高量空间对称性和守恒定律精选PPT.ppt

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1、关于高量空间对称性和守恒定律1现在学习的是第1页，共33页219-2 19-2 空间对称变换空间对称变换一、位置变换一、位置变换ABABQ 设变换设变换 是三维位形空间的算符，它将点是三维位形空间的算符，它将点 变为另一点变为另一点 QrrrrQ（19.1）对每一个对每一个 都有确定值。都有确定值。rr,变换变换 是不改变任何两点距离的那些变换：是不改变任何两点距离的那些变换：Q现在学习的是第2页，共33页3对称变换群：对某些物理系统，若位置变换的一个对称变换群：对某些物理系统，若位置变换的一个集合集合 是此系统的对称变换，即保持这个是此系统的对称变换，即保持这个系统不变的变换，则这个集合必构

2、成一个群，称为系统不变的变换，则这个集合必构成一个群，称为这个系统的对称变换群。这个系统的对称变换群。),3,2,1(iQi满足群的四个条件：满足群的四个条件：1 1单位元存在：单位元存在：rr11Q2 2结合律成立：结合律成立：321321)()(QQQQQQ 3 3封闭性：封闭性：21QQQ 4 4逆元存在：逆元存在：,rQrrQr1QQ现在学习的是第3页，共33页4二、态函数的变换二、态函数的变换态函数态函数 用算符用算符 作一个整体的变换。作一个整体的变换。rr)(Q整体变换：新函数在新点处的值等于老函数在老点上的值整体变换：新函数在新点处的值等于老函数在老点上的值，即，即)()(rr

3、)()(rr Q)()(1rrQ（19.3）新老函数的关系用一个新老函数的关系用一个函数空间的变换算符函数空间的变换算符 表示：表示：)(QD)()()()(1rrrQQD变换不影响其归一化，变换不影响其归一化，是幺正算符：是幺正算符：)(QD1)()()()(QDQDQDQD（19.4）现在学习的是第4页，共33页5考虑连续两次变换：（考虑连续两次变换：（只对只对 作用作用）Qr)()()()()()(111212121rrrQQQQDQDQD)()()()(211211112rrrQQDQQQQ)()(2121QQDQDQD得得 )(QD构成一个群。构成一个群。（19.5）群群 与群与群

4、是什么关系呢？是什么关系呢？Q)(QD1)1()()()(11DQQDQDQD)()(11QDQD由于由于 所以所以 （19.6）同态同态，即，即)(QDQ 现在学习的是第5页，共33页6三、态矢量的变换三、态矢量的变换在在Hilbert空间中，状态空间中，状态 经过变换经过变换 之后成为新态之后成为新态 ，则可定出一个幺正变换算符，则可定出一个幺正变换算符 ：Q)(QD)(QD（19.7）由于由于 rr)(rr)()()()()(1rrrQQD可得可得 rrrr1)()(QQDrrr1)()(QQDQD即即 所以所以 rr1)(QQD（19.8）rr)()(QDQD（19.9）现在学习的是第

5、6页，共33页7(19.8)：Hilbert空间中空间中D(Q)的定义式。的定义式。(19.9)：与与 的形式关系。的形式关系。)(QD)(QD右矢形式：右矢形式：rrr11)()(QQDQDrr1)(QQDrr)(QDQrrQQD)()(QD两边乘两边乘,有有 rrQ令令，得，得 即即 现在学习的是第7页，共33页8四、算符的变换四、算符的变换设对称变换前，设对称变换前，A现在分别对现在分别对 ，作对称变换作对称变换Q，即，即)(QD)(QDA，则则 )()(1QADQDA现在学习的是第8页，共33页9rrrR对位置算符对位置算符R，其本征值方程为，其本征值方程为 rrrR)()()()(1

6、QDQDQDQD 所以所以 rrrRQQrrrRQQQ有有 rrrRQQQ1 )()(11QDQDQRRR（19.13）（19.14）用用D(Q)作用，得作用，得 用用Q-1作用在等式作用在等式（本征值为（本征值为Qr的的R的本征方程）的本征方程）因为因为|Qr为任意矢量，所以比较（为任意矢量，所以比较（19.13）和（）和（19.14）,得得现在学习的是第9页，共33页1031iiiR eRR的双重身份：的双重身份：Hilbert空间中的算符，空间中的算符，只对只对 作用作用位形空间中的矢量，位形空间中的矢量，只对只对 作用。作用。)(QDiR1Qie)()(11QDQDQRRR现在学习的是

7、第10页，共33页1119-3 19-3 空间反演空间反演一、空间反演算符一、空间反演算符rrPrr)(PD 通常通常:,1PPPPP11PPD)(rrP，PP1根据根据19.419.4式：式：)()(rrP12P ，空间反演群空间反演群 ：P,1函数空间的空间反演算符函数空间的空间反演算符 :PPP1)()()(1rrQQD和和空间反演变换空间反演变换 的定义是：的定义是：P空间反演算符空间反演算符 是：是：P，现在学习的是第11页，共33页12偶宇称偶宇称奇宇称奇宇称无确切宇称无确切宇称)()()()(rrrrP其他情况其他情况因为因为 ，所以，所以 的本征值为的本征值为 ：12PP1空间

8、反演算符既是幺正算符空间反演算符既是幺正算符PPP11 PPPP 又是厄米算符又是厄米算符与与 相应的左矢形式为：相应的左矢形式为：rrPrPrPrPr现在学习的是第12页，共33页13二、算符在空间反演下的变换二、算符在空间反演下的变换 1位置算符位置算符RrrrrrRrRPPPPP)()(rRrrRRPP)()()()()()(rrrrrrRrRRPPPPRRPP在在Hilbert空间中：空间中：所以所以 在函数空间中：在函数空间中：所以所以 （19.23）（19.24）现在学习的是第13页，共33页14prprpriepprrprrpPPpPpppppp)pPpPPPPPP(PPPP2动

9、量算符动量算符P由于由于 则则 所以所以 （19.25）（19.26）现在学习的是第14页，共33页15LP(R)PRL)()()(PPPPPPLL PPPPPPPLLL即即P与与L对易对易3轨道角动量算符轨道角动量算符L所以：所以：共同的本征函数是球谐函数共同的本征函数是球谐函数（19.27）现在学习的是第15页，共33页16矢量算符矢量算符：在空间反演下改变符号，如：在空间反演下改变符号，如R,P轴矢量（赝矢量）算符轴矢量（赝矢量）算符：在空间反演下不变，如角动量算符在空间反演下不变，如角动量算符L并规定自旋算符是轴矢量算符。并规定自旋算符是轴矢量算符。真标量：真标量：在空间反演下在空间反

10、演下不不改变符号改变符号赝标量：赝标量：在空间反演下改变符号在空间反演下改变符号现在学习的是第16页，共33页1719-4 19-4 空间平移空间平移、平移群、平移群无限小空间平移变换无限小空间平移变换)(dQr)rrddQ(（19.28）)r)2r(2(QQ)(Q不是线性算符不是线性算符，得得)()()()(1dr)rrrdQdD)()1()()(rPrrdidP1)(didD 即即 在位置表象中，将在位置表象中，将 作用于态函数作用于态函数 上，上，)(dD)(r现在学习的是第17页，共33页18)()()()()(dDdDdDdDDPP)1(liminneni对于有限的平移，有对于有限的

11、平移，有 （19.30）)(D是线性算符，是线性算符，与与 同构。同构。)(D)(Q现在学习的是第18页，共33页19二、态矢量的平移算符二、态矢量的平移算符在在Hilbert空间中，有空间中，有 )(D（19.31）PieD)(（19.32）由由 ，知，知rrQQD)(r)rr)(QD（19.33）所以态矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符所以态矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符)(Q现在学习的是第19页，共33页20三、位置算符和动量算符的平移变换三、位置算符和动量算符的平移变换对位置算符对位置算符R：由（：由（19.15）式）式)()(11QDQDQRRR得得 RRRR)()(

12、)(11QDD（19.34）对动量算符对动量算符P，由，由 PieD)(知知 0(P),D所以所以 PPP)()(1DD（19.35）即动量算符在平移变换下是不变的。即动量算符在平移变换下是不变的。现在学习的是第20页，共33页2119-5 19-5 空间转动空间转动一、空间转动和转动群一、空间转动和转动群 rnrrrrnrdddQ)(绕绕n轴转轴转 角的无限小转动算符角的无限小转动算符 ：d)(dQ n3D正当转动群：绕所有的轴转一切角度的正当转动算正当转动群：绕所有的轴转一切角度的正当转动算符的集合符的集合 构成的群。构成的群。)(nQ现在学习的是第21页，共33页22二、函数空间和二、函

13、数空间和Hilbert空间中的转动算符空间中的转动算符)()()()(1rnrnrdQdD)()()(rrnrrnrdd)()1(rLndi（由（由19.4）（略高阶项）（略高阶项）函数空间中：函数空间中：LnndidD1)(LnLnnimmemiD)1(lim)(（应用（应用 和和 ）CBACBA iP在位置表象中态函数在位置表象中态函数 的转动变换是的转动变换是 )(r现在学习的是第22页，共33页23Hilbert空间中：空间中：LnndidD1)(LnnieD)(现在学习的是第23页，共33页24三、算符的变换三、算符的变换位置算符位置算符R)()(1dDdDnRnR)1()1(LnR

14、LndidiRLnLnRRLnR222)()()()(ddidi,RLnRdi 0)(2d现在学习的是第24页，共33页25jR,jiijiRLndijRkijkiijkRnidi RnRnR)(1dQdijkjiijkBAkeBAijk：Levi-Civita symbol（6.19）式）式 现在学习的是第25页，共33页26四、标量算符和矢量算符四、标量算符和矢量算符2.动量算符动量算符P和角动量算符和角动量算符L：PnPnPnPnP)()()(11dQddDdDLnLnLnLnL)()()(11dQddDdD1.1.标量算符：在转动下不变得单分量算符，满足标量算符：在转动下不变得单分量算

15、符，满足 SSDD)()(1nn0)(,dDSn2.2.矢量算符：在矢量算符：在3D位形空间转动下，函数空间或位形空间转动下，函数空间或Hilbert空空间中与位置算符有同样变换特性的三分量算符间中与位置算符有同样变换特性的三分量算符，满足满足 VnnVn)()()(11 QDD或或现在学习的是第26页，共33页27标量和矢量算符按空间反演变换下的性质分别有标量和矢量算符按空间反演变换下的性质分别有“真真”和和“赝赝”或或“真真”和和“轴轴”之分。之分。矢量算符的任意分量与轨道角动量算符的任意分量的对易关矢量算符的任意分量与轨道角动量算符的任意分量的对易关系：系：VmnVmL,n i现在学习的

16、是第27页，共33页28五、自旋空间中的转动变换五、自旋空间中的转动变换kkijkjiSiSS,SnnieD)(自旋是一种角动量，自旋是一种角动量，S与与L一样是轴矢量，即在空间反演下不一样是轴矢量，即在空间反演下不改变符号；改变符号；S与与L三个分量的对易关系类似：三个分量的对易关系类似：自旋空间中与空间转动自旋空间中与空间转动 对应的对应的变换算符变换算符 为：为：)(dQ n)(dD n现在学习的是第28页，共33页29在带有自旋粒子的态空间（直积空间）中：在带有自旋粒子的态空间（直积空间）中：空间平移算符为空间平移算符为 ，并只对位形，并只对位形HilbertHilbert空间有作用；

17、空间有作用；PieD)(空间反演算符为空间反演算符为 ，对自旋算符的作用为，对自旋算符的作用为 rrPSSPP空间转动算符为空间转动算符为 JnSnLnniiieeeD)(现在学习的是第29页，共33页3019-6 19-6 空间变换对称性和守恒定律空间变换对称性和守恒定律、系统在空间变换下的对称性、系统在空间变换下的对称性系统在某一空间对称变换下具有不变性或对称性，不系统在某一空间对称变换下具有不变性或对称性，不是指系统在变换后状态不变，而是指系统在变换前后是指系统在变换后状态不变，而是指系统在变换前后运动规律不变。运动规律不变。设系统的运动满足设系统的运动满足SchrdingerSchrd

18、inger方程方程)()(tHtti施以一个空间变换施以一个空间变换 rrr)(Q现在学习的是第30页，共33页31如果系统在这一变换下具有不变性或对称性，则要求：如果系统在这一变换下具有不变性或对称性，则要求：HQHDQD)()(1即即 0),(HQD在空间变换下，在空间变换下，SchrdingerSchrdinger方程变为：方程变为：)()()()()()(1tQDQHDQDtQDti现在学习的是第31页，共33页32二、守恒量二、守恒量1平移对称性与动量守恒：平移对称性与动量守恒：空间平移算符：空间平移算符：PieD)(如果如果 0)(,DH有有 0,PH如果如果 0,PH，则所有方向上的动量守恒。，则所有方向上的动量守恒。则此系统具有则此系统具有 方向上的平移对称性，方向上的平移对称性，方向的动量方向的动量分量是守恒量。分量是守恒量。现在学习的是第32页，共33页9/8/2022感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第33页，共33页