第三节连续性随机变量及其分布.ppt

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1、第三节连续性随机变量及其分布现在学习的是第1页，共71页（1）非负性 f(x)0，(-x)；（2）归一性()1.fx dx EX()xf xae 设随机变量X的概率密度为求常数a。答:12a 2.密度函数的性质这两条性质是密度函数的充要性质现在学习的是第2页，共71页（3）若x是f(x)的连续点，则()()dFxfxdx EX 设随机变量X的分布函数为:102()1102xxexF xex 求f(x)。现在学习的是第3页，共71页故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X落在区间 上的概率与区间长度之比的极限。(,x xx 对 f(x)的进一步理解:若x是 f(x)的连续点，则：0li

2、mxP xXxxx f(x)=0()()limxF xxF xx ()()dFxfxdx 现在学习的是第4页，共71页若不计高阶无穷小，有：xxfxxXxP )(它表示随机变量 X 取值于(x,x+x的概率近似等于 f(x)x。f(x)x在连续型r.v理论中所起的作用与PX=xk 在离散型r.v理论中所起的作用相类似。现在学习的是第5页，共71页（4）对任意实数a,若连续型 随机变量X具有概率密度 f(x)(-x)，则 PX=a0。于是()baP aXbP aXbP aXbf x dx 可见，由P(A)=0,不能推出 ，A 由P(B)=1,不能推出 B=S。现在学习的是第6页，共71页0()(

3、)P XaP axXaF aF ax 令x0，由于X是连续型r.v，所以它的分布函数连续，从而PX=a=0。推导现在学习的是第7页，共71页密度函数的几何意义为()baP aXbfx dx 现在学习的是第8页，共71页例2.13 已知随机变量X的概率密度为01()2120kxxf xxx 其其他他1)确定常数k。2)求X的分布函数F(x)。3)求PX(0.5,1.5)。现在学习的是第9页，共71页解:1)()()xF xf u du 0001010120120,00,010(2),120(2)0,2xxxxduxduuduxduuduu duxduuduu dudux 2)120111()(2

4、).2kf x dxkxdxx dx 所以,k=1现在学习的是第10页，共71页3)PX(0.5,1.5)=11.50.513(2)4uduu du220,01,012()121,1221,2xxxF xxxxx 即即，或=F(1.5)-F(0.5)=。34现在学习的是第11页，共71页若 r.v.X的概率密度为：则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记作：X U(a,b)(xfab1,()0,axbf xba 其其它它1.均匀分布（Uniform distribution）三种常见连续型随机变量现在学习的是第12页，共71页均匀分布常见于下列情形：如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一

5、位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误差服从（-0.5,0.5）上的均匀分布。若X U(a,b)，则对于满足ac0)的指数分布。x)x(f01,0,()0,.xexFx 其其 它它若 X其分布函数为三种常见连续型随机变量现在学习的是第15页，共71页例2.15 电子元件的寿命X（年）服从参数为3的指数分布。（1）求该电子元件寿命超过2年的概率。（2）已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用至少两年的概率为多少？解：131,0()30,0,xexf xx 123321(1)2,3xP Xedx e 现在学习的是第16页，共71页1323.53131.53.5,

6、1.5(2)3.5|1.51.513.13xxp XXP XXXedxeedx 指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命。现在学习的是第17页，共71页正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。正态分布在十九世纪前叶由高斯（Gauss）加以推广，所以通常称为高斯分布。德莫佛德莫佛（De Moivre）最早发现了二项分布的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面。3.正态分布（Normal distribution）三种常见连续型随机变量高斯现在学习的是第18页，共71页（I）.正态分布的定义若r.v.X 的概率密度为2(,)XN 记作 f(x)所确定的曲线叫作正态曲线。22()21()

7、,2xf xex 其中和都是常数,任意,0,则称X服从参数为 和的正态分布。现在学习的是第19页，共71页（II）.正态分布N(,2)的图形特点图形关于直线x=对称：f(+x)=f(-x)。在 x=时,f(x)取得最大值 。12 在 x=时,曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点。曲线 y=f(x)以x轴为渐近线。曲线 y=f(x)的图形呈单峰状。现在学习的是第20页，共71页P XP X -6-5-4-3-2-10.050.10.150.20.250.312 现在学习的是第21页，共71页f(x)的两个参数：位置参数即固定 ，对于不同的 ，对应的 f(x)的形状不变化，只是位置不同。形状参数固

8、定 ，对于不同的，f(x)的形状不同。q 由于 f()所以 越小，f(x)变得越尖，1,2 而X落在附近的概率越大。现在学习的是第22页，共71页下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。红线是拟合的正态密度曲线可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。现在学习的是第23页，共71页人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。现在学习的是第24页，共71页除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；

9、测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布。现在学习的是第25页，共71页应用场合若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响,而每一个别因素的影响都是微小的,且这些影响可以叠加,则 X 服从正态分布。可用正态变量描述的实例非常之多：各种测量的误差；人的生理特征；工厂产品的尺寸；农作物的收获量；海洋波浪的高度；金属线的抗拉强度；热噪声电流强度；学生们的考试成绩；现在学习的是第26页，共71页（III）.设X 2(,)N ，X的分布函数是22()21(),2txF xedtx 现在学习的是第27页，共71页221(),2txxedtx （IV）.标准正态分布0

10、1,的正态分布称为标准正态分布。221(),2xxex 其密度函数和分布函数常用(x)和(x)表示：现在学习的是第28页，共71页)(x)(x 现在学习的是第29页，共71页它的依据是下面的定理：标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。根据定理1，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。2(,)XN XZ ,则 N(0,1)设定理1现在学习的是第30页，共71页书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表。（V）.正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中给的是x0时,(x)

11、的值。当-x3的值。如在质量控制中，常用标准指标值3作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报，表明生产出现异常。现在学习的是第35页，共71页例2.16 已知XN(d,0.52)，问d至少为多少时,800.99?P X 解：由题意，d需满足800.99800.50.5XddP XP 808011()0.50.50.5XdddP 因为80(),0.5d 802.330.581.165.dd(2.32)0.9898,(2.33)0.9901,所以现在学习的是第36页，共71页例2.17 一种电子元件的使用寿命(小时)服从正态分布(100,152)，某仪器上装有3个这种元件，三个元件损

12、坏与否是相互独立的。求：使用的最初90小时内无一元件损坏的概率。解：设A为使用的最初90小时内元件损坏；Y为A发生的元件数。()9090100()(0.67)0.251415pP AP X 故30(1)0.4195P Yp 则Yb(3,p),其中现在学习的是第37页，共71页例2.18 （1）假设某地区成年男性的身高(单位：cm)XN(170,7.692)，求该地区成年男性的身高超过175cm的概率。解:（1）根据假设XN(170,7.692)，则170(0,1).7.69XN 故事件X175的概率为P X175=1175P X 1751701()1(0.65)7.69=0.2578现在学习的

13、是第38页，共71页解:（2）设车门高度为h cm，按设计要求PX h0.01或 PX h 0.99，下面我们来求满足上式的最小的h。（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?现在学习的是第39页，共71页因为XN(170,7.692),170(0,1)7.69XN 170()7.69h 故 PX0.991707.69h 所以 =2.33,即 h=170+17.92188设计车门高度为188厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01PX h 0.99求满足的最小的h。现在学习的是第40页，共71页（VII）.标准正态分布的上 分位点z

14、 设 X N(0，1)，0 1，称满足P Xz 的点 z 为X的上 分位点。常用的几个数据0.051.645z 0.0251.960z z0.10.20.30.4z1-=-z 现在学习的是第41页，共71页一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣。求截面面积 A=pd2/4的分布。二 随机变量的函数的分布例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，现在学习的是第42页，共71页又如：已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布，求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等。t0t0一般地、设随机变量X 的分布已知,Y=g(X)(设g是连续函数),如何由 X 的分布求出 Y 的分布？这个问题无论

15、在实践中还是在理论上都是重要的。现在学习的是第43页，共71页二、离散型随机变量函数的分布例2.19 已知XPk-1 0 1111333求:Y=X2的分布律。YPk0 1 1233 解：Y的所有可能取值为0，1。由PY=0=PX2=0=PX=0=1/3PY=1=PX2=1=PX=1+PX=-1=1/3+1/3=2/3得Y的分布律为现在学习的是第44页，共71页如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可。一般，若X是离散型 r.v，X的分布律为X1212nnxxxppp则 Y=g(X)1212()()()nng xg xg xppp现在学习的是第45页，共71页三、连续型随机变量函数的

16、分布解：设X、Y的分布函数为FX(x)、FY(y)，则例2.20设 X/8,04()0,Xxxfx 其其它它求 Y=2X+8 的概率密度。FY(y)=PYy=P2X+8 y 将FY(y)关于y求导数,可得Y=2X+8的密度函数()81()()22YYXdFyyfyfdy 88()22XyyP XF现在学习的是第46页，共71页故8,816()320,Yyyfy 其其它它81()()22YXyfyf 知当88()216Xyyf/8,04()0,Xxxfx 其其它它即8 y 0 时,()YFyP Yy2P Xy 注意到 Y=X2 0，故当 y0时，0)(yFY解:设Y和X的分布函数分别为FY(y)

17、和FX(x),()()XXFyFy ()YFyP Yy2P Xy现在学习的是第48页，共71页若221(),2xXfxe 则 Y=X2 的概率密度为：1221,0()20,0yYyfyyye 1()(),02()0,0XXYfyfyyyfyy x 称Y服从自由度为1的c2分布。现在学习的是第49页，共71页 从上述两例中可以看到，在求PYy 的过程中，关键的一步是设法从 g(X)y 中解出X，从而得到与 g(X)y 等价的X的不等式。例如，用 X 代替 2X+8 y 82y 用 代替 X2 y yXy 这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出相应的概率。这种方法叫分布函数法，是求r.v的函数

18、的分布的一种常用方法。现在学习的是第50页，共71页下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度。现在学习的是第51页，共71页定理 设r.v X具有概率密度 fX(x),-x0或恒有 g (x)0 或 g(x)0,2()0gxx 且有反函数/2(),yxh ye 由前述定理得/2()(),0()0,yXYfehyyfy 其其它它注意取绝对值/21()2yhye 现在学习的是第55页，共71页/2/21(),0()20,yyXYfeeyfy 其其它它1,01()0,Xxfx 其其它它已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入 fY(y)的表达式中/21,0()20,yYe

19、yfy 其其它它得即Y服从参数为2的指数分布。现在学习的是第56页，共71页对于连续型随机变量，在求Y=g(X)的分布时，关键的一步是把事件 g(X)y 转化为X在一定范围内取值的形式，从而可以利用 X 的分布来求 P g(X)y。这一讲我们介绍了随机变量函数的分布。现在学习的是第57页，共71页现在学习的是第58页，共71页现在学习的是第59页，共71页1、不论是离散型的或非离散型的随机变量X,都可以借助分布函数 F(x)=PXy,-x来描述。若已知X的分布函数,就能知道X落在任一区间(a,b上的概率：PaXb=F(b)-F(a),这样分布函数可以完整地描述随机变量取值的统计规律性。现在学习

20、的是第60页，共71页2、对于离散型随机变量，需要掌握的是它可能取那些值及以怎样的概率取这些值。因而对离散型随机变量用分布律PX=xk=pk,k=1,2,来描述它的取值的统计规律性更为直观和简洁。分布律和分布函数有以下关系：F(x)=PXx=kkxxP Xx 现在学习的是第61页，共71页3、对于连续型随机变量,给定X的概率密度f(x),就能确定F(x)。反之，由于f(x)位于积分号之内,故改变f(x)在个别点的值,并不改变F(x)的值.因此改变f(x)在个别点的值无关紧要。对连续型随机变量,在实用和理论上使用概率密度f(x)来描述较为方便。概率密度和分布函数有以下关系：F(x)=PXx=()

21、xf u du 现在学习的是第62页，共71页4、连续型随机变量X 的分布函数是连续的，它取任一指定常数a的概率为0。这两点是离散型变量不具备的。现在学习的是第63页，共71页5、已知X的概率密度fX(x)，求Y=g(x)的概率密度fX(x)在a,b以外取值为0，且当xa,b时，y=g(x)(a,b)。(2)y=g(x)在a,b上无单调性。那么当ya时,FY(y)=0；当yb时,FY(y)=1；当ay0(或0(或0)，则由公式(2)y=g(x)在(-,)上无单调性。那么当ya时,FY(y)=0；当yb时,FY(y)=1；当ayb时,FY(y)=PY y=Pg(X)yfX(x)定义在(-,),且

22、当x(-,)时,y=g(x)(a,b)。()(),()0,XYfh yhyyfy 其其它它现在学习的是第65页，共71页例2.24 设随机变量X的概率密度为220()0 xxf x 其其它它求Y=sinX的概率密度。()0,YFy 当 y0时,当 y1时,()1YFy 0sin1x x0当时故解：注意到,因为,FY(y)=PYy=PsinXy现在学习的是第66页，共71页()YFyP YysinPXy =P0Xarcsiny+P-arcsiny X 当0y1,G(y)=1;对y0,G(y)=0;()0,1YF X 由于现在学习的是第69页，共71页对0y1,G(y)=PY y=PF(X)y=PX (y)1F 1F=F(y)=y1,110,0,0)(yyyyyG即Y的分布函数是现在学习的是第70页，共71页1,01()0,yg y 其其它它求导得Y的密度函数可见,Y 服从0，1上的均匀分布。现在学习的是第71页，共71页