高斯求积公式精选PPT.ppt

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1、关于高斯求积公式现在学习的是第1页，共39页数值分析0()()()()nbkkakI fx f x dxA f x 考虑更一般形式的数值积分问题定义：若求积公式 对一切不高于m次的多项式p(x)都等号成立，即R(p)=0;而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此求积公式的代数精度为m.0()()()nbkkakx f x dxA f x 一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法一、构造高斯型求积公式的基本原理和方法数值分析现在学习的是第2页，共39页数值分析定理1：设节点x0,x1,xna,b，则求积公式 的代数精度最高为2n+1次。0()()()nbkkakx f x dxA f x 分别取

2、 f(x)=1,x，x2，.xr 代入公式，并让其成为等式，得：A0 +A1 +An =ab1dx.=b-ax0 A0 +x1 A1+xn An =abxdx.=（b2-a 2)/2 .x0 rA0 +x1 rA1+xn rAn=abxr dxr=(br+1-a r+1)(r+1)()1,x 取取特特殊殊情情形形证证明明：数值分析现在学习的是第3页，共39页数值分析 事实上,取 2n+2次多项式g(x)=(x-x0)2(x-x1)2.(x-xn)2 代入求积公式,这里 x0,x1,xn是节点，有0()()0()0nbkkakx g x dxA g x 左左，右右左右,故等式不成立,求积公式的代

3、数精度最高为2n+1次。证毕.上式共有 r+1个 等式，2n+2个待定系数(变元),要想如上方程组有唯一解，应有方程的个数等于变元的个数,即 r+1=2n+2,这样导出求积公式的代数精度至少是2 n+1,下面证明代数精度只能是2n+1.数值分析现在学习的是第4页，共39页数值分析定义:使求积公式达到最高代数精度2n+1的求积公式称为Guass求积公式。Guass求积公式的节点xk称为Guass点,系数Ak称为Guass系数.0()()()nbkkakx f x dxA f x 因为Guass求积公式也是插值型求积公式,故有结论:n+1个节点的插值型求积公式的代数精度 d 满足：n d 2n+1

4、。数值分析现在学习的是第5页，共39页数值分析111221()()()(1)f x dxc f xc f x 例：选择系数与节点，使求积公式（1）成为Gauss公式。解：n=1,由定义，若求积公式具有3次代数精度，则 其是Gauss公式。为此，分别取 f(x)=1,x，x2，x3 代入公式，并让 其成为等式，得c1+c2=2c1 x1+c2 x2=0c1 x12+c2 x22=2/3c1 x13+c2 x23=0求解得：12121,33,33ccxx 1133()()()33f x dxff 所求Gauss公式为：(1)用待定系数法构造高斯求积公式用待定系数法构造高斯求积公式数值分析现在学习的

5、是第6页，共39页数值分析 设Pn(x)，n=0,1,2,为正交多项式序列，Pn(x)具有如下性质：1）对每一个n,Pn(x)是 n 次多项式。n=0,1,2）()()()0,()bijax P x Px dxij (正交性)()()()0,1bnax P x Px dxn 3）对任意一个次数n-1的多项式P(x)，有4）Pn(x)在(a,b)内有n个互异零点。（2）利用正交多项式构造高斯求积公式）利用正交多项式构造高斯求积公式数值分析现在学习的是第7页，共39页数值分析定理2 设x0,x1,xn 是n+1次正交多项式Pn+1(x)的n+1 个零点,则插值型求积公式是Guass型求积公式。证明

6、：只要证明求积公式的代数精确度为2n+1,即对任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。00()()(),()nnbbikkkaakikii kxxx f x dxA f xAxdxxx 设 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式，则有 f(x)=q(x)Pn+1(x)+r(x)，满足 f(xk)=r(xk)这里，Pn+1(x)是 n+1次正交多项式，q(x)、r(x)均是次数n的多项式。1()()()()()()()bbbnaaax f x dxx q x Px dxx r x dx 数值分析现在学习的是第8页，共39页数值分析由性质3）及(4)式，有11()()()()()()()0

7、()()()bbbnaaanbkkakx f x dxx q x Px dxx r x dxx r x dxA f x 由于n+1个节点的插值型求积公式的代数精确度不低于n，故有00()()()()(4)nnbkkkkakkx r x dxA r xA f x 即对 f(x)为任意一个次数2n+1的多项式求积公式都精确成立。证毕数值分析现在学习的是第9页，共39页数值分析利用正交多项式构造高斯求积公式的基本步骤：高高斯斯点点），作作为为积积分分点点次次正正交交多多项项式式的的零零点点以以(,1.110nxxxn niiinxfxlxfLagrangexfxxx010)()()()(,.2插插值

8、值多多项项式式作作对对用用高高斯斯点点代入积分式)()()()()()()()(00inibaibaniiibaxfdxxlxdxxfxlxdxxfx 因此，求积系数为 baiinidxxlxA),1,0()()(数值分析现在学习的是第10页，共39页数值分析1211(),.xf x dx 对对于于积积分分（）试试构构造造两两点点高高斯斯求求积积公公式式例例 2111xx 首首先先在在，上上构构造造带带权权（）的的解解：正正交交多多项项式式0120110(),(),().()1()()()xxxxxxxx 0)1()1()(),()(),(11211200001 dxxxdxxxxxxx 52

9、)(22 xx 同同理理求求出出20122(),55xxx 的的 零零 点点 为为数值分析现在学习的是第11页，共39页数值分析20122(),55xxx 以以的的零零点点作作为为高高斯斯点点。其其成成为为等等式式。依依次次代代入入上上式式两两端端，令令将将形形如如次次代代数数精精度度，求求积积公公式式应应有有两两点点高高斯斯公公式式xxfxfAxfAdxxfxn,1)()()()()1(3,11111002 )52()52()1()1(1011210112AAxdxxAAdxx 3410 AA联联立立解解出出 )52()52(34)()1(112ffdxxfx为为得得到到两两点点高高斯斯求求

10、积积公公式式数值分析现在学习的是第12页，共39页数值分析常用的高斯求积公式常用的高斯求积公式1.Gauss-Legendre 求积公式 (1)其中高斯点为Legendre多项式的零点 110()()nkkkfx dxAfx Guass点xk,Guass系数Ak都有表可以查询.数值分析现在学习的是第13页，共39页数值分析数值分析现在学习的是第14页，共39页数值分析110()()nkkkf x dxA f x 110,()2(0)nf x dxf 111()(0.5773502692)(0.5773502692)nf x dxff 112()0.555555556(0.7745966692)

11、0.888888889(0)0.555555556(0.7745966692)nf x dxfff 数值分析现在学习的是第15页，共39页数值分析11:1.5xdx 运运用用三三点点高高斯斯-勒勒让让德德求求积积公公式式与与辛辛卜卜生生求求积积公公式式计计算算积积分分例例111.50.555556(0.7254032.274596)0.888889 1.52.39970:9xdx 由由三三点点高高斯斯-勒勒让让德德求求积积公公式式有有解解1111.5(0.54 1.52.5)2.3957423xdx 由由三三点点辛辛卜卜生生求求积积公公式式有有111.52.399529xdx 该该积积分分的的

12、准准确确值值数值分析现在学习的是第16页，共39页数值分析一般区间的一般区间的Gauss-Gauss-Legendre Legendre 求积公式求积公式 如果积分区间是如果积分区间是a,b，用线性变换，用线性变换 11()()222bababaabf x dxftdt 这样就可以用Gauss-Legendre求积公式计算一般区间的积分.将积分区间从a,b变成-1,1,由定积分的换元积分法有22baabxt 数值分析现在学习的是第17页，共39页数值分析11()(0.577)(0.577)GaussLegendreF t dtFF 由由两两点点求求积积公公式式100101100110()1,(

13、)()()f x dxnGaussLegendreGaussxxA Af x dxA f xA f xGauss 对对积积分分，试试利利用用的的两两点点求求积积公公式式构构造造型型求求积积公公式式。例例即即确确定定和和使使为为型型求求积积公公式式。1110111111()()(1),2222111()(1)()222xabba ttdxdtf x dxft dtF t dt 先先作作变变量量代代换换于于是是解解：1101111111()(1)(1 0.577)(1 0.577)222222f x dxft dtff 得得数值分析现在学习的是第18页，共39页数值分析111012301231()

14、()()()()()F t dtGaussLegendreF t dtA F tA F tA F tA F t 对对积积分分用用四四点点求求积积公公式式10012301231001122330()3,()()()()()f x dxnGaussLegendreGaussxxxxA A AAf x dxA f xA f xA f xA f xGauss 对对积积分分，试试利利用用的的四四点点求求积积公公式式构构造造型型求求积积公公式式。即即确确定定和和使使为为型型求求例例积积公公式式。1110111111()()(1),2222111()(1)()222xabba ttdxdtf x dxft

15、dtF t dt 先先作作变变量量代代换换于于是是解解：数值分析现在学习的是第19页，共39页数值分析,(0,1,2,3)iitAi 可查表得到 和可查表得到 和原积分原积分110101230123012012331()()21()()()()21111(1)(1)(1)22221(1)211(1)0,1,2,322iiiif x dxF t dtA F tA F tA F tA F tA ftA ftA ftA ftxtAAi 即有即有数值分析现在学习的是第20页，共39页数值分析10()0.173927(0.069432)0.326073(0.330009)0.326073(0.66999

16、1)0.173927(0.930518)f x dxffff 于于是是01230.8611360.3399810.3399810.8611360.3478550.6521450.6521450.3478550.0694320.3300090.6699910.9305680.1739270.3260730.3260730.173927iiiiitAxA 列表如下：列表如下：11(1)0,1,2,322iiiixtAAi 数值分析现在学习的是第21页，共39页数值分析例例 利用高斯求积公式计算利用高斯求积公式计算解解:令令x=1/2 (1+t),则则用用高斯高斯-Legendre求积公式计算求积公

17、式计算.取取n=4 积分精确值为积分精确值为I=ln2=0.69314718由此可见，高斯公式精确度是很高的由此可见，高斯公式精确度是很高的.101dxx 110113dxdtIxt 0.69314719I 数值分析现在学习的是第22页，共39页数值分析例例:分别用不同方法计算如下积分分别用不同方法计算如下积分,并做比较并做比较各种做法比较如下：各种做法比较如下：1、用、用Newton-Cotes公式公式当当n=1时，即用梯形公式，时，即用梯形公式，I0.9270354当当n=2时时,即用即用Simpson公式公式,I 0.9461359当当n=3时时,I 0.9461090当当n=4时时,I

18、 0.9460830当当n=5时时,I 0.946083010sinxIdxx I准=0.9460831数值分析现在学习的是第23页，共39页数值分析 10sin(0)2()(7)(1)20.94569086xhdxff hfhfx 2:用复化梯形公式用复化梯形公式 令令h=1/8=0.1253：用复化辛卜生公式：用复化辛卜生公式 令令h=1/8=0.125 10sin(0)4()(7)2(2)(6)(1)30.9460833xdxxhff hfhfhfhf I准=0.9460831数值分析现在学习的是第24页，共39页数值分析4、用用Romberg公式公式K Tn Sn Cn Rn0 0.9

19、207355 1 0.9397933 0.94614592 0.9445135 0.9460869 0.94008303 0.9456906 0.9460833 0.9460831 0.9460831 I准=0.9460831数值分析现在学习的是第25页，共39页数值分析1sin(0.77459071)20.55555560.77459071I 5、用、用Gauss公式公式解：解：令令x=(t+1)/2,9460411.015773503.0)15773503.0(21sin15773503.0)15773503.0(21sin I1sin20.888888901 1sin(0.7745907

20、1)20.55555560.94608310.77459071 11sin(1)/21tIdtt I准=0.9460831（2）用3个节点的Gauss公式（1）用2个节点的Gauss公式数值分析现在学习的是第26页，共39页数值分析算法比较算法比较n此例题的精确值为此例题的精确值为0.9460831.n由例题的各种算法可知：由例题的各种算法可知：n对对Newton-cotes公式，当公式，当n=1时只有时只有1位有效数字，位有效数字，当当n=2时有时有3位有效数字，当位有效数字，当n=5时有时有7位有效数字。位有效数字。n对复化梯形公式有对复化梯形公式有2位有效数字，对复化辛卜生位有效数字，对

21、复化辛卜生公式有公式有6位有效数字。位有效数字。n用复合梯形公式，对积分区间用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了二分了11次次用用2049个函数值，才可得到个函数值，才可得到7位准确数字。位准确数字。n用用Romberg公式对区间二分公式对区间二分3次，用了次，用了9个函数个函数值，得到同样的结果。值，得到同样的结果。n用用Gauss公式仅用了公式仅用了3个函数值，就得到结果。个函数值，就得到结果。数值分析现在学习的是第27页，共39页数值分析2.Gauss-Chebyshev公式1120()()1niiif xdxA f xx (0)(0,1,)121cos(0,1,)2(1)iix in

22、nChebychevixinn 其其中中是是阶阶多多项项式式的的零零点点(0,1,)1iAinn 求求积积系系数数是是 21(),1,11xxx 权权常用的高斯求积公式数值分析现在学习的是第28页，共39页数值分析3.Gauss-Laguerre公式00()()nxiiiefx dxA fx 000000()()()()()()()xxxnxiiiif x dxf x dxee f x dxeF x dxA F xF xe f x 求求某某一一个个无无穷穷区区间间，上上的的积积分分,其其中中(1 1)95,(),0,.xxex 积积分分点点和和求求积积系系数数查查表表权权()00,)(0)()

23、,)0,)()()()xaxa tataaaef x dxxatxatGaussLaguerreef x dxef at dteef at dt 对对区区间间上上的的积积分分，通通过过变变量量代代换换将将变变为为，再再用用求求积积公公式式计计算算(2)(2)积积分分数值分析现在学习的是第29页，共39页数值分析4.Gauss-Hermite公式20()()(0,1,)96nxiiiiief x dxA f xxA in 同同前前，求求积积分分其其中中，积积分分点点 和和求求积积系系数数可可查查表表数值分析现在学习的是第30页，共39页数值分析 (22)0(22)211011(),()()()(

24、)()()()(22)!(,),()()()3)nnbkkaknbnannfxa bx f x dxA f xfR fx wx dxna b wxxxxxxx （）若若在在上上连连续续，则则高高斯斯求求积积公公式式的的截截断断误误差差为为：其其中中定定理理：0121212121,()21(),()()(0,1,)()()(0,1,)nnniiniinnxxxf xHermitenHxHxf xinHxfxin 因因为为 阶阶高高斯斯求求积积公公式式有有次次代代数数精精度度，因因此此，用用点点对对作作插插值值，得得到到次次插插值值多多项项式式并并且且满满足足：证证明明：二、高斯型求积公式的截断误

25、差和稳定性分析二、高斯型求积公式的截断误差和稳定性分析数值分析现在学习的是第31页，共39页数值分析已知Hermite插值误差是(22)2210(22)2210()()()()(22)!()()()()()()()(22)!nnniinnbbbniaaaiff xHxxxnfx f x dxx Hx dxxxxdxn 因为对2n+1次多项式求积公式准确成立，即 niiiniinibanxfAxHAdxxHx001212)()()()(代入上式 baniinniiibadxxxxnfxfAdxxfx02)22(0)()()!22()()()()(即有 babaniinniiidxxxxnfxfA

26、dxxfxfR02)22(0)()()!22()()()()()(数值分析现在学习的是第32页，共39页数值分析以下将证明高斯形求积公式的求积系数恒正()()0biiaAx l x dx 即即：022220()()()()()()2,()()()bnkkkaiibnik ikikax f x dxA f xf xlxlxnx lx dxA lxA 在在高高斯斯求求积积公公式式中中，取取，为为次次多多项项式式，求求积积公公式式等等式式成成立立2()()()()0bbiiiaaAx lx dxx lx dx 0()1,()bnkkaf xx dxA 取取有有数值分析现在学习的是第33页，共39页数

27、值分析0()()()nniiiiiiA f xf xf x 在在求求积积公公式式中中，若若计计算算有有误误差差，变变为为，则则求求积积公公式式也也有有误误差差，变变为为00000()()maxmax()nniiiinnniiiinbiiiai ni niIAf xIIAAAx dx 利利用用了了的的恒恒正正性性质质)(1)(max0abIIxnnini ，则则有有，特特别别取取记记数值分析现在学习的是第34页，共39页数值分析 将积分区间a,b n等分，在每个小子区间上使用一个节点数较少的Gauss型求积公式,然后把它们加起来，就得到整个区间上Gauss型求积公式的复化形式。复化Gauss求积

28、公式的基本思想：下面用Gauss-Legender求积公式推导复化Gauss型求积公式.将积分区间a,b n等分，,0,1,.,kbahxakhknn 三、三、复化复化Gauss求积公式求积公式数值分析现在学习的是第35页，共39页数值分析11122,1,1.kkkkkkxxxxxtxx 作作变变换换将将小小区区间间变变换换到到标标准准区区间间1111101,()221(1)21()(1)22kkkknbakxxxxhakhxakt hhf x dxf akt h dt 由由于于所所以以从从而而有有 110()()kknbxaxkf x dxf x dx 数值分析现在学习的是第36页，共39页数值分析 例如,用2点的Gauss-Legender求积公式复合,由表9-4,取n=1,得Aj=1,xj=0.5773502692代入到上式中,得2点的复化Gauss-Legender求积公式10()(0.211325)(0.788675)2bankf x dxhf akhf akh 再将上式应用Gauss-Legender求积公式就得到了复化Gauss型求积公式.数值分析现在学习的是第37页，共39页数值分析数值分析二版习题 P276-11(1)，16，三版习题 P250-11(1)，16，现在学习的是第38页，共39页感谢大家观看现在学习的是第39页，共39页