微分方程模型讲稿.ppt

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1、微分方程模型第一页，讲稿共三十一页哦 描述对象特征随时间描述对象特征随时间(空间空间)的演变过程的演变过程分析对象特征的变化规律分析对象特征的变化规律预报对象特征的未来性态预报对象特征的未来性态研究控制对象特征的手段研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据函数及其变化率之间的关系确定函数根据建模目的和问题分析作出简化假设根据建模目的和问题分析作出简化假设按照内在规律或用类比法建立微分方程按照内在规律或用类比法建立微分方程动动态态模模型型微分方程建模微分方程建模第二页，讲稿共三十一页哦3.1微分方程的简单应用问题例例1 1（物体达到的最大高度）在地面上以初速度（物体达到的

2、最大高度）在地面上以初速度v0v0铅直铅直向上发射一质量为向上发射一质量为m m的物体，设地球引力与物体到地心的物体，设地球引力与物体到地心距离的平方成正比，求物体可能达到的最大高度距离的平方成正比，求物体可能达到的最大高度.若物若物体脱离太阳系，则体脱离太阳系，则v0v0应为多少？应为多少？模型建立模型建立记地球半径为记地球半径为R R，假设空气阻力不计，假设空气阻力不计.设在时刻设在时刻t t物体上升的高度为物体上升的高度为s=s(t)s=s(t)，则根据，则根据NewtonNewton（牛顿）的万有引（牛顿）的万有引力定律知，物体受地球的引力为：力定律知，物体受地球的引力为：)0(,)(

3、2为比例系数为比例系数ksRkF第三页，讲稿共三十一页哦 22,mgRkRkmg即即22)(sRmgRF22dtsdmmaF又当物体在地面上时，又当物体在地面上时，s=0,F=-mgs=0,F=-mg又物体在上升过程中满足又物体在上升过程中满足Newton(Newton(牛顿牛顿)第二定律第二定律2222)(dtsdmsRRmg所以所以02222)0()0(,0)0()(;vvsssRgRdtsd数学模型为数学模型为整理得物体运动过程的整理得物体运动过程的这是一个二阶这是一个二阶微分方程微分方程第四页，讲稿共三十一页哦 02222)0()0(,0)0()(vvsssRgRdtsd,vdtds令

4、令dsdvvdtdsdsdvdtdvdtsd22则则模型模型求解求解22)(sRgRdsdvvdssRgRvdv22)(分分离离变变量量，得得CsRgRv2221积积分分，得得第五页，讲稿共三十一页哦 021)(202gRvsRgR2020max2vgRRvs：解解得得物物体体的的最最大大高高度度为为,s必须必须若物体脱离太阳系，则若物体脱离太阳系，则gRvC2021代入初始条件，得：代入初始条件，得：gRvsRgRv2022221)(21由于物体到达最大高度时，由于物体到达最大高度时，v=0v=0，所以由，所以由gRvvgR202020此此时时，有有代代入入得得：将将,6370,/8.92k

5、mRsmgskmv/2.110此即第二宇此即第二宇宙速度宙速度第六页，讲稿共三十一页哦 例例2 2 液体的浓度稀释问题液体的浓度稀释问题在甲、乙两个大桶内各装有在甲、乙两个大桶内各装有100L100L的盐水（两桶均为装满的盐水（两桶均为装满），其浓度均为），其浓度均为5g/L.5g/L.现用一根细管将净水以现用一根细管将净水以2L/min2L/min的速的速度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合溶液仍以度输入甲桶，搅拌均匀，同时又将混合溶液仍以2L/min2L/min的的速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中均不速度用细管输入乙桶（两桶容积足够大，在稀释过程中均不会溢出）；然后用细管以会

6、溢出）；然后用细管以1L/min1L/min的速度从乙桶将混合溶液的速度从乙桶将混合溶液输出输出.问时刻问时刻t t时乙桶盐水的浓度是多少？时乙桶盐水的浓度是多少？模型建立模型建立与求解与求解设设y y1 1(t)(t)和和y y2 2(t)(t)分别表示时刻分别表示时刻t t时甲、时甲、乙两桶内含盐的数量乙两桶内含盐的数量先分析先分析甲桶甲桶桶内盐量的改变为：桶内盐量的改变为：则该时间段甲则该时间段甲任取一段时间任取一段时间,ttt第七页，讲稿共三十一页哦 ttyttyttytty50)(2100)(20)()(1111500)0(50111yydtdy501500)(tety解解之之得得：

7、两边同除以两边同除以t,t,并令并令t0,t0,得甲桶内含盐的数学模型得甲桶内含盐的数学模型：分析分析乙桶乙桶同理在任意时间段同理在任意时间段t,t+t,t+tt内乙桶内含盐量内乙桶内含盐量的变化为：的变化为：tttyttytytty100)(2100)()()(2122两边同除以两边同除以t,t,并令并令t0,t0,得乙桶内含盐的数学模型：得乙桶内含盐的数学模型：第八页，讲稿共三十一页哦 500)0(100)(50)(2212yttytydtdy500)0(101001:500)(25022501yeytdtdyetytt代入，得代入，得将将)()()()()(Cdxexqeyxqyxpdx

8、dydxxpdxxp的通解为的通解为线性方程线性方程这是一阶线性微分方程，这是一阶线性微分方程，5010)(,1001)(tetqttpCtdttdttp)100ln(1001)(10)()100ln(50)100ln(2Cdteeetyttt)150(5001001)100(10100150501tetCtCdtett得：得：代入初始条件代入初始条件,500)0(2y第九页，讲稿共三十一页哦)/()150(500125000)100(1100)(,5022Lgettttytt乙桶内盐的浓度为乙桶内盐的浓度为所以时刻所以时刻1250001505001001500CC)150(500125000

9、1001)(502tettty解解为为：例例3 3 凶手作案时间的推断问题凶手作案时间的推断问题某天在一住宅发生一起凶杀案，下午某天在一住宅发生一起凶杀案，下午1616：0000刑侦人员和法刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为医赶到现场，立即测得尸体温度为3030C C，室内环境温度为，室内环境温度为2020C.C.已知在环境温度已知在环境温度2020C C状况下尸体最初状况下尸体最初2 2小时其温度下小时其温度下降降2 2C.C.若假定室内环境基本为恒温，试推断这一凶杀作案时若假定室内环境基本为恒温，试推断这一凶杀作案时间间.第十页，讲稿共三十一页哦 问问题题分分析析该问题属于物理上的

10、冷却现象，需要运用该问题属于物理上的冷却现象，需要运用NewtonNewton（牛顿）冷却定律：（牛顿）冷却定律：“物质在介质中的冷却速度同物质在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比该物体温度与介质温度之差成正比.”而而“冷却速度冷却速度就是温度对时间的导数就是温度对时间的导数.”模模型型建建立立记记T Tt t为时刻为时刻t t物体的温度，物体的温度，T T0 0为初始时刻为初始时刻t t0 0物体物体的温度（即被害者被害时的体温），的温度（即被害者被害时的体温），T Te e为介质（为介质（环境）的温度，则由牛顿冷却定律，得：环境）的温度，则由牛顿冷却定律，得：00)(TTtT

11、dtdTteet（其中（其中00为比例系数）为比例系数）第十一页，讲稿共三十一页哦 00)(TTtTdtdTteetettetTeTTT)(00)(运运用用变变量量分分离离法法，得得：模模型型求求解解现在的问题是现在的问题是如何求？如何求？eteTTTTtt00ln1方法一方法一 利用已知介质（环境）温度利用已知介质（环境）温度T Te e下物体在最初下物体在最初时间段时间段t t1 1-t-t0 0其温度下降为其温度下降为T Td d这一条件来确定这一条件来确定.第十二页，讲稿共三十一页哦 edeetedttTTTTTTTTTttTTT00001ln1ln1,110得：得：由由edeTTTT

12、Ttt0001ln1时时，代代入入公公式式得得：分分，小小时时当当00:16,30,21202,20,37010tCTCTttCTCTtde应应用用001043026.01517ln1201202372037ln1201298(74.50820302037ln001043026.0100:160：分分）t31:729:800:160t第十三页，讲稿共三十一页哦，则有：，则有：再一次测得尸体的温度再一次测得尸体的温度为时刻为时刻记记11tTtettetettetTeTTTTeTTT)(0)(00110)()(etetTTTTtt1ln11方法二方法二 利用现场过一段时间，再增加一次温度利用现场过

13、一段时间，再增加一次温度测定，从而增加一个条件来确定测定，从而增加一个条件来确定.eteteteTTTTTTTTtttt1lnln)(010第十四页，讲稿共三十一页哦 例例4 4 马王堆一号墓入葬年代的测定问题马王堆一号墓入葬年代的测定问题湖南长沙市马王堆一号墓于湖南长沙市马王堆一号墓于19721972年年8 8月发掘出土，其时月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳测得出土的木炭标本中碳1414平均（平均（C C1414）原子蜕变）原子蜕变数为数为29.7829.78次次/分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳分钟，而新烧成的同种木材的木炭标本中碳1414的原子蜕变数为的原子蜕变数为38.37

14、38.37次次/分钟，又知碳分钟，又知碳1414的半衰的半衰期为期为57305730年，试由此推断墓人入葬的大致年代年，试由此推断墓人入葬的大致年代.问题问题分析分析放射性元素的衰变的速度不受环境的影响，它放射性元素的衰变的速度不受环境的影响，它总是和该元素当前的量成正比总是和该元素当前的量成正比.运用运用C C1414测定文物或化石年代的理由：测定文物或化石年代的理由：第十五页，讲稿共三十一页哦（1 1）宇宙射线不断袭击大气层，使大气层中产生）宇宙射线不断袭击大气层，使大气层中产生C C1414，而同时，而同时C C1414又不断衰变，从而大气层中又不断衰变，从而大气层中C C1414的含量

15、处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上不的含量处于动态平衡中，且其含量自古至今基本上不变；变；（2 2）C C1414被动植物体所吸收，所以活着的生物体被动植物体所吸收，所以活着的生物体由于不断的新陈代谢，体内的由于不断的新陈代谢，体内的C C1414也处于动态平衡也处于动态平衡中，其含量自古至今也都是一样的；中，其含量自古至今也都是一样的；（3 3）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取）动植物的尸体由于停止了从环境中摄取C C1414，从而其体内，从而其体内C C1414含量将由于衰变而不断减少含量将由于衰变而不断减少.碳定碳定年代法就是根据年代法就是根据C C1414的减少量来判断生物体的大

16、致死亡的减少量来判断生物体的大致死亡时间时间.运用运用C C1414测定文物或化石年代的理由：测定文物或化石年代的理由：第十六页，讲稿共三十一页哦 00)(xtxxdtdx物质决定）物质决定）为衰变系数，由放射性为衰变系数，由放射性其中其中()(00)(ttextx建建立立模模型型设设t t时刻生物体中时刻生物体中C C1414的含量为的含量为x(t)x(t)，x x0 0为生物体为生物体死亡时间死亡时间t t0 0时所含时所含C C1414的含量，放射性物质的半衰的含量，放射性物质的半衰期为期为T T，则，则C C1414衰变规律的数学模型为：衰变规律的数学模型为：模模型型求求解解运用分离变

17、量法，得：运用分离变量法，得：00021)()(xTtxtxTtt时时，有有又又当当Texx00212ln1T第十七页，讲稿共三十一页哦（年年）209578.2837.38ln2ln573019720t)(2ln00)(ttTextx)(ln2ln00txxTtt模模型型应应用用把把T=5730,xT=5730,x0 0=38.37,x(1972)=29.78=38.37,x(1972)=29.78代入上式得代入上式得：（年年）123209519720t即马王堆墓入葬的年代大约在公元前即马王堆墓入葬的年代大约在公元前123123年左右的西汉年左右的西汉中期。中期。第十八页，讲稿共三十一页哦 3

18、.2 3.2 运动轨迹问题运动轨迹问题例例 1 1 航迹曲线航迹曲线1vOxAy2v1vv设河边点设河边点O O的正对岸为点的正对岸为点A A，河宽，河宽OA=h,OA=h,两岸为平行直线两岸为平行直线，平行于河岸的水流速度为常数，平行于河岸的水流速度为常数v v1 1,有一小船从有一小船从A A点出发，点出发，驶向点驶向点O.O.设小船速度为设小船速度为v v2 2(静水中速度），且静水中速度），且|v|v2 2|v|v1 1|.|.小船在航行中船头恒指向小船在航行中船头恒指向O O点，求小船航行的轨迹点，求小船航行的轨迹.模模型型建建立立设设O O为坐标原点，河岸沿为坐标原点，河岸沿y y

19、轴方向轴方向延伸延伸,如右图如右图.小船航行的轨迹为小船航行的轨迹为y=y(x).y=y(x).第十九页，讲稿共三十一页哦 则：则：轴正向的夹角为轴正向的夹角为点的连线与点的连线与与与并设小船并设小船实际速度为实际速度为由运动力学知，小船的由运动力学知，小船的,21oxvvvOjvvivv)sin(cos212cos,sin221vdtdxvvdtdy设小船设小船t t时刻位于点时刻位于点(x,y)处，则有：处，则有：2222sin,cosyxyyxx的大小）的大小）表示表示其中其中2121,(vvvvvv1vOxAy2v1vv第二十页，讲稿共三十一页哦 2222221,yxxvdtdxyxy

20、vvdtdy)()(/2222221yxxvyxyvvdtdxdtdydxdyxyxyvv221)(1模模型型为为：于于是是得得小小船船航航行行的的轨轨迹迹0)()(1221hyxyxyvvdxdy第二十一页，讲稿共三十一页哦 0)()(1221hyxyxyvvdxdyudxduxdxdyuxyuxy,，则则令令2211 uvvdxdux代代入入并并整整理理得得：模模型型求求解解这是一阶齐这是一阶齐次微分方程次微分方程dxxvvudu2121分离变量：分离变量：)|ln(2222Cxaxxadx)ln(ln)1ln(212Cxvvuu第二十二页，讲稿共三十一页哦 hCuyhx1,0,0,得得代

21、代入入初初始始条条件件21)ln(ln)1ln(212vvhxhxvvuu21)(12vvhxuu)()(212121vvvvhxhxu解解之之得得.0,)()(22121hxhxhxxuxyvvvv这就是小船的航行轨迹曲线这就是小船的航行轨迹曲线.第二十三页，讲稿共三十一页哦 例例2 2 追踪问题追踪问题在南海海域，我缉私舰雷达发现在距离舰艇在南海海域，我缉私舰雷达发现在距离舰艇d n mile(d n mile(海里海里）处有一艘走私船正以匀速）处有一艘走私船正以匀速a n mile(a n mile(海里）朝垂直方向海里）朝垂直方向逃窜，缉私舰立即以最大的速度逃窜，缉私舰立即以最大的速度

22、v nmile(v nmile(海里）追赶海里）追赶.在在雷达的指引下，缉私舰的速度方向始终指向走私船雷达的指引下，缉私舰的速度方向始终指向走私船.试求缉私试求缉私舰的追踪轨迹及追上所用的时间舰的追踪轨迹及追上所用的时间.模型建立如果如果va,va,则缉私舰不可能追上走私则缉私舰不可能追上走私船，因此假设船，因此假设va.va.以缉私舰发现走私船的位置记为坐标以缉私舰发现走私船的位置记为坐标原点原点O O，走私船逃窜的方向为，走私船逃窜的方向为y y轴方向轴方向，建立坐标系，走私船的起点位置为，建立坐标系，走私船的起点位置为A A（d,0),d,0),如图如图.)0,(dA)(xyy),(at

23、dQx),(yxPyO第二十四页，讲稿共三十一页哦).,(),),(atdQyxtxfy此此时时走走私私船船逃逃至至点点（舰舰追追赶赶至至点点缉缉私私经经过过时时间间线线为为设设缉缉私私舰舰的的追追踪踪轨轨迹迹曲曲P的的切切线线，所所以以，有有：点点就就是是追追踪踪曲曲线线在在私私船船，所所以以由由于于缉缉私私舰舰始始终终指指向向走走PPQxdyatdxdyyatyyxd)(即即即即内内所所追追赶赶的的路路程程为为间间另另一一方方面面，缉缉私私舰舰在在时时,vttatavvtdxyx021xdxyvayyxd021)(第二十五页，讲稿共三十一页哦 0|,0|1)(002xxyyyvayxdpy

24、 令令dxdpy 则则：对该式两边求导并整理，即得追踪曲线模型对该式两边求导并整理，即得追踪曲线模型模模型型求求解解这是一个二阶这是一个二阶微分方程微分方程21)pvadxdpxd原原方方程程可可化化为为（)(12xdvadxpdp分离变量，得：分离变量，得：12)ln()1ln(Cxdvapp两边积分，得：两边积分，得：第二十六页，讲稿共三十一页哦 dvapxln0|10C，得，得代入初始条件代入初始条件vaxddpp)(12)()(21vavaxddxddpy解解之之得得：211)(11)(1121Cdxdvaxddvayvavavava2220,0|avavdCyx得得：代代入入初初始始

25、条条件件211)()(2Cxdavdxdvadvvavavava第二十七页，讲稿共三十一页哦 2211)()(2avavdxdavdxdvadvyvavavava追追踪踪曲曲线线为为：22*avavdydx时时，得得当当22*avvdayt间间为为：所所以以追追上上走走私私船船所所用用时时缉私舰追上走私船的时间缉私舰追上走私船的时间第二十八页，讲稿共三十一页哦3.33.3 火车弯道缓和曲线的设计火车弯道缓和曲线的设计问题问题 火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心火车驶上弯道时，根据力学原理，会产生离心力力F=mvF=mv2 2/R./R.在轨道的直道与弯道（圆弧）的衔接处，列车受在轨道的直

26、道与弯道（圆弧）的衔接处，列车受到的离心力若由到的离心力若由0 0突然变到突然变到F F，会损坏路轨和车辆，并使乘，会损坏路轨和车辆，并使乘客赶到不适，甚至发生危险客赶到不适，甚至发生危险.为此火车轨道在弯道处采为此火车轨道在弯道处采取取“外轨超高外轨超高”的办法，使产生的向心力抵消部分离心力的办法，使产生的向心力抵消部分离心力，以保证列车安全运行，以保证列车安全运行.为使等高的直线轨道与外轨超高为使等高的直线轨道与外轨超高的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道的圆弧平缓衔接，同时避免离心力的突然出现，要在弯道与直道间加设一段曲线，以使列车受到的离心力从与直道间加设一段曲线，以使列

27、车受到的离心力从0 0均匀均匀地增大到地增大到F F，外轨的超高也从，外轨的超高也从0 0逐渐增大到逐渐增大到h.h.所加的曲线称为所加的曲线称为缓和曲线缓和曲线.试求满足上述要求的缓和曲线的模型试求满足上述要求的缓和曲线的模型.第二十九页，讲稿共三十一页哦 P0RBOxy模模型型建建立立如图，设铁路轨道沿如图，设铁路轨道沿x负半负半轴直到原点为直线，从第一象轴直到原点为直线，从第一象限的限的B B处开始，是半径为处开始，是半径为R R0 0的的圆弧，圆弧，OBOB弧是所求的缓和曲线弧是所求的缓和曲线，OBOB弧的总长度为弧的总长度为l0 0.当列车行驶时，由当列车行驶时，由F=mvF=mv2

28、 2/R/R知，要使离心力均匀变化，只知，要使离心力均匀变化，只需缓和曲线的曲率需缓和曲线的曲率K=1/RK=1/R均匀变化均匀变化.从而只需从而只需OBOB弧上每点弧上每点处的曲率与从原点到该点的弧长处的曲率与从原点到该点的弧长l成正比即可，即有成正比即可，即有K=Cl.,100RKll 时时，有有由由已已知知条条件件，当当000011RlCRCl第三十页，讲稿共三十一页哦 232)1(),(yyKxfy|线上点的曲率为：线上点的曲率为：曲曲则由高等数学知识知，则由高等数学知识知，设缓和曲线方程为设缓和曲线方程为|lim)(0ssKs曲曲率率xdxyl021又缓和曲线的弧长为：又缓和曲线的弧长为：xdxylRyy020023211)1(.微分方程模型微分方程模型这就是缓和曲线满足的这就是缓和曲线满足的关于模型求解，请同学参阅教材关于模型求解，请同学参阅教材P73P73，或请同学们自己利用，或请同学们自己利用微分方程知识求解，在此，我们就不求解了微分方程知识求解，在此，我们就不求解了.第三十一页，讲稿共三十一页哦