = 1工/(y)= s 廿x

16、o其它 ,t其它3当0x2,0y2或x0时，当或y0时，(x)/ (y) = O=x,y)所以，X与Y之间相互独立。f2.4x2（2-x）0x 1（2）在 3.9 中，f（X）=x 0其它)=2.4y(3-4y + y2)1003； 1其它当 OWxW X , Oy/(%, y)dy =xe-x 1 dx= 1)8o(l+y(1+yf (%) ,/ (y) = x&x 1=f(x,y)X y (1 + y)2故X与Y相互独立3.18参见课本后面P228的答案第四章数字特征4.1 解：E(X) = Zxp = 1成y) =Eyp =0.9甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又两台机

17、床的总的产量相同.乙机床生产的零件的质量较好。4.2 解：X的所有可能取值为：3, 4, 5PX = 3)= 0.1C 3C刊X = 4=/=03C35C2夕X=5 = c = 0,6-24-(X) = Z xp =3x0.1 + 4x0.3 + 5x0.6 = 4.5 ii4.3 参见课本230页参考答案4.4 M：PX = = P(1 P)-i=1,2,3E(X) = Ex P, P 、=i i1-(1- /in=14.6 参考课本230页参考答案4.7 解：设途中遇到红灯次数为X,那么X5(3,64)(X)= = 4xO,3 = 1.24.8 解+8E(X) = f(x)xdxo1500

18、1T5DG(x - 3000)x6k=500+1000=15004.9 参见课本后面230页参考答案4.10 参见课本后面231页参考答案4.11 解:设均值为H，方差为0 2，那么X-N( N Q 2)根据题意有:P(X96) = 1P(X96)一心:96-72 o-G-25-= 2.3%=0.997,解得t=2即。=12所以成绩在60到84的概率为60-72 X-pi 84-72P(60 X 84)=匕12 o12=2-1= 2x0.8413-1=0.68264.12E(%2)= Ox 0.4 +12x 0.3 + 22x 0.2 + 32x 0.1 =21(5X2+4) = 4x 0.4

19、 + (5x12+4)x 0.3+ (5x 22 + 4)x 0.2 + (5x 32+ 4)x 0.1 =14E(Y) = E(2 X) = J 00 2xe-xdx = 2 J00 xd-e-x) = 2-xe-J00 + r e-xdx4.13 解：10二 2(-卜=20E(Y) - E(e-2x) - e-2xe-xdx -f e-dx - - e-3x = 1 0030 3T7 471H34.14 解：V 1 设球的直径为X,那么：/(x) = j0Vx4兀()3 兀 7117111 兀E(V) = E( 2)= E(_X3)=jh_x3 dx = _x x_x4 = _( +4)(

20、82 +2)36 a 6 b-a 6 b-a 4 a 24ax)办=1/ 2y2dx=12y2_12*y-ocE(X)/8/ (x) xdx = y4X4 iY X05E(Y) = 0f (%)9 J，2y3/2y%, = ?-ooo5E(XY) = if 于(x, y)xydxdy= If 12x J;3dxdy =f11V12x J3dydx =0yx10yx1E(X2)J+8/&) . X2 公 J 4X5公=2-ooo3e(H)=卜/3. y。=2y4 _12y5力一-ooo5E(X2 + K) = E(X2)+ (R) =吧154.17解X与Y相互独立，E(XF) = E(X)E(y

21、) = 1%2%公。加5-.、由=(2%3 i)18yd(e5-y) 0530 52f22=_x (-ye-y 00 + J00e5-ydy) = _x5 + (-e-y) = _x (5+1) = 43553534.18, 4.19, 4.20参看课本后面231, 232页答案设X表示10颗骰子出现的点数之和，X (2 = 1,2, .10)表示第j颗骰子出现的点数, i那么X=/ X,且X,X,X是 i1210Z=1 4 1独立同分布的，又E(X)=1x_i 6-27-所以 E(X) = E(x ) = Ee(X )=10x?=35 ii 6i=1i=14.21 参看课本后面232页答案4

22、.22 E(X2)= Ox 0.4 +12x 0.3 + 22x 0.2 + 32x 0.1 = 2D(X)=E(X2)-E(X)2=2-12 = 1E(K2) = Ox 0.3 +I2x 0.5 + 22x 0.2 + 32x 0 = 1.3D(y) = E(Y2)-E(Y)2= 1.3 - 0.92 = 0.494.24 石(X2) = La 1 04xdx + 4X2(-X + dx= jL|2 + -Jl+S32414216 016311 14Q(X) = (X2)-E(X)2=-4 =4.25 f (x)=xIo其它其它VqX) = E(X2)-E(X)2=J1 x2dx-y.i2d

23、x221 1 _X_%32 31 1 _X_%22 2-1-1 3f(y)=Y + Xydx-丁0其它-1 j 1其它1 -ydy22dy -f1-1dy -f1-1丫“(丫)= (丫2)_成y)2 = / 12-i21 1二X V32 31 -1x1,2,1 2 2-1-1 3-28-4 16故：Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)=4+石O kJ4Var(2X-3Y)=4Var(X)+9Var(Y)= 4x4 + 9x_ =2834.27参看课本后面232页答案X +X + +XXXx4.28 石(Z):2-)二&一)+石(一)+ 3+(一)nn n=1 石(X)+1矶X ) +

24、+ 1e(X) = 1|1* = piH 1 几2nn Yix +X + +XXXxD(Z)=D(-2(一)+0(一)+ +0(一)nn nn111102= E( X)+ E(X) + . + _( X)= O2* = 21 222n “ 2H后面4题不作详解第五章极限理解：用X表示每包大米的重量，那么成X ) = n=10,D(X ) =。2 =0.1用 X N(禺O2)= N(100x10,100x0.1) i/=1见X-碍 -100x10 x-1000Z = i=i =白 =闫 N (0,1)JlG2 Jl 00x0.1 ToX990-1000 Sx-1000 1010-1000P(99

25、0 X 1010) = P() ,，M 闻 M1010-10001010-1000L L L=中(_)-0(-_)=0( Jo)-0(-Jo)-20( JO)-1-0.9986VwVTo-29-由于事件可以分解为互斥事件IVE IVE,昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛对应事件概率为：P(WE) = P(W)-P(WE) = QA(3)昆虫未出现残翅,也无退化性眼睛的概率为：?(质芍=1-尸(l/1/u E) = 0.825.1.8解：由于 ABA,ABB 9 故 P(AB) P(A), P(AB) P(B),显然当八=8 时 p(ab)取到最大值。最大值是06(2)由于 P(AB) = P(A)

26、+P(B)-P(AB)O 显然当尸(-。8) = 1 时 p(ab)取到最小值，最小值是041.9解:因为P(AB) = 0,故P(ABC) = 0.A 8。至少有一个发生的概率为:P(Au B105) = 1-P(V105)=1-P(gyZ=1Sv.-100105)=1-P(m3105-100107153-0(1251122) =1 -0(0.387) = 0.348 1(V1535.5解：方法L用X表示每个部件的情况，贝!J X二心正盘作XgO9), 5 预划、E(X) =p = 0.9,Z)(X ) =px (1 p) =0.9x 0.1用 X Nnp, np x (1-p) =N(10

27、0x 0.9,100 x 0.9x 0.1) ii=1见 X-叩见 X-100x0.9 见 X-90z 二 厂=I_ = N (0 J)jip3Xx-90P(见X 5) = 1-P(更x, 85) = 1 - P(X 85) = 1 -)33=1一(一?)=皿?)=0,9525 335.6略第六章样本与统计证明：由力a$+b可得，对等式两边求和再除以n有y Y Z（ X+人） IIi=1= J=jnn由于-31-n in ir=1z=1所以由可得_nb _丫 =2 X X + = aX+bn i nz=i()fi2 n1.1.1 因为 Z(匕F)二斤-汨二(oXJ故QX/b=X 2 X 2 +

28、 2nabx + n儿 一(。2 假设2 + 2nabX+ 几刎 i/=1=。2乂2_。2注2 = 2 X2_2/=1=0X(X2 _2x ,X+X2) i I/=1= 2Z(X1 X)2=(/I 1) 0 S2X=(n -1) S2Y所以有S? =282 YX证明：后(才)=上?无)=丝=四 ni ni=1Var(r)X)= 2iQ2 01 2i=12 n-32- 8上(X工 Z(X2_2+X2)X=三2*：一23*,+华）(XX22X 正+2) n -1 ii=n-12 2)心i（2）由于V（X）= e（X2）_（E（X ）2I所以有 e（X2）=（E（X）2+而（乂）=2+5 iIz七*

29、)=(冷2+丫好(衿=|12+a 2nn5(Z(XX)2)=(N2 + O2)_(|12 + )=(一 1 )0ini= 1)=0 2 即 E(S 2)=b 2)=0 2 即 E(S 2)=b 2x（x假设A两边同时除以（nl）可得E（tH-16.4同例633可知P | 大小 | 0.3 x 2(，再.1=2(0孑 n)- 1 = 0.95o得 （0.3质）=。.975查表可知。.3石=1.96又ncZ 根据题意可知n=436.5解（1）记这25个电阻的电阻值分别为运七 必,45,它们来自均值为200欧姆，标 准差为展10欧姆的正态分布的样本那么根据题意有:-31-202-200 .k 1(5

30、IO 25= P-O.51 o/如B (1)(0.5)=0.5328根据题意有PE X 51OO = P25X51OOJj2 0(2) = 0.97726.6 解：(1)记一个月(30天)中每天的停机时间分别为 叼勺%。，它们是来自均值为J4小时，标准差为牖0.8小时的总体的样本。根据题意有：P 1 X5)=/T X-N v 5-4 =P-20.54 6.846)u/Jn 0(6.846)-0(-20.54)(注：()当6时，()的值趋近于1,相反当 -6时，其值趋近于0)(2)根据题意有:v- 32 -证明：因为TJ，贝！I，随机变量T=的密度函数为Vy/?x-nP3OX 1 15 Kp- 六(一1.14)= 1 -0(1.14)=0.12714115= i1 -400而-33-00/ 于Q)tdt = 0- 8-OO00ooo6.8解：记口 =1.50, c =25,那么X6.8解：记口 =1.50, c =25,那么XN( 日 尸 2),n=25 故140 -15。 X-|i 147.5-150P1407 147.5_25/疹/2/25X- |Ll=P0许1.6=1可X1.6=1 -PZ 16-15c/Vn O.5/OO X -0(2)-34-=1 -0.9772=0.0228-35-(2)PXL3 = PX- L3-