大题综合训练-1解析版.docx

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1、大题综合训练学校:姓名：班级：考号：一、解答题27r1. (2021 邵东市第一中学高三月考)在中，内角A、B、。的对边分别是。、b、c, ZBAC = 9 AD平分 NS4C 交 BC 于。，AD = 1.(1)求A4C面积S的最小值；(2) =26,求ABC面积S.19. （2021 双峰县第一中学高三开学考试）有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换.（1） 一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望.20. （2021 湖南雅礼中

2、学）为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪 场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的局部每小时收费标准为40元（缺乏1小时的局部 按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为9、：；461小时以上且不超过2小时离开的概率分别为J、两人滑雪时间都不会超过3小时.乙 3（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量求4的分布列.圆石:/+（丁-1）2 =4经过椭圆C：21. （2021 邵东市第一中学高三月考）如图, 右焦点耳工，与椭圆C在第一象限的交点为A ,

3、且，E, A三点共线.（1）求椭圆。的方程;（2）设与直线。4 （。为原点）平行的直线交椭圆。于两点，当AAMN的面积取取最大值时，求直线/的方程.点M在抛物线C上，。为坐标22. （2021 湖南师大附中高三月考）设抛物线C:y2=2px（p0）的焦点为凡原点，10Ml=26，IMF|=3,（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点/作直线/交。于45两点，P为。上异于A, 3的任意一点，直线PAPB分别与。的准线相 交于。，E两点，证明：以线段。石为直径的圆经过光轴上的两个定点.23. （2020湖南长郡中学高三开学考试）抛物线C： 9=2h0）的焦点为小 过点尸且垂直于1轴的 直线交抛物线。于

4、O、E两点，且|。国=4.（1）求抛物线。的方程；（2）设直线/过点A（2,0）且与抛物线C交于P,。两点，点R在抛物线。上，点N在x轴上，而+而+标=6,直线依交X轴于点9,且点B在点A的右侧，记/PN的面积为S1,的面积为邑，求U的最小值.2224. （2021 双峰县第一中学高三开学考试）椭圆二+斗=1（人0）的右顶点为人 上顶点为。为坐标原 cr b点，直线A5的斜率为-；，。钻的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆上有两点M, N （异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当OMN的面积最大时，直线OM与QV的斜率之积为定值.22(2021 .湖南雅礼中学)抛物线C:/=1

5、6)，的焦点为产，准线为/,椭圆后:与+=1(0)的上 a b焦点耳到/的距离为5,过耳的直线4与E交于N两点，当轴时，|MN|=3.(1)求椭圆E的方程；(2)直线RW与x轴交于A点，直线RV与x轴交于3点，求证：|E4| = |FB,(2021 邵东市第一中学高三月考)函数/(x) = xlnx-；如2_乂相氏(1)假设g(X) = /(%), (/x)为“X)的导函数)，求函数g(x)在区间1,4上的最大值;(2)假设函数“X)有两个极值点不与，求证：中2/27-(2020湖南长郡中学高三开学考试)函数其中e是自然对数的底数.(1)判断并证明了。)的奇偶性；(2)假设关于x的不等式矿根-

6、1在(0,+00)上恒成立，求实数加的取值范围;(3)正数。满足：存在不口,+8),使得+3/)成立，试比拟与，t的大小，并证明你的结论.28. (2021 湖南师大附中高三月考)函数/(x) = xlnx-S(x2i).(1)假设“X)在(。,+8)内是减函数，求。的取值范围；(2)lim2 = o,假设0VQV1,求“X)的零点个数.X4-00 X29.(2021 双峰县第一中学高三开学考试)函数/(x) = (Y-ox + l)e1(1)讨论/(x)的单调性；(2)假设g(x) = /(x)-1在(1,y)上有零点，求实数的取值范围.30. (2021湖南雅礼中学)函数/(x) = ln

7、x + ax +(aR).X(1)求函数“X)的单调区间；(2)当 =1时，?(x) = /(x) + (x-2)eA -,记函数y = g(x)在；上的最大值为2 ,证明: (m+4)(m+3)0,解得c = 5,因止匕S = Lbcsin/3AC = Z?c = .244(1)巫;(2) 3.3【分析】(1)先根据正弦定理化边，再根据余弦定理求角，最后根据平方关系求结果;(2)先求出。，再根据余弦定理求AC,最后在两个三角形中分别利用正弦定理求结果.【详解】(1) sin2 A + sin2 C-sin2 B = sin Asin C32/ +。2 _ac= 2QCCOS B3cos B

8、= 一3Pen. D 2V2乂 0 3 /3sin(A-30o).因为 A, C都为锐角，A+C = 120,那么30。490。,0。 4一30。60。,0 sin Acos A = sin Bcos B ,cosB cos A即 sin 2A = sin 25 ,2A = 23 或 24 + 25 = 180。，： a = 2b, 4w3,故 A+B = 90。， A ZC = 90.MA b（2）在CM4 中，设NMC4 = 6,那么=. 八，sin 0 sin / CMAMB _ a _ 2b _ 2AM在CMS 中那么 sin（90。一。） - sin/BMC - sin/BMC -

9、sin。，_2而 BM = 3AM =3sin8 = 2cos8= tan ,3-+ 2tan ZCQA = - tan （8 + ZB AC） = - tan + tanBAC = 一_3= 8 (1) B = p (2)选择：S枷=竽；选择：久树=苧【分析】(1)利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质、和差角的正弦公式求解即可.(2)选择条件，由Svc = Sv + Svwc，根据三角形的面积公式可得6a=2( +。，再由余弦定理可得(qc)2-4。-12 = 0 ,求出ac = 6,根据面积公式求解即可；选择，由/8)4 =兀-/BDC ,利用余弦定理可得2S7+ c2 =,再由/

10、十/一qc = 9,求出= 7即可求解.22【详解】 解：（1）因为百a csin 8 = GbcosC , (1) B = p (2)选择：S枷=竽；选择：久树=苧【分析】(1)利用正弦定理的边角互化以及三角形的内角和性质、和差角的正弦公式求解即可.(2)选择条件，由Svc = Sv + Svwc，根据三角形的面积公式可得6a=2( +。，再由余弦定理可得(qc)2-4。-12 = 0 ,求出ac = 6,根据面积公式求解即可；选择，由/8)4 =兀-/BDC ,利用余弦定理可得2S7+ c2 =,再由/十/一qc = 9,求出= 7即可求解.22【详解】 解：（1）因为百a csin 8

11、= GbcosC , 所以Gsin（B + C）-sinCsinB = 6sinBcosC,即得Gcos3sinC = sinCsin5, sinCwO,那么有tanB = 6 , 又因为3（0,兀），所以3 l-tanetan/84C 1 2ix z33. （2021 湖南师大附中高三月考）在中，角。所对的边分别为c,纥! =业上驾 sine（1）求角3的大小;（2）设帆= 2。c,假设b = 6,且A, C都为锐角，求机的取值范围.4. （2021 双峰县第一中学高三开学考试）如图，ABC的内角A, B, C的对边分别为。，b,。，a = 2b ,且cosB cos A（1）求C；（2）在

12、ABC 内有点 /CMA = /CMB,且直线 CM 交 AB 于点 Q,求 tan/CQA.5. （2021 湖南雅礼中学）的内角A, B,。的对边分别是，b , J 且也a csin B = CbcosC.（1）求角B的大小;（2）假设Z? = 3,。为AC边上一点，BD = 2,且，求A6C的面积.（从3。为的平分线，D为AC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）（2）选择条件3。为03的平分线,7T因为3。为B3的平分线，所以/A33 = NOBC = 7, 6又因为SABC即 goc = 2（Q + c）,所以Qcsin。= Lx2asin + Lx2csinC, 2

13、3 26 26又根据余弦定理得：b1 =a2 -c2 - 2accosB，即 9 = （。+。）2一3公，,39o那么有9 = a（。）一3ac,即（ac）-4ac-12 = 0 ,解之得qc = 6或ac = 2（舍）,所以S Me /ADC3选择。为 AC 的中点，那么 AD = DC = , /BDA = ti /BDC , cosZBDA =-cosZBDC那么有一2x-x222x-x22r/日 2225可得Q + C =,又根据余弦定理得：4+，_碇=9,解得砒总那么sin八展（1） %=2-1,gN*； （2）证明见解析【详解】（1）根据题意，4S=/ 4-1 n+:.n2 时，4

14、S_-得，4。=%，_%2_4,化简计算得：。向=q+2（心2）所以2 2时，数列%是公差为2的等差数列，且通项可写为：。=%+2-4又%2 =%04，化简计算得：% = 3an =2-1（22）由 4S-4-1,%*可得：4S-4x1-1 4 = 1%】=2几一 1,几eN* ,即数列的通项公式为4 =2-l/N*（2）由（1）可得:（2）由（1）可得:1=x21 _1 1 1 （2/ 1）（2刀+ 1） 一刀一1一2九 + 1,（ 1 1 2/1 + 1） 2 +1（13 3f（n = - = / x 令 ）2 + 1 - 1， /（）/ Hn1 1 1 1即+3，结论成立.Q2a3ana

15、n+ ?6. （1）答案见解析；（2）答案见解析.【分析】 选择条件，（1）由等差数列的性质及通项公式求得公差。，得通项公式，（2）求出前项和S，计算出Sg,Sg,5。可得结论;选择条件，（1）由等比数列的性质及通项公式求得公比心 得通项公式，（2）求出前项和S，计算出品石户。可得结论；选择条件，（1）由4=S-5,-52 2）求得数列的递推式，得等比数列，从而得等比数列的通项公式，（2）求出前项和S”，计算出国应,几可得结论;【详解】选择条件，（1）因为数列斯为等差数列,那么%+ %=2%又因为的+。7=18,，% = 9 ,所以数列。的公差”=?=字=2 5-14所以 = 4 + （ -

16、1）6/ = 1 + （ - 1） x 2 = 2 - 1（2）由（1）可得 /+生+当 =8 时,S8 = 64 512当 =9时，S9=81512当 =10时，SI0=W0512；选择条件，因为数列斯为等比数列,那么。2a6 =4,又 42。6=64,所以 a： = 64 = % = 8 ,因为外生=44 q = 2所以4=，=(-2尸1 - (-2Y1 r-i(2)由(1)可得S=1 (2)当=8 时，S8=il-(-2)80512当=9 时，59=-1-(-2)9 = 171512I r-当，7=10 时，510=-1-(-2),00512,选择条件，当 n=2 时,E = 4 1,即

17、2 = 0 +1 = 2,当几.2 时,S_ = an -1,Sn = an+x -1,两式相减可得S 一 Sa = an+ - an,即4 = % -% ,那么4=2,即& =工=2,ana2 a3又& = 2,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列, a那么% =1.2t=2，(2)由(1)可得s =上11二=1 = 21， 1-2当=8 时，S8=28-l = 255512,当=9 时，59=29-1=511512,那么存在正整数攵 8, 9, 10,使&512.【点睛】此题考查等差数列和等比数列的通项公式与前几项和公式.考查等差数列与等比数列的基本量运算.属于基础题.8. （2） （=

18、1-西人.【分析】（1）由可得%为等差数列，利用等比中项条件建立关于外的方程，再解方程可求为的值，但要注意4。这一隐含条件，防止增根；（2）根据数列4的通项公式写出数列抄通项公式，用“裂项法”求其前项和.【详解】（1）因为（h2）,那么数列%是公差为2的等差数列.4x35x4那么 q =4 + 2x2 = 4 + 4 , S4 = 4tz, +-x2 = 4（6Zj +3）, S5 =5q +x2 = 5（q +4）.由，S4s5 = 16a3? w 0 ,贝lj 5（0 +3）（Q +4）= 4（0 +4，gp +3 - 4 = 0 ,即（q +4）（4 -1） = 0.因为 / w 0 ,

19、那么q+4w。，所以4=1；（2）因为数列4是首项为1,公差为2的等差数列，那么q=1 + 2（ 1） = 2一1.由题设，由二2+ 3（2冏_1）（2 + 1）22（2 + 1）-（2 -1） _11（2_1）（2冏 + ）2 _（2_1）2t （2 + ）2（ 1 ）I 3-2；（ 1 ）I 3-2；p+ +【点睛】 此题考查的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保存了哪些项，切不可漏 写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.9. （1） 22,; （2） 5【分析】（1）根据递推公式求出。2,再根据（1）根据递推公

20、式求出。2,再根据an+an+2 _ an+2=4,即可得到4的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，从而求出其通项公式;（2）令为+。2 +，2为S2”，再利用分组求和法及等比数列求和公式求出5筋，再根据函数的性质计算可得;【详解】 解：因为4M用=22,囚=1 ,所以q2=22, 4=4,又* J=22-2,又* J=22-2,所以也Ja a .n n+-娱-二1-4 乂&=4 一。 一 现 一，又 /所以%的奇数项是以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以4为首项，4为公比的等比数列，所以an 二an 二为奇数2为偶数所以% 二级；(2)令 q

21、 +。2 + + %为52,所以5筋=1_4 4(1-4) 5(4-1)1-4 + 1-43,因为外力=5(4；1)在定义域上单调递增,且4)= 425, /(5)= 1705, “6) = 6825因为4+生+%2。22,所以0 x = 4G， = 4 ,所以 = (46,4,3).设AM与平面A/C所成角为ag、一 i /B i I戒内 (3a/32,32 + 3,4).(4V3,4,3)I 所以 sin畿=| cos4M,|= , _ = ,I AM | n |V3622 + 182 + 25x V731482 + 241V36/l2+182+ 25x7731484 + 2413264

22、+ 34V3622 +182 + 25x773 0）,由余弦定理可得A =+21+4 ,由等面积可得3产=由相似三角形性质可得3。=.a_BD _ 2 Vx2+2x4-4 _ 2 f 2_ 2 f 2 在RtZO3/中，tang;而:方77:万卜,j +厂万广1 X4因为x + 22 xx-=4,那么lWtan64，所以 cos/exV3Vl + tai?。解法二：（1）分别取43、A片的中点。、E,以。为原点，直线A3, 0C,。石为工轴，y轴，Z轴建立空间直角坐标系.因为直三棱柱ABC-A4G的底边长和侧棱长都为2,。为34的中点，那么点 A（T0,0）, C（0,V3,0）, 0（1,0

23、,1）,。|（。，也，2）.从而丽=（1,G,l）, Aq =（1,V3,2）,贝 ij 蕊=13 + 2 = 0,所以CD，AG.6. (2021.邵东市第一中学高三月考)设各项均为正数的数列4的前几项和为S，假设生,，44构成等比数列,H 4S, = a2 4 1,eN*(1)求数列%的通项公式；(2)求证：对任意正整数，有一匚+ L +4 a2 a2a3川 27. (2020.湖南长郡中学高三开学考试)在数列斯为等差数列，且s+s=18；数列斯为等比数列，且376=64, 02a30;5=一1(e2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答.数列的前项和为S” 6/1 = 1

24、, .(1)求数列斯的通项公式；(2)是否存在正整数攵 8, 9, 10),使SQ512,假设存在，求出相应的正整数攵的值；假设不存在，请说明理 由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.- （1-4 ，所以 =T,一尸,2 .I V3 ）又平面ABC的法向量而=（0,0,1）,那么因为。/2,那么逐工+6（近,所以cos。八二（2）设3。= / （0v/,z）为平面ACQ的法向量，由：黑;,得t 4取 z = 2,那么 x = T, 丁 二词【点睛】方法点睛：利用空间直角坐标系求二面角具体做法：1 .设分别设出两个平面的法向量，m=3, y, Zi）; 2=（尤2,）2, Z2）.

25、求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）2 .利用法向量垂直平面，即垂直平面内所有直线，建立方程组（3元一次方程组，仅两个方程）（1）建立的条件是，两个相互垂直的向量，乘积为。（2）由于法向量有3个未知数，我们通常只用建立两个方程组成的方程组.（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值，.利用空间向量数量积求得两个法向量的余弦值.3 .判断范围，注意取值.14. （1）证明见解析；（2）显3【分析】（1）通过平面“_1平面45。得证庄，平面48。，继而得出过点。作。尸得四边形。尸BC 是正方形，DF = FB = BC = DC = 1, AD = BD =

26、 2,再由勾股定理得出NAO8 = 90。，即得证3O_L 平面PAO,得3DJ.B4,再由APLPD,得证APJL平面依。，最后得平面平面依。；(2)分别以射线E4、EF、族为天轴、轴、z轴的正半轴，E点为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标 系，运用空间向量相关运算求出二面角B-PD-C的正弦值.【详解】(1)证明：点E为A。的中点，连接PE,过点。作。/ BC,J.PEA.AD,又平面B4DJ_平面ABC。，平面巳4。门平面ABCD = AD,平面abco,又 Q3Du 平面 A3CZ),.PE人BD, DFBC 9 AB/CD, ZABC = 90, BC = CD,四边形。尸8C是正方

27、形，.DF = FB=BC=DC = , ZDFB = 90 ,. AD = BD =血,在AD5 中，AD2 + DB2 = AB2.ZADB = 90,即 ADLBD,.PEA.BD, AD 1BD, PEAD = E, .BD_L平面PAO,又.Q4u平面PAO, BD1 PA,又.AP_LPQ, BDCPD=D,./止_1_平面夫瓦,APu平面Q4B, 二平面平面心0.(2)由(1)可知PE JL平面A3CO, ADb是等腰直角三角形,.E点是A。的中点，AD/是等腰直角三角形，:.EF LAD分别以射线4、EF、为入轴、y轴、那么 8 一号,6,0 , P。,。,孚，D 一日, 所以

28、丽等，。,，丽=(o,Ji,o), C 设平面BPD的一个法向量为 =(% % z),由嚼二得/管),令Xn-DP = Q注X +注 z = 0122/. = (1,0,-1)设平面PDC的一个法向量为根二 (x,y,z) 拒夜 n,Jn-CD = OTX-Ty = 人由无d?=(t倚：、万万 rz轴的正半轴，点为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系,C(b 0,0 , C /2,0 ,J12 J万=(立也0、122 Jx = =1,解得： y = 0 z = -1X = 1=1,解得：, y = 11 +z = 0 22m =1)/n-m1 + 1V6nm2xV33所以，二面角3尸。C的正弦

29、值是Jl-J?)TT15. (1)证明见解析；(2) 0 = -.4z =1 3【分析】(1)根据圆柱的结构特征，得到JLCF,进而证得CFJ_平面。所，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面。防，平面CEb；(2)以尸坐标原点，分别以阳、FC、FE为xy，z轴建立空间直角坐标系。邙，分别求得平面8石和平面co/的一个法向量，利用向量的夹角公式，求得(s讥28)2=1,即可求解.【详解】(1)由题意知，石尸为半圆柱的母线，所以平面CZ)b,又因为CD为直径，所以。尸_Lb，又由。尸口尸二尸，所以CVJ平面因为CFu平面CE7 所以平面。所_1_平面CEV(2)以/坐标原点，分别以ED、FC, F

30、E为，y，z轴建立空间直角坐标系。与2, 所以 Dulcose.0,0),C(0,2sind,0), E(0,0,2)设平面CDE的法向量=(x,y,z)因为修 CD = (x, y, z) +(2cosa-2sia0)= 0, % CE = (x, y, z)-(0,-2sin0,2)= 02cosa x - IsinO - y = 0可得 n . n o n 取 = 1，解得 x = /a6,z = s加。-2sm0-y2z = O所以平面C)的法向量“ =(taii3Xsin0uu取平面CD厂的法向量%=（0,0,1）可得I率|=4，所以/ 加,=4,|5dtarre + l + sir

31、r 85所以（2s力2a、05夕=1,即（sbiiej = 1,所以 siri26 = 1 或 sin23 = 一1 （舍）,7T解得。=7.4【点睛】y利用空间向量计算二面角的常用方法:1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小,但要注意结合实际图形判断所求角的大小;2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，那么这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.16. （1）答案见解析；（2）引J JL乙【分析】（1）根据题意可知X所有可能取值为L2,5,-15,然后再求各个值时的概率即可;（2）根据（1）得出一盘游戏中没有出现音乐的概率，从而可求三盘游戏中，至少有一盘出现音乐的概率.【