北邮概率论与数理统计条件概率1.3.docx

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1、1.3条件概率条件概率是概率论中的一个基本概念，也是概率论中的一个重要工具，它既可以帮助我 们认识更复杂的随机事件，也可以帮助我们计算一些复杂事件的概率。1 .条件概率的定义及计算在一个随机试验中或随机现象中，当我们一个事件8发生了，这时对另外一个事件 力发生的概率往往需要重新给出度量.称事件，的这个新概率为在事件B发生的条件下事件，发生的条件概率，记为P( A B) ,为了对条件概率有一个直观的认识以及考虑该如何给 出条件概率的数学定义,我们先看一个例子.例1一批同类产品由甲、乙两个车间生产，各车间生产的产品数及正品和次品的情况如 下表甲车间乙车间合计正品465510975次品151025合

2、计4805201000从这批产品中任取一件，那么这件产品是次品的概率为_ = 2.5%1000现在假设被告知取出的产品是由甲车间生产的，那么这件产品为次品的概率就不再是 2.5% ,而是15，=3.1 29%) 480在本例中，设8表示事件“取出的产品是由甲车间生产的”，4表示事件“取出的产品是 次品”，前面算出的事件4的概率是在没有任可进一步的信息的情况下得到的，而后面算 出的事件A的概率是在有了 “事件B发生了”这一信息的情况下得到的,后一个概率就 是在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率.与此对应，我们可以把前一个概率称为 无条件概率。经过简单计算有门 |8)= 15 =15/1000

3、 二 P( AB)480- 480/1 000 P(B)这个关系式尽管是从本例得出的，但它具有普遍意义,受由启发,我们可以在一般的样本空间 中给出条件概率的数学定义.定义 设A 8是样本空间Q中的两个事件，且尸(8)0,在事件8发生的条件下，事件人的条件概率定义为P(A | B) = P(AB) P(B)根据条件概率的定义，不难验证条件概率满足概率定义中的三条公理：(1)非负性：对任一事件8 ,有P(B | ) 0 ；(2)规范性：尸(。| 4) = 1；统计学中就有了用武之地.事实上，依据这个公式的思想开展了一整套统计推断的方法,叫做 “贝叶斯统计”.在结束本节前，我们来思考下面一个有趣的问

4、题.最优领奖问题：设有n个不同的奖陆续出台，当一个奖出来时，你可以拒绝或接受。当 然，当你接受了刚出台的奖，你就不能领以后出台的奖。假设你拒绝刚出台的奖，那么你还有机 会领以后出台的奖。我们的目标是希望得到最高奖，希望找到一种策略使得得到最高奖的概率尽 可能地大。假设出台的加种次序都是等可能的。我们采用如下策略：先拒绝前k个奖，并记下前A个奖中的最大奖，然后从第k + 1个奖 开始，只要出现比前k个奖中的最大奖更大的奖就接受这个奖。否那么一直等待下去直至最后一个奖。记P表示利用这种策略得到最高奖的概率，求P ,并讨论当。很大时，k为何值 kk时得到最优奖的概率最大？最大的概率有多大？解：令4表

5、示事件“最大奖在第，次出现，8表示事件“得到最优奖”，那么7P =P（8） = Xp（A）RB|Z）, kii/ = 1/ n当/Yk时，P（BA） = Q , 7当，k时、得到最优奖当且仅当前/-l个奖的最优奖在前k次中出现。由对称年，前/- 1 个奖的最优奖在第1次悌2次，”，第/-I次出台的概率相等，故?（口|八）=,故 p = p（b）= p（a）p（b A）;V k/ /万人=r/=1i=k+l当。很大时，k也应当很大，故X 廿7lnc lnk = l城， / - 1n/= R+1,n ln_从而 P x - In=, k n k k函数f（x） = 2在x = e处取得最大值f（e

6、） = J_，故当取k=!时，得到最优奖的概率 xee1最大，最大概率近似为一才0.36788. e-10-(3)可列可加性：设8,8,8,是两两互不相容的事件，那么有12 nP(OB A) = P(B A)“n=1自然地，条件概率也具有三条公理导出的一切性质.比方P(BA) = -P(BA),P(BuB A) = P(BA)+P(0,那么称为平安生产模型.例6甲袋子里有个红球，乙袋子里有个黑球，按以下方式操作:从甲袋中随意地取走一个 球,然后从乙袋中取出一球放入甲袋中(如果乙袋中还有球的话).一直如此操作直至2个 球全被取走,求最后取走的是红球的概率,如很大,这个概率近似值是多少？解：设想甲

7、袋中的个红球分别编号.记A =，最后取走的是/号红 i球，=12那么4,4两两互不相容，由对称性知P(A)=P(A ) = = P(A).1 n12n又记A= “最后取走的是红球”,那么A = UA ,从而 /=1 iP(A) = P(A ) + P(A ) + + P(A ) = nP(A ),下面来求 P(A ). 12n11设N表示事件“在甲袋中的第i次取球没有取走i号红球，=1,2,.，那么 /A = N NN A ,并且 11 2 n 11111P(N)= = 1-P(N|N)=1 P(N N N )=1 n n21 n1n1P(A N N) = 1 1 由乘法公式知P(A) = P

8、(N)P(N N)P(N N N )P(A|NN) 1121n 1/:-111 n=(1-1)n n从而得P(A) = hP(A) = (1-_)h 1 n 易见，很大时，这个概率近似值为P(A) B 6-1 .1 .全概率公式定义设,A为几个事件,假设满足 12 j=O, i=i z那么称A,A,A为样本空间。的一个分割. 12 n易见对任一事件A , A与T构成一个分割.思考:一个分割A,A ,A，用概率的语言该怎么说? 12 n-4-如果个事件构成样本空间。的一个分割，B为该样本空间的另一个事件，那么事件 AB, A 5,4 5将构成3的一个分割,即有 12nB = AB AB . AB

9、 12n且上式右边的个事件互不相容，从而有P(B) = PA B) + P(A B) + + P(A B) 12n= P(A)P(B | A) +P(A)P(B A) + + P(A)P(3 | A). 1122nn这便证明了下面定理.定理(全概率公式)设，,A为样本空间。的一个分割，且 12 nP(A)0/= 12,，那么对于任一事件5,有 /P(B) = P(A)P(B A). iiz=l上面公式叫作全概率公式，该公式表示事件B的概率等于诸条件概率P(BA)的加权 i平均,权重为P(A) .另外也能看出：，,A两两互不相容且3u 0 A (可以不要 1 2求0 A = Q )时，全概率公式

10、亦成立.i=i 1例7 (续抽签与顺序无关问题)求第2次取到红球的概率；第3次取到红球的概率.解：设A表示事件“第，次取到红球”，=1,2,3。由全概率公式有 i5 4P(A) = P(A)PA | A) + P(7t)P(A E) = _x_ + 2x9=0。2 i 2 i i 2i 7 6 7 67 P(A ) = P(AA)P(AAA)+ P(7TA )P(A I7TA) 31 231 21 231 2+ 尸(AN)尸(A | ATT)+P(NN)P(A |NN)1 23 1 21 23 1 25x4 3 2x5 4 5x2 4 2x1 1 7x6 5 7x6 5 7x6 5 7x 6二

11、 5 7例8(续Polya罐子模型)设一罐子有。个黑球，个红球,每次随机地取一个球，取出的球 放回罐子中，还加进。个同色球,如此反复进行.求第2次取到黑球的概率.解:设A= 第1次取到黑球B= 第2次取到黑球”，那么P(B) = P(A)P(B | A)+P(A)P(B |7) b b + c r b =-+-b + r b + r + c b + r b + r + cb + r思考:在上例中，第次取到黑球的概率是多少？例9保险公司认为某险种的投保人可分为两类:一类为易出事故者，另一类为平安者.统 计说明：一个易出事故者在一年内发生事故的概率为。.4 ,而平安者为0.1 .假定第一 类人占此

12、险种投保人的20% .现有一个新投保人，问该投保人在一年内将出事故的概 率.解:记A= 投保人为易出事故者”，B= 投保人第一年出事故”，那么有P(A) = 0.2,尸=0.8 , P(B | A) = 0.4, P(B ) = 0.1由全概率公式得P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A)= 0.2x 0.4 + 0.8x 0.1 =0.16 .下面介绍全概率公式的一个应用：敏感性问题调查方案的设计.敏感性问题的调查是 社会调查的一类，如一群人中有赌博习惯的比例，吸毒人的比例，偷税漏税的比例等等. 这类调查如直接调查，被调查者很少会如实地回答下列问题，因比需设计调查

13、方案以使被调查 者愿意如实地回答下列问题.下面介绍两种调查方案.沃纳模型(Warner model)沃纳模型是沃纳1965年提出的，它的提出开创了随机化 回答的先河.其设计原那么是这样的:根据敏感性特征设计两个相互对立的问题，比方，问题 A:你是否吸毒过？问题B:你是否没吸毒过？再让被调查者按预定的概率从中任选一个问 题回答，比方被调查者先从一袋中任取一球如取到红球那么回答下列问题A,否那么回答下列问题B.调 查者无权过问被调查者究竟回答的是哪个问题，比方被调查者单独一人在一房间里 操作 和回答下列问题,并且只需在答卷上的“是”和“否”中选其一打钩，然后把答卷放入一密封的 投票箱内.假设调查了

14、 个人即有张答卷,其中有攵张回答“是”，袋中的红球所占比例为 100a% .如何估计人群中吸过毒的人的比例呢？记事件4= 被调查者回答的问题是A问题”，B= ”被调查者的答案是“是” ”，假设人群中吸过毒的人的比例为1。，, P是未知的，我们需估计P.那么有P(A) = a, P(B A) =p, P(B | A) = 1-p由全概率公式得P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) =ap + (1 - a)(1 - p)从而)-(1-a)2a-1k由调查结果可得P(B)的估计值为P(B)二 一，因此可得P的估计值为f - (1 -a)力二九2a-1Simmons模型

15、是1967年由Simmons提出的，其设计思想仍是基于沃纳的随机化回答思 想，只是在设计中，用与问题A毫无关联的另一个问题代替与A对立的问题(要求在人群 中对此问题的答案为“是”的比例是的)，比方在上面的问题中把问题B: “你是否 没吸毒过？”改为“你的生日是否在7月1日之前?”，那么P(B|m = 0.5,式变为P(B) =ap + 0.5(1 - a)P的估计值为S 0.5(1-a)人 np = a下面介绍全概率公式在遗学中的应用，下面问题作为思考题留给同学们去解决。对于三种基因型式：AA, Aa,皿假定亲本总体中的比例为 ：2u : w ( 0, u0, w 0, + 2u +卬=1),

16、且数量很多，而参与交配的亲本是该总体中随机的两个(比方,菜园中的豌豆是经过充分混和的)，对于子一代,这三种基因型式的比例会如 何呢?子二代又会如何呢？3.贝叶斯公式下面给出概率论中一个著名的公式.定理设为样本空间。的一个分割，且P(A)0/=12 ,n, 8为一事件， 12/且尸仍)0,那么P(A )P(8 | A )P(AB)=1-.1 T P( A )P(B I A )Jjj=i以上公式叫做贝叶斯公式,是概率论中的一个著名的公式.从形式推导来看很平凡,它不过是 条件概率的定义和全概率公式的简单推论.之所以著名，是具有哲理意义上的解 释：P(A) , P(A ), P(A )是在没有进一步的

17、信息(不知8是否发生)情况下，人们对 12n诸事件A,A,A的认识。现有了新的信息(知道5发生了)，人们对诸事件A,A12 n12 n的认识会有所调整，贝叶斯公式从数量上刻画了在有了进一步信息的条件下对诸事件,瓜的认识的调整.P(A) , P(AP(A )称为先验概率(或先验信息)，12 n12nP(A，P(A | 3)称为后验概率(或后验信息).1n我们先看下面问题。考虑不放回抽样模型：一个袋有7个球，其中5个红球,2个白球,从中依次取2次球,每次取-7-4一个，取后不放回.第一次取到红球的条件下第二次取到红球的条件概率为这是简单、直观 6的.下面来求第二次取到红球的条件下第一次取到红球的条

18、件概率.解:设”第一次取到红球，B= “第二次取到红球”，由贝叶斯公式5 4P(AB)=7X6 JP(A)P(BA) + P(A)P(BA) 5 4 2 5 6, Z| ZX7 6 7 6这个条件概率与第一次取到红球的条件下第二次取到红球的条件概率相等.从取球顺序上 看,我们可能会觉得后面的结果不会对前面的结果产生影响.果真如此吗？设想你和另外一位同 学抓阉，阉中一局部有奖,另一局部没奖.在你抓了阉但还没看结果时，你看到了另外一同学中奖 了,此时你会觉得“我中奖的可能性减少了，无论你是先抓还是后抓都会产生这种感觉.由此 可见，上面的结果其实是符合“直观”的.例10续保险问题，新投保的人第一年出

19、了事故,求他是易发事故者的概率；解:记，=投保人为易出事故者”，B= 投保人第一年出事故”，那么有产(一) = 0.2, P(A) = 0.8 , P(BA) = 0A,尸 4) =0.1,由贝叶斯公式P(A B) = P(A)P(B | A)/P(A)P(B A) + P(A)P(B A)=0.2x 0.4/0.2x0.4 + 0.8x 0.1 = 0.5例11用三台不同机器和M生产一大批同类型的部件，其中20%的部件由M机器 1231生产,30%的部件由/W机器生产，50%的部件由M机器生产.M 和A4机器生产的部 23123件的次品率分别为为1% 2%和3%. (1)从整批部件中随机取一

20、个部件,求它是次品的概率；(2)假设从整批部件中随机取一个部件发现是次品，它是由，机器生产的概率各是多 123少？解:设2 (/= 123)表示事件“取到的部件由机器M生产8表示事件“取到的部件是次 / /品”，那么有月= 0.2,尸(勺=0.3, P(A ) = 0.5 123P(B|A) = 0.01, P(BA) = 0.029 P(B A) = 0.03. 123由全概率公式P(B) = P(A)P(BA) + P(A )P(BIA) + P(A)P(BA) = 0.023. 112233(2)由贝叶斯公式P(A)P(BA) 2P(A I B) =1= x 0.087,1P(B) 23

21、-8-P(A)P(BA)=P(B)6 0.26123产(4阳=型1吧里0.6523P(B) 23例某地区居民的肝癌发病率为0.0004,现用甲胎蛋白法进行普查.医学研究说明，化验结果 是存在错误的,患肝癌的人其化验结果99%呈阳性(有病)，而没患肝癌的人其化验结果有 99.9%呈阴性(无病).现某人检查结果呈阳性，问他真的患肝癌的概率是多少？解:记人为事件“被检查者患有肝癌”，8为事件“检查结果呈阳性”，那么有P(A) = 0.0004 , P(B | A) = 0.99 , P(R A) = 0.001,=0.284由贝叶斯公式0.0004 x 0.99 + 0.9996 x 0.001这说

22、明，在检验结果呈阳性的人，真的患肝癌的可能性不到30%,这个概率比起未经检查时 的概率高出很多，但与另一个概率P(B | A)低了很多.一般读者可能认为检验结果呈阳性的人患肝癌的概率为。99 .这是由于忽视了在检查之前患这种病的概率是一个小概率0.0004. 设想有10000个人参加检查，大约会有4个人患肝癌，这4人中约有4x0.99 = 3.96个检查结 果呈阳性，而9996个未患肝癌的人中，约有9996x0.001 =9.996个检查结果呈阳性,这样在 总共13.956个呈阳性者中，真患肝癌的约占28.4%.通过这个例子不仅显示了贝叶斯公式的作用,也说明考虑所有可得到的信息的重要性.例12

23、思考题(卡片问题)思考：1 .新投保的人连续“年出事故,求他第。+ 1年会出事故的概率，在n很大时这个概率 的近似值是多少？2.在人类遗传学中，某种“坏”的基因会引起夭折,设a是这样的一个基因，基因型aa将不能长 大成人，基因型Aa的人称为“带菌者”(a具隐性性状).某人有一个兄弟由于具有基 因型aa而在童年死去，2求他是带菌者的概率.(_)3假定在自然成人人群中(不管性别如何)带菌者的概率为P (成人人群中带4a基因的比 例是100 p%,带A4基因的比例是100(1-P)%),假设他与一位不知是否具有这种“历史”2的女人结婚，他们的小孩具有基因型AA, Aa, aa的概率各是多少？( P 1 p P _. - T)3 3 3 6 6注:如果把事件8,力,4看成是会影响结果8发生机率的原因，那么全概率公式可形象地 12 n看成“原因推结果”；而贝叶斯公式恰好相反,可看成“结果推原因”.在统计学中,要依据提供的数据去寻找感兴趣的问题的答案，这是一个“由结果找原因”的过程，因而贝叶斯公式在